同构思想在解析几何的应用（解析版）

①若实数a,b分别满足f(a)=0,f(b)=0,由此a,b可视为方程f(x)=0的两个根.--双切线、斜率和(积)为②如果A(x1,y1),B(x2,y2)满足的方程结构相同，则A,B为方程所表示的--切点弦方程推导的核心思路.(1)+y2=1(2)设点A(x1,y1(，B(x,y(，C(x3,y3(，D(x4,y4(，2y1-x1y2=y2-y1，直线CD的方程为y--=x-，(2x1-3((y4-y3(令y=0得，x=-y1(x4-x3(+((2x1-3((y4-y3(=-y1-+(3x1-4(-(2x1-3(-==-y1(3x2-4(+y2(3x1-4(4(y1-y2(+3(x1y==2x1-3(-y1(2x2-3(3(y1-y2(+2(x1y2-x2y1(5，(3)求证直线过定点(x0,y0(，常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0(或截距式y=kx+b来证明.上，圆E:(x-2)2+y2=r2(其中0<r<1).(1)若r=,Q为圆E上的动点，求线段PQ长度的(2)设D(1,t(是抛物线C1上位于第一象限的一点，过D作圆E的两条切N.证明：直线MN经过定点.(2)根据两点坐标可得直线MN,DM的直线方程，由直线与圆相切可得a,b是方程(r2-1(x2+(2r2-4(x+设点P(t2,t(，则|PQ|≥|PE|-=(t2-2(2+t2-=(t2-2+-≥,(2)∵D(1,t(是抛物线C1上位于第一象限的点，设M(a2,a(,N(b2,b(，则：直线MN:y-a=(x-a2(，即y-a=(x-a2(，即x-(a+b(y+ab=0.直线DM:y-1=(x-1(，即x-(a+1(y+a=0.由直线DM与圆相切得=r，即(r2-1(a2+(2r2-4(a+(2r2-4(=0.同理，由直线DN与圆相切得(r2-1(b2+(2r2-4(b+(2r2-4(=0.所以a,b是方程(r2-1(x2+(2r2-4(x+(2r2-4(=0的两个解，代入方程x-(a+b(y+ab=0得(x+2y+2(r2+(-x-4y-4(=0，∴直线MN恒过定点(0,-1(.找到定点.技巧：若直线方程为y-y0=k(x-x0(,则直线过定点(x0,y0(;若直线方程为y=kx+b(b为定值),则直(3)过点A的且斜率存在的直线l1,l2分别与椭圆交于点P,Q(均异于点A)，若点B到直线l1,l2的距离相(3)直线PQ过定点(-6,-3(，证明见解析可得c2=a2-b2=3，又A(-2,1(为椭圆上一点，43+b2643+b262所以椭圆E的方程为+22y32y313-2<k<13-2<k<-2-3此时直线l的方程为y-1=-(x+2(，即x+y+1=0；直线l1:y-1=k1(x+2(,l2:y-1=k2(x+2(，(1+2k(x2+(8k+4k1(x+8k+8k1-4=0，可得直线PQ的方程为化简得(2-k1+2k(y-9k1=(k1+1+k(x，所以(2y-x((1+k(+k1(-y-x-9(=0，由解得，可得直线PQ过定点(-6,-3(.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1(a>0,b>0(的上下焦点分别为F1(0,c(，F(2)设A,B是双曲线上位于y轴右方的-x2=1(1)将点的坐标代入双曲线的方程求解即可；将点(0,和代入双曲线方程得：双曲线的方程为-x2=1.(2)(i)设A(x1,y1(,B(x2,y2(,B关于原点对称点记为C(x3,y3(，则x3=-x2,y3=-y2.又因为AF1kFA=kBFFA=kCF，故A,F1,C三点共线.-|BF2|=|AF1|-|CF1|=2.直线AF1与双曲线上支有两个交点，所以Δ>0,x1x3=解得|k|<.4+7k2-4=0，且由图可知k>0，即(2k2-1((k2+4(=0， =2=22+=22=22++ + 12k2-4\(k2-2(2k2-2 |k2-2|1\(k2-2(2k2-2 |k2-2|111+k21++得解.25.