猜题07 锐角三角函数（拔尖必刷20题4种题型专项训练）（含答案解析）

第7章锐角三角函数（拔尖必刷20题4种题型专项训练）“化斜为直”构造直角三角形的四种方法类型一无直角、不等角的三角形作高类型二有直角、无三角形的图形延长某边类型三有三角函数值但不能直接利用时作垂线类型四求无直角的三角形中角的三角函数值时构造直角三角形一．无直角、不等角的三角形作高（共3小题）1．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC=6m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为（

A．(4+3sinα)mC．4+3sinα【答案】B【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：∵它是一个轴对称图形，∴BD=DC=12∴tanα=AD∴房顶A离地面EF的高度为(4+3tan故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）【答案】(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道AB的长为(1502【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长【详解】（1）由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°-45°-45°=90°在Rt△ADC中，∴AD=DC×tan答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E．∵AB是东西走向∴∠ADE=45°,∠BDE=60°在Rt△ADE中，∴DE=AE=AD×在Rt△BDE中，∴BE=DE×∴AB=AE+BE=1502答：隧道AB的长为(1502【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，【答案】A、B两点之间的距离约为94米【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，分别解Rt△ACD，Rt△BCD，求得AD,BD的长，进而根据【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ACD∵∠DAC=37°，AC=80米，∴sin∠DAC=CDAC∴CD=AC⋅sinAD=AC⋅cos在Rt△BCD∵∠CBD=58°，CD=48米，∴tan∠CBD=∴BD=CD∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.答：A、B两点之间的距离约为94米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．二．有直角、无三角形的图形延长某边（共4小题）1．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC(1)AB的长；(2)四边形ABCD的面积．【答案】(1)AB＝14(2)四边形ABCD的面积＝74【分析】对于（1），延长AD，BC，交于点E，在直角三角形ABE中，求出∠E，在直角三角形DCE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出CE的长，求出BE的长，在直角三角形ABE中，设AB=x，则AE=2x，根据勾股定理求出x的值，即为对于（2），根据S四边形【详解】（1）解：延长AD，BC，交于点E，在Rt△ABE中，∠A=60°∴∠E=在Rt△CDE中，CD∴CE=2CD=8，∴BE=BC+CE=6+8=14，设AB=x，则x2+14则AB=1433；（2）在RtS四边形【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质等，将不规则四边形的面积转化为三角形的面积差是解题的关键．2．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC=120°，【答案】14【分析】延长BA，CD交于点E，根据多边形内角和定理可得∠B=60°，从而得到∠BEC=30°，再由直角三角形的性质可得BE=2BC=28，DE=2AD=6，再由勾股定理可得CE=14【详解】解∶如图，延长BA，CD交于点E，在四边形中，AD⊥AB，CD⊥BC，∴∠BAD=∠C=90°，∵∠ADC=120°，∴∠B=60°，∴∠BEC=90°-∠B=30°，∵BC=14，AD=3，∴BE=2BC=28，DE=2AD=6，∴CE=∴CD=【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，根据题意构造直角三角形是解题的关键．3．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，则AD=．【答案】10【分析】连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到ADBE=ACBC=【详解】解：如图，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°tan30°=∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴ADBE∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，∴∠BAE=90°，在Rt△ABC中，AC=3，∠ABC=30°∴AB=6，∵AE=8，∴BE=10，∴AD=10故答案为：1033．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，解直角三角形，特殊角三角函数值，直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键，正确4．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为

【答案】(170+603)cm【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，则DF=12CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×32=903（由题意得：DFEF=6090，即90EF解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，则AB255+903=解得：AB=170+603，答：立柱AB的高度为(170+603)cm．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．三．有三角函数值但不能直接利用时作垂线（共6小题）1．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝13，求tan【答案】2【分析】过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，证明△ACD≌△BED．在Rt△CBE中，sin∠BCE＝BEBC＝13，勾股定理得出CE＝22BE，即可得出CD＝【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E．∵点D是AB的中点，∴AD＝DB．又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠∴△ACD≌△BED．∴CD＝DE，AC＝BE．在Rt△CBE中，sin∠BCE＝BEBC∴BC＝3BE．∴CE＝BC2-BE2＝2∴CD＝12CE＝2BE＝2AC∴tanA＝CDAC＝2AC【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．2．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3=1.732(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【答案】(1)湖岸A与码头C的距离为1559米(2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【分析】（1）过点A作CB垂线，交CB延长线于点D，设BD=x，则AB=2x，AD=3x，CD=900+x，在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，即可求出x=450，根据Rt△ACD中，sin（2）设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程=BC+AC，列出方程，求出时间t，再和5分钟进行比较即可求解．【详解】（1）解：过点A作CB垂线，交CB延长线于点D，如图所示，由题意可得：∠NAB=60°，∠NAC=30°，CB=900米，则∠CAD=60°，∠BAD=30°设BD=x，则AB=2x，AD=3x，在Rt△ACD中，tan∠CAD=∴3=900+x3在Rt△ACD中，sin∠CAD=∴AC=900+450∴湖岸A与码头C的距离为1559米；（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，由题意可得：150t+400t=900+1559，t≈4.47＜∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．3．如图，已知△ABC中，AB=6，∠B=30°，tan∠ ACB=3

