高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第12讲拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(高频精讲)(原卷版+解析)

第12讲拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 3高频考点一：洛必达法则的简单计算 3高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 5第一部分：知识点必背一、型及型未定式1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.2、定理1（型）：（1）设当时，及；（2）在点的某个去心邻域内（点的去心HYPERLINK邻域内）都有，都存在，且；（3）；则：.3、定理2（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)，和在与上可导，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

(3)，那么=.5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:,如满足条件，可继续使用洛必达法则.二、型、、、型1、型的转化：或；2、型的转化：3、、型的转化：幂指函数类第二部分：高频考点一遍过高频考点一：洛必达法则的简单计算典型例题例题1、求例题2、求例题3．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（

）A．0 B． C．1 D．2例题4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则______．练透核心考点1．求2．求3．（2023·广东韶关·校考模拟预测）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再4．（2023·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．高频考点二：洛必达法则在导数中的应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，(1)若，（为常数），求的解析式；(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．例题2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数.（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.例题3．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.练透核心考点1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）已知函数，.(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，且.(1)求实数a的值；(2)求证：存在唯一的极小值点，且；(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.第12讲拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 3高频考点一：洛必达法则的简单计算 3高频考点二：洛必达法则在导数中的应用 5第一部分：知识点必背一、型及型未定式1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.2、定理1（型）：（1）设当时，及；（2）在点的某个去心邻域内（点的去心HYPERLINK邻域内）都有，都存在，且；（3）；则：.3、定理2（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)，和在与上可导，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1)及；

(2)在点的去心HYPERLINK邻域内，与可导且；

(3)，那么=.5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:,如满足条件，可继续使用洛必达法则.二、型、、、型1、型的转化：或；2、型的转化：3、、型的转化：幂指函数类第二部分：高频考点一遍过高频考点一：洛必达法则的简单计算典型例题例题1、求【答案】0解析：不适合条件，需转化：故答案为：0例题2、求【答案】解析：故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【详解】，故选：D例题4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则______．【答案】2【详解】由题可得.故答案为：2.练透核心考点1．求【答案】1【详解】故答案为：1.2．求【答案】【详解】3．（2023·广东韶关·校考模拟预测）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有______．【答案】【详解】由题意可得：．故答案为：.4．（2023·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________．【答案】##0.5【详解】故答案为：高频考点二：洛必达法则在导数中的应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，(1)若，（为常数），求的解析式；(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，，所以，，解得，所以；（2）由（1）可知，时，，此时，；故时，成立时，成立，对恒成立，即对恒成立；记，则，记，则，记，则，∴当0时，，在上单调递增；，所以在上单调递增；；∴时，0，即在上单调递增；记，，当时，，符合洛必达法则条件，∴，∴时，，∴．例题2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数.（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1），所以在点处的切线的斜率，又，所以切线的方程为：，即，由经过点可得：.（2）易知为方程的根，由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可.①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解若，，，令，故在单调递增，在单调递减故在单调递减从而，，此时方程也无解.若，由，记，则，设，则有恒成立，所以恒成立，故令在上递增，在上递减，可知原方程也无解由上面的分析可知时，，方程均无解.②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解若，和①中的分析同理可知此时方程也无解.若，由，记，则，由①中的分析知，故在恒成立，从而在上单调递增，如果，即，则，要使方程无解，只需，即有如果，即，此时，方程一定有解，不满足.由上面的分析知时，，方程均无解，综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解.例题3．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：,

；函数在处取得极值，

；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化为，即；当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，当时，没有意义，由洛必达法得，．练透核心考点1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）已知函数，.(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵函数在上单调递增，∴恒成立，∴，即，∴，即实数的最小值为.（2）∵，∴函数，由（1）可得在上单调递增，故当，，即，由对任意都成立，得恒成立.即恒成立.①当，恒成立；②当，恒成立；③当时，即：恒成立；令，则∴在上单调递增；由洛必达法则：，故，即实数的取值范围为.初等方法解决：∵，∴函数，∵，∴.对于任意，令，则①当，即时，，∴在上为单调递增函数，∴，符合题意，∴.②当，即时，令，于是.∵，∴，∴，∴在上为单调递增函数，∴，即，∴.①当，即时，，∴在上为单调递增函数，于是，符合题意，∴.②当，即时，存在，使得当时，有，此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，综上所述，实数的取值范围为.2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对于恒成立，求的取值范围.【答案】【详解】当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即趋向于0时，趋向，即有.故时，不等式对于恒成立.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)（1）时，

，令得或在时单调递增，时单调递减，时单调递增；所以函数得单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）注意到，设，则在时有两不同解，，令，，令，则有，是增函数，则时，，时，，所以时，单调递减，时，单调递增，，所以时，

，时，，所以在时，单调递减，时，单调递增，因为

，当时，，，即，当时，，并且，，并且，当时，，函数图像如下：所以即；综上，函数得单调递增区间为和，单调递减区间为，.4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，且.(1)求实数a的值；(2)求证：存在唯一的极小值点，且；(3)设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)(1)解：由题意，函数，可得其定义域为，因为，且，可得，且时函数的一个极值点，令，可得，因为，且，可得，解得，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，符合题