已知双曲线C：x2-y2=1(a>0,b>0(的离心率为2，点(3,-1(在双曲线C上．过C的左焦点2(3)点P(-4,2(，直线AP交直线x=-2值.x2-x2-y22=x2-y22=1.(2)双曲线C的左焦点为F(-4,0(，-1(y2-8my+8=0，显然m2-1≠0，Δ=64m2-32(m2-1)=32(m2+1)>0，设A(x1,y1(，B(x2,y2(，则y1+y2=,y1y2=<0，得-1<m<1，于是M=(x1+2,y1(,M=(x2+2,y2(，M⋅M=(x2+2((x1+2(+y1y2=(my1-2((my2-2(+y1y2即MA⋅MB≠0，因此MA与MB不垂直，所以不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上.(3)由直线AP:y-2=k1(x+4(，得Q(-2,2+2k1)，=-2my2-2y1+4+2my1+2mk1y1my1(my2-2(,1my1=y1-2，且y1+y2=my1y2，①求证：∠AQP=∠BQP；2=4x2=2px(p>0),由a2-b2=4-3=1，得c=1.由此能求出抛物线D的方(2)①设A(x1,y1(，B(x,y(，由于O为PQ中点，则Q(-4,0(,故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠AQP=∠BQP. ∴抛物线D的方程为y2=4x；(2)①设A(x1,y1(，B(x,y(，由于O为PQ中点且P(4,0(，则Q(-4,0(，当l不垂直x轴时，显然直线l的斜率不为0，设l:y=k(x-4((k≠0(，x1+x2x1+4x2+4(x1+4((x2+4(，所以kAQ+kBQ=k(x1-4(+k(x2x1+4x2+4(x1+4((x2+4(，则∠AQP=∠BQP，②设存在直线m:x=t满足题意，设圆心M,，过M作直线x=t的垂线，垂足为E，圆M与直线m的一个交点为G，2-|ME|2，即|EG|2=|MA|2-|ME|2=-t(2=y++t(x1+4(-t2=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3(x1+4t-t2，此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值2(5)代入韦达定理求解.于M，直线PB交y轴于N.(1)(-∞,-3(∪(-3,0(∪(0,1((2)-1若直线l与抛物线的一个交点为(1,-2)，此时该点与点P所在的直线此时=-3，所以直线l斜率k≠-3.故直线l的斜率k的取值范围是k∈(-∞,1)且k≠-3且k≠0.即率k的取值范围是(-∞,-3(∪(-3,0(∪(0,1(.则y1+y2=4m,y1y2=-4，∵D=λA，D=μB，∴λ=-1-，μ=-1-，∴λ+μ+=-2-∴λ+μ=-1.m-1=-λ,故λ=1-ym，由Q=μQ得μ=1-yn，设A(x1,y1(，B(x,y(，直线PA方程为y-2=m=由直线PB可得yn=，(5)代入韦达定理求解.F(2)过点P(0,2、3(的直线l交C于M、N两点(M位于P与N之间)，记△PMB1、△PNB1的面积分别为(1)+=1(2),设M(x1,y1(，N(x,y(，3μ|x2|(5)代入韦达定理求解.AB的距离为|OB|(O为坐标原点).(2)若椭圆则称椭圆E为椭圆C的λ倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C(2)证明见解析.(1)∵A(-a,0(,B(0,b(，∴F1(-1,0)到直线AB的距离为d==b，2=7(a-1)2，2=a2-12)3)4)，(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)>0，(*)∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=43(4k2+32-m2)将y=kx+m代入椭圆E的方程得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0，x3-x4|=由MQ+PQ=2NQ可得NM=PN，∴|MQ|=3|PN|，所以|x3-x4|=3|x1-x2|，2-42=1(1)+=1R代入x=r到+=1，不妨设C(r,、16-r2(，设E为AC与圆O的切则由切线的性质，CE=CF=16-r2，OE=OF=r，故AE=AO2-OE2=16-r2，故AC=AE+(3)设圆O的切线方程为y-2=k(x-22(，即kx-y+2-22k=0.