专题一圆锥曲线的方程讲义高三数学一轮复习

人教A版数学圆锥曲线的方程专题一知识点一根据a、b、c求椭圆标准方程,椭圆中的定值问题典例1、已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且．（1）求C的方程；（2）过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线．随堂练习：已知椭圆C：过点，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，B．过点的直线与椭圆C交于M、N（不与A、B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，证明：B、N、Q三点共线．

典例2、如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆C过点，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线．

随堂练习：已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：直线与的斜率之积为定值；（3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论.典例3、已知A､B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP､BP､AQ､BQ的斜率分别为k1､k2､k3､k4.（1）求证：点P､Q､O三点共线；（2）当a=2，b=时，若点P､Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；（3）若F1､F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.

随堂练习：已知椭圆：，四点，，，中恰有三个点在椭圆上，，是椭圆上的两动点，设直线，的斜率分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）若，，三点共线，求的值.知识点二根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的定值问题典例4、椭圆的方程为，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点，椭圆的右焦点为，已知，椭圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值．

随堂练习：已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，点M、N分别与点P关于原点、y轴对称．连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q．试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．典例5、已知椭圆：，，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．

随堂练习：已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求证：为定值典例6、已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

随堂练习：已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.人教A版数学圆锥曲线的方程专题一答案典例1、答案：（1）；（2）证明见解析﹒解：（1）设()，由题意知，∴．∵点，且，解得，∴，，因此C的方程为．（2）由题意可知，直线l的方程为．由得，设，，则，．∵轴，∴，∴直线，令，得．∵轴，∴．∴，∴B，M，E三点共线．随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）由题意知，，，所以，则，所以椭圆C的方程为．（2）由题知：l斜率不为零，设l为，，，由得，，则，，所以，∴，直线AM的方程为，则，∴，，∴，即，∴N、B、Q三点共线．典例2、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由题意可知：，，椭圆C的方程为；（2）证明：设，由于，因此，，直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程得：，整理得：，设，代入直线的方程得，直线的斜率为，直线的斜率为，，所以三点共线．随堂练习：答案：（1）；（2）定值为，证明见解析；（3），，三点共线，证明见解析.解:（1）由题知：，所以椭圆：.（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，则，即..所以直线与的斜率之积为定值.（3），，三点共线，证明如下：设直线：，则直线：，将代入直线，得：，，，设直线：，，设，则，解得，所以，即，所以，，所以，为公共点，所以，，三点共线.典例3、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）8.解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B动点，又因为，所以，即所以点P，Q，O三点共线.（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为联立，解得x=±，y=±，所以P(，)，同理，解得x=±，y=±，解得Q(，)，则|PQ|=3﹣，又因为a=2，b=，联立，解得B(±2，0)，所以点B到直线PQ的距离d=，则.（3）因为，设，，所以，因为，所以又，⇒，因为QF1PF2，所以|OF1|=λ|OF2|，所以λ2=，所以=•=，所以：同理(k3+k4)2=4，而k1k2=，又x12=a2+y12，所以k1k2=，同理k3k4=﹣，所以k12+k22+k32+k42=8.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）依题意知椭圆不可能同时过，，所以一定经过，，即，显然满足，所以椭圆的方程为.，，三点共线，设的方程为，联立，，，，，.典例4、答案：（1）（2）证明见解析解（1）依题可知：，，所以，即，解得又∵椭圆过点，则联立可得，椭圆的标准方程为．（2）设点、，，由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，联立，可得，由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，由韦达定理可得，，，，，得，，，，．随堂练习：答案：（1）；（2）是定值，且定值为．解：（1）由已知，，所以，解得，椭圆方程为；（2）设，，则，，所以，,直线方程为，代入椭圆方程得，显然是此方程的一个解，另一解为，而，即为点的横纵坐标，,所以．所以为定值．典例5、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由题意得，故椭圆为，又点在上，所以，得，，故椭圆的方程即为；（2）由已知直线过，设的方程为，联立两个方程得，消去得：，得，设，，则，（*），因为，故，将（*）代入上式，可得：，∴直线与斜率之积为定值．随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由题意椭圆经过点，离心率为，可得，解得，故椭圆C的方程为（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，由，可得，由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则，解得，设,则，，故，即为定值.典例6、答案：（1）（2）证明见解析，定值为解：（1）由已知设椭圆方程为：，代入，得，故椭圆方程为.（2）设直线，由得：，，又，故，由，得，故或，①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线，过定点，即直线过左焦点