高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第14讲拓展七：极值点偏移问题(高频精讲)(原卷版+解析)

第14讲拓展七：极值点偏移问题(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 6高频考点一：不含参数的极值点偏移问题 6方法一：对称化构造法 6方法二：利用韦达定理代换法令 13方法三：比值代换法 20高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 27高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 34温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.4．对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．2.5指数不等式法在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：3、极值点偏移问题的类型（1）加法型（2）减法型（3）平方型（4）乘积型（5）商型第二部分：高考真题回归1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：不含参数的极值点偏移问题方法一：对称化构造法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)若有两个零点，，求证：.例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．(1)若为定义域上的增函数，求的取值范围；(2)令，设函数，且，求证：．练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间和最大值；(2)设函数有两个零点，证明：．方法二：利用韦达定理代换法令典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数，求的单调区间；(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数（）.(1)讨论函数的单调性；(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.练透核心考点1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.(1)讨论函数的单调性；(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）(1)讨论的单调性(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.方法三：比值代换法典型例题例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)当，研究的单调性；(2)令，若存在使得，求证.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有两个零点、.(1)求实数的取值范围；(2)证明：.2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：.3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，，设．（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的零点，，求证：.高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题典型例题例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数．(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)设，当时，证明：．例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围;(2)当时，存在实数，使得，求证：．练透核心考点1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)曲线与直线交于，两点，求证：；(3)证明：.2．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数.(1)若函数在上恒成立，求的取值范围；(2)若是函数的两个零点，证明：.3．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数．(1)求函数的极值；(2)当时，若函数有两个零点．①证明：；②证明：．高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)若函数是上的增函数求的取值范围；(2)若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.练透核心考点1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．第14讲拓展七：极值点偏移问题(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 6高频考点一：不含参数的极值点偏移问题 6方法一：对称化构造法 6方法二：利用韦达定理代换法令 13方法三：比值代换法 20高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 27高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 34温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.4．对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．2.5指数不等式法在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：3、极值点偏移问题的类型（1）加法型（2）减法型（3）平方型（4）乘积型（5）商型第二部分：高考真题回归1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【详解】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：不含参数的极值点偏移问题方法一：对称化构造法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解．【详解】（1）当时，，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设令则当时，，则在上单调递增所以故，因为所以，又，则，又在上单调递减，所以，则．例题2．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)若有两个零点，，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）.因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.当，即时，的零点个数为0.当，即时，的零点个数为1.当，即时，注意到，.下面证明.设，所以，由解得；由解得.则在单调递增，单调递减，所以，即.所以，所以.因此，，，使得，所以此时的零点个数为2.综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.（2）证明：（证法一）由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.令，，则.当时，，所以在区间上单调递增，所以.所以.因为，所以.又由（1）可知，在区间上单调递增，所以，故.（证法二）由，得则.由对数平均不等式，得，所以，所以.又，所以.例题3．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数．(1)若为定义域上的增函数，求的取值范围；(2)令，设函数，且，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）的定义域为，由为定义域上的增函数可得恒成立.则由得，令，所以当时，单调递增；当时，单调递减；故,则有解得.故a的取值范围为（2）由有有即即.令由可得当时，单调递增；当时，单调递减；则，即，解得或(负值舍去)，故.练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【答案】(1)(2)证明过程见解析.【详解】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，，当，，如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以1不是的零点．当，可变形为，令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．因为，，得，又，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且当时，，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点．（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．设，则，由得，所以，即．令，则，易得在上单调递减，在上单调递增．要证，即证．因为，且在上单调递增，所以只需证．因为，所以即证．令，则，所以在上单调递减．因为，所以．因为，所以，故．3．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间和最大值；(2)设函数有两个零点，证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）函数的定义域是.当时，恒成立，故在上单调递增，无最大值；当时，令，得；令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．（2），因为为的两个零点，所以，不妨设．因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又证明等价于证明，又因为在上单调递增，因此证明原不等式等价于证明，即要证明，即要证明，即恒成立．令，则，所以在上为减函数，所以，即在时恒成立，因此不等式恒成立，即．方法二：利用韦达定理代换法令典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1），其中若，则在上恒成立，故在上为减函数，故无最值.若，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故，无最小值.（2）方程即为，故，因为为上的增函数，所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以，所以，不妨设，，故，要证：即证，即证，即证，即证，设，则，故，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，所以，故成立.