联立(x-2(，则(1+4k2(x2+82k(1-2k(x+8(4k2-4k-1(=0.设Q(x1,y1(,R(x2,y2(，则22x1=8(4k-4k1-1(，即x1=22(4k-4k1-1(=-8-2x2=1-y2=k1(x1-22(-k2(x2-22(=k1x1-k2x2-22(k1-k2(=.又kQR=故直线QR的方程为y-y1=(x-x1(，即(y1-y2(x-(x1-x2(y+x1y2-x2y1=0，故O到直线QR的距离d=|x1y2-x2y1|=(y1-y2(2+(x1-x2(2 |x1[k2(x2-22(+2[-x2[k1(x1-22(+2[|(y1-y2(2+(x1-x2(2= |(k2-k1(x1x2+2、2(x2k1-x1k2(+、2(x1-x2(|(y1-y2(2+(x1-x2(2=2|PF|.(2)过曲线C上的点M(x0,y0((x0≥1(作圆(x+1(2+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围.(2)设切线方程y-y0=k(x-x0(，通过点到切线的距离，化简成k|PQ|=2|PF|，得|x+4|=2、(x+1(2+y2，两边平方得+=1，2+=1；(2)设点M(x0,y0(的切线方程为y-y0=k(x-x0((斜率必存在)，圆心为F(-1,0(，r=1所以F(-1,0(到y-y0=k(x-x0(的距离为：d=|-k+y0-kx0|=11+k2平方化为(x+2x0(k2-2(x0+1(y0k+y-1=0，设PA，PB的斜率分别为k1，k2x+2x0，12x+2x0则k1+k2=2(x0+x+2x0，12x+2x0因为PA：y-y0=k1(x-x0(，令x=0有yA=y0-k1x0，同理yB=y0-k2x0所以|AB|=|yA-yB|=x0|k1-k2|=x0(k1+k2(2-4k1k2=又因为4y=12-3x代入上式化简为|AB|=令f(x(=，x∈[1,2[，求导知f(x(在x∈[1,2[为增函数，所以S∈,2.x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0(是圆C1上一点，M是抛物线C2上一2(1)M,或M,；(2)证明见解析.(1)焦点F坐标为，设M(xM,利用圆的切线长公式、抛物线的定义建立方程求解即得；线AB方程并化简整理为x-y0，利用已知面积得到x-4y0=3，与(x0-1(2+(y0+1(2=联立得(x0-1((x+x+19x0-13(=0，然后利用零点存在定理判定解的个数即可.(1)焦点F坐标为，设M(xM,(，则|PM|=所以xM=或xM=，所以M,或M,，(2)设P(x0,y0(，则(x0-1(2+(y0+1(2=，设直线PA方程为y-y0=k1(x-x0(，代入x2=4y，得x2-4k1x-4(y0-k1x0(=0,Δ=16k+16(y0-k1x0(=0，整理得k-k1x0+y0=0①,同理，直线PB方程为y-y0=k2(x-x0(，有k-k2x0+y0=0②,,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根，2-4k1x-4(y0-k1x0(=0中，xA+xA=4k1，则xA=2k1所以A(2k1,k(，同理B(2k2,(,kAB=直线AB方程为y-k=(x-2k1(即y=x-k1k2即y=x-y0|AB|=1+|2k1-2k2|=、4+x⋅(k1+k2(2-4k1k2=、4+x⋅、x-4y0所以x-4y0=3，与(x0-1(2+(y0+1(2=联立得(x0-1((x+x+19x0-13(=0长和抛物线的定义建立方程求解是第一问中的关键；第二问中关键点由同构方程k-k1x0+y0=0，k-k2x0+y0=0，知k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根，从而得到k1+k2=x0,k1k2=y0;利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题.