【答案】13【分析】本题考查了解直角三角形，过A作AH⊥BC，根据直角三角形的特征得AH=3，利用tan∠ACB=【详解】解：过A作AH⊥BC，垂足为H，如图：

∵AB=6，∠B=30°，AH⊥BC，∴AH=3，∵tan∠ACB=∴CH=2，∴AC=34．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4，BC=6，对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD=45，则

【答案】9【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，求出BD的长度，利用勾股定理求出DE的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可．【详解】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD=∴∠ABD=∠CBD，∴cos∠CBD=∵∠A=90°，AB=4，∴cos∠ABD=∴BD=5，∵cos∠CBD=∴BE=4，∴DE=B∴S

故答案为：9．5．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=22，AB=3，则AC的长为【答案】33【分析】过A作AD⊥BC，如图所示，在Rt△ABD中，sinB=13，AB=3，得到AD=1，BD=22；在Rt△ACD中，tanC=22【详解】解：过A作AD⊥BC，如图所示：在Rt△ABD中，sinB=1∴AD=AB⋅sinB=1在Rt△ACD中，tan∴ADDC=22，即由勾股定理得AC=A∴S故答案为：3，32【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．6．在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【答案】(1)12(2)2(3)5【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、（2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D∴∠ADC∵∠C为锐角且tan∴∠C∴∠DAC∴∠DAC∴AD=在Rt△∵sinC=AD∴DC=∵BC=6∴S△∴△ABC的面积为12（2）∵DC=AD=4∴BD=在Rt△AB=∴AB的值为25（3）在Rt△ABD中，AB=2∴cos∠ABC∴cos∠ABC的值为5【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．四．求无直角的三角形中角的三角函数值时构造直角三角形（共7小题）1．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE项端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈【答案】96米【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．【详解】延长AE交CD于点M，过点A作AN⊥BC，交BC于点N，由题意得，∠AMC=∠NCM=∠ANC=90°，∴四边形AMCN为矩形，∴NC=AM，NA=CM.在Rt△EMD中，∠EMD=90°，∴sin∠EDM=EMED∴sin37°=EM20∴EM=20⋅sin∴DM=20⋅cos在Rt△BNA中，∠BNA=90°，∴tan∠BAN=BNAN，∴BN=90tan∴BC=BN+AE+EM=81+3+12=96.答：大楼BC的高度约为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．【详解】（1）解：如图2，连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H．在Rt△ABH中，∠ABH=180°-∠ABC=37°，sin37°=AHABcos37°=BHAB在Rt△ACH中，AH=3m，CH=BC+BH=6m，根据勾股定理得AC=CH答：A、C两点之间的距离约6.7m．（2）如图2，过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，所以CG=CD-GD=5m，在Rt△ACG中，AC=35m，CG=5m根据勾股定理得AG=AC∴OD=AG=4.5m．答：OD的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=12∠BAC，求tan【答案】4【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据题意得出∠BPC=∠BAE，在Rt△ABE中，勾股定理求得AE=3，进而根据正切的定义得出tan∠BPC=【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=12BC=12×8=4，∠BAE=1∵∠BPC=12∴∠在Rt△ABEAE=AB2-BE2=∴tan∠BPC=tan∠BAE=BEAE=5．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC=AD=3BD，∠DCB=∠A，那么cos∠ACD的值是【答案】14【分析】设BD=a，则AC=AD=3a，AB=4a，然后根据相似三角形的性质得到BCAB=BDBC=CDAC，解得BC=2a，CD=32【详解】设BD=a，则AC=AD=3a，∴AB=4a，又∵∠DCB=∠A，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB=BD解得：BC=2a，CD=3过点A作AE⊥CD于点E