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数，求的单调区间；(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.【答案】(1)(2)答案见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）解：当时，，，则，故曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：当时，，该函数的定义域为..当时，由可得或.（i）当时，，由，可得，由，可得或，此时函数的增区间为、，减区间为；（ii）当时，，对任意的，且不恒为零，此时函数在上单调递增；（iii）当时，，由，可得，由，可得或，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数在上单调递增；当时，函数的增区间为、，减区间为.（3）证明：，则，令，则.当时，由可得.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得.下面证明不等式，其中，即证，令，即证对任意的恒成立，构造函数，其中，则对任意的恒成立，故函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，由已知可得，两式作差可得，则，即，故原不等式得证.例题3．（2023·湖南常德·统考一模）已知函数（）.(1)讨论函数的单调性；(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增(2)【详解】（1）函数的定义域为，又，，令，得，当时，时，，所以在单调递增；当时，方程的，①当时，，则，所以在单调递增；②当时，，令，得，，当时，；当时，；所以在上单调递减，在，上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；（2）由（1）得，若有两个极值点，，则，且，，即，；故，，令，则，所以在上单调递减；即，故，综上所述：的取值范围为：.练透核心考点1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设向量.(1)讨论函数的单调性；(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）根据已知得，定义域为，则，若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；若，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减；若，则恒成立，所以在上单调递增；若，由，得或；由，得，所以在上单调递增，在上单调递减；综上：时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由已知得，定义域为，从而.当，即时，恒成立，函数不可能有两个极值点；当时，有两个根，因为，与都是正数相矛盾，不合题意；当时，有两个根，因为，且，所以两根均为正数，故有两个极值点，因为，由知，因为，所以等价于，即，令，所以在上单调递减，又，所以当时，，故成立.2．（2023春·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数（为常数）(1)讨论的单调性(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.【答案】(1)答案见解析.(2)【详解】（1）∵，，当时，，，在定义域上单调递增；当时，在定义域上，时，在定义域上单调递增；当时，令得，，，时，；时，则在，上单调递增，在上单调递减.综上可知：当时，在定义域上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（其中，）（2）由（1）知有两个极值点，则，的二根为，则，，，设，又，∴.则，，∴在递增，.即的范围是3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.（1）求的取值范围；（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.【答案】(1)；(2).【详解】(1)函数的定义域为，，因在定义域内有两个极值点，则有二不等的正实根，从而得，解得，所以的取值范围是；(2)由(1)知，而，则，，令，则，，从而得在上单调递增，即有，的值域是，所以的范围是.方法三：比值代换法典型例题例题1．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．【详解】（1）因为，，①当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；，③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；④当，即时，，，函数在上单调递减，则．综上，当时，；当时，；当时，.（2）要证，只需证：，若有两个极值点，即函数有两个零点，又，所以是方程的两个不同实根，即，解得，另一方面，由，得，从而可得，于是．不妨设，设，则．因此，．要证，即证：，即当时，有，设函数，则，所以为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以成立，．例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)当，研究的单调性；(2)令，若存在使得，求证.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析(1)，，在上单调递增，且，所以时，，时，，在上单调递减，在上单调递增；(2)，（），时，递增，时，，递减，时，，存在使得，则，令，，，令，则，在上单调递增，，，，，.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)设有两个不同的零点，，为其极值点，证明：．【答案】(1)函数的极小值为1，无极大值；(2)见解析.【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值，且极小值为；（2）()，，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，则.又函数在上有2个零点，所以，解得.设，则，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，即，所以，又，，两式相减，得，设，要证，只需证，即证，即证，令，则，设，则，所以函数在上单调递增，有，即在上恒成立，所以.综上，.练透核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数有两个零点、.(1)求实数的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：函数的定义域为，由可得，令，其中，则，令可得，列表如下：增极大值减且当时，，作出函数和的图象如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个公共点，因此，实数的取值范围是.（2）解：由已知可得，可得，由可得，要证，即证，即证，即证，由题意可知，令，即证，构造函数，其中，即证，，所以，函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立.2．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：.【答案】（1）当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是；（2）证明见解析.【详解】解：（1）的定义域为，且，则，当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减.综上可知：当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是.（2）由，，，由于，所以.设，故：，令，则，由于，故，则在上单调递增，故，即：所证不等式成立.3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，，设．（1）若，求的最大值；（2）若有两个不同的零点，，求证：.【答案】（1）最大值为；（2）证明见解析.【详解】解：（1）解：当时，所以．注意，且当时，，单调递增；当时，，单调递增减．所以的最大值为．（2）证明：由题知，，即，，可得．．不妨，则上式进一步等价于．令，则只需证．设，，所以在上单调递增，从而，即，故原不等式得证．高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题典型例题例题1．（2023·四川凉山·二模）已知函数．(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．【答案】(1)(2)证明过程见详解【详解】（1）依题意得对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，又，当且仅当时取“=”，所以．（2）由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．当时，令，得，则，所以其两根为，由韦达定理得，又∵，∴，满足条件，令，则，∴，∴，要证只需证，即证，即证，即，令，即证，令，，则，所以在单增，，故结论得证．例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)设，当时，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，，所以，所以．因为，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）因为且，所以．（*）因为，，所以，令得；函数单调递增；令得，函数单调递减；所以．令，，则，等号不恒成立，所以函数在上单调递增，于是由（*）可得，即．要证，即证，即证．不妨设，则上式等价于，即．令，则，所以，所以在上单调递减，所以，即，故原命题得证．即成立.例题3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，函数在上没有零点，求实数的取值范围;(2)当时，存在实数，使得，求证：．【答案】(1)或；(2)证明见解析.【详解】（1），，，求导得，当时，，函数在上单调递增，要在上没有零点，而，则必有，解得，因此；当时，由得，当，即时，，函数在上单调递减，于是，即函数在上没有零点，因此；当，即时，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，即，解得，因此，综上得或，所以实数a的取值范围是或.（2），由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，不妨令，由得：，因为函数在上递减，要证，即证，只证，就证，令，，求导得，函数在上单调递减，，即，因此，所以.练透核心考点1．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)曲线与直线交于，两点，求证：；(3)证明：.【答案】(1)，单调递减；时，单调递增(2)证明见解析(3)证明见解