【解析】(1)将y=代入C:x2=2py(p>0(中得x=±、p，2=2yy0=x0-2，设M(x1,y1(,N(x2,y2(，则直线GM,GN的方程分别为y-y1=x1(x-x1(,y-y2=x2(x-x2(，而直线MN的方程为y-y1=(x-x1(=(x-x1(，即+y1=x0x-y0-+y1=x0x-y0=x0x-x0+2=x0(x-1(+2，则直线MN过定点(1,2)；设直线PQ:y=kx+(k≠0(,P(x3,y3(,Q(x4,y4(，联立得，得x2-2kx-1=0，则x3+x4=2k,x3x4=-1，联立{，解得H(k,-，故kFH⋅kPQ=-1，即PQ⊥FH，由P=λF，得x3=-λx4，结合根与系数的关系可知x4=-,-2=-1，△HPQ=|PQ|⋅|HF|=(1+k2，由于-2(在λ∈时为增函数，|PD||PE|=|AD||BE|.(1)x2=4y(1)设A(x1,y1(，B(x,y((x1<0<x2(，直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理表示y1+y2,y1y2，结合算即可证明.(1)设A(x1,y1(，B(x,y(，(x1<0<x2(，2I=PB=，则直线PA方程为y-y1=(x-x1)，即x1x=2(y+y1(，同理直线PB方程为x2x=2(y+y2(.-x2(=2(y1-y2(，两式相加得2y=(x1+x2(-(y1+y2(=(y1-1+y2-1(-(y1+y2(=-2，即y=-1，所以点P(2,-1(.设直线DE与抛物线相切于点T(x0,y0(，则直线DE方程为xx0=2(y+y0(.因为|PD||PE|=1+|yD-yP|⋅1+|yE-yP|=1+1+(yD+1((yE+1(，故要证|PD||PE|=|AD||BE|，即证yDyE+yD+yE+1=y1y2-y2yD-y1yE+yDyE，即证yD+yE+yDy2+y1yE=0，即证4x0(x1+x2(+x0x1x2(x1+x2(=0，4+x1x2((x1+x2(=0，1x2<0故|PD||PE|=|AD||BE|.:y=kx+m(k≠±2(与C有唯一的公共点M，过M且与l1垂直的直线分别交x轴，y轴于点A(x,0(,B(0,y(两点，当M运动时，求点D(x,y(的轨迹方程；唯一的公共点M，过M且与l1垂直的直线分别交x轴，y轴于点A(x,0(,B(0,y(两点，即可求解；(1)联立方程，得(4-k2(x2-2kmx-m2-16=0(k≠±2(，与C有唯一的公共点M，所以Δ=(-2km(2-4(4-k2((-m2-16(=0，过M且与l1垂直的直线为(，则x=-20×,y=-，即-=1(y≠0(，所以D的轨迹方程为=1(y≠0(.2:x=ty-、3，3ty-1=0,Δ=16t2+16>0，23t-13ty-1=0,Δ=16t2+16>0，23t-1t2+4,y1y2=t2+4，设P(x1,y1(,Q(xt2+4,y1y2=t2+4，|PQ|=1+t2|y1-y2|=1+t2(y1+y2(2-4y1y2(t2+4(2=1+t2+4=4(t2+(t2+4(2=1+t2-x1-x2椭圆在x轴上方对应方程为y=1-2,y-x1-x244x1则点P处切线斜率为=-x4-x14x1则点P处切线斜率为=-x4x1x4(x-x1(，即x1x4(x-x1(，即+y1y=1，4同理可得点Q处的切线方程为x2x+y2y=1，4x1x4x2x4由(4(y2-y1(x1x4x2x4由(4(y2-y1(x1y2-x2y1+y1y=1①,+y2y=1②,得xN===-(ty1-3(y2-(ty2-3((ty1-、3(ty1-y11+3、3(ty1-y11+3x11+=3代入①得yN==y133,-t(，而P=(x2-x1,y2-y1(=((ty2-3(-(ty1-3(,y2-y1(=(y2-y1((t,1(，=⋅|PQ|⋅|NF1|=⋅⋅=⋅.所以f(m(在[1,+∞(上单调递增，三角形面积最值.(2)设曲线O:x2+y2=1(x≠0(的切线l与椭圆C交于A,B两点，且以A,B为切点的椭圆C的切线交于0=±2及x0≠0,x0≠±2，根据直线与椭圆的位置关系结合判别式计算即可证明；合(1)得过A,B的椭圆切线方程，联立两切线方程求交点得M坐标与A,B,P坐标的关系，再结合点在圆上消元化简得xM=4x0,yM=y0，根据三角形面积S△ABM=PM|y1-y2|结合导数求其值域即可；法二、设AB:x=利用弦长公式及点到直线的距离公式计算面积求范围即可.0=0x2--1=0，Δ=-4+-1(==0，∴x+y0y=1与椭圆C只综上，x+y0y=1是椭圆C在P(x0,y0(处的切线方程；若x0≠±1，可设l:y-y0=k(x-x0(，由直线与圆的位置关系知：kOP⋅k=-1⇒k=-，则l:y0y-y+x0x=x⇒x0x+y0y=1，0x+y0y=1，若x0=-1，显然切线方程为x=-1，满足x0x+y0y=1，故圆在切点P处的切线方程为x0x+y0y=1；0≠0,x0≠±1，设A(x1,y1(,B(x2,y2(,M(xM,yM(，x0x01-y2=y0(x2-x1(，x+y2y=x+y2y=1，x14x+y1y=1x2x+x14x+y1y=1x2x+(y1-y2(y=0，x+y2y=144∵x0≠0,x0≠±1,∴x1-x2≠0，得yy0,yM=x1y0,yM=x1x0+y1y0因为A(x1,y1(，点在切线x0x+y0y=1上，所以x1x0+y1y0=1，得xM=4x0,yM=使用水平底铅垂高计算△ABM的面积，铅垂高为|y1-y2|=又(x1-x2(2=(x1+x2(2-4x1x2=即|y1-y2|= x3x+1 3x x3x+1 3x+1S△ABM=x0∵点P在圆O上，∴x0∈[-1,1[，由题意，x0≠0，(0<x<1(,fI(x(=3x2(2(0<x<1(,fI(x(=3x2(2+12(△ABM∈0,>0，f(0(=0,f(1(=33(3x+1(,代入椭圆C的方程得y=±y1-y2|=,代入椭圆C的方程得y=±y1-y2|=3,同理x0,同理x0=-1时，S△ABM=33.(s.综上S△ABM(s.法二、设直线AB:x=ty+m，t2+12=t2+1≥1.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,t2+1(t2+4)y2+2tmy+m2-4=0，t2+443⋅1+t2=t2+4.Δ=4t2m2-4(t2+4)(m2-4)=16(t2-m2+4)则|AB|=1+t2⋅(t2+443⋅1+t2=t2+4.x1x+y1y=1过点A的椭圆切线为x1x+y1y=1，过点x1x+y1y=1(x+y2y=1，4所以A，B的坐标满足直线x0x+y0y=4-则点P到直线AB的距离d=|+-m|=3，1+t2|m|1+t2所以S△MAB=|AB|d=|m|6(t24)=|m|+3)，ΔMAB→0，1.(2024·辽宁·模拟预测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0(过点M(2,3(，离心率为2.MT的斜率之积为定值.2-=1【解析】(1)由双曲线C:-=1(a>0，b>0)过点M(2,3(，则-=1，2=12=3，2-则M(2,3(平移到M1(0,0(，Q(-4,6(平移到Q1(-6,3(，S1(x1,y1(2-y2+(12x-6y((mx+ny(=0，则(6n+1(y2-(12n-6m(xy-(3+12m(x2=0，2-(12n-6m(-(3+12m(=0，则=kM1S1⋅kM1又直线S1T1过Q1(-6,3(，则-6m+3n=1，即6m=3n-1，2；2.(2024·云南·模拟预测)抛物线Γ:y2=2px(p>0(的图象经过点M(1,-2(，焦点为F，过点F且倾斜角为(1)y2=4x(2)|AB|=(1)曲线y2=2px图象经过点M(1,-2(，所以(-2(2=2p，所以p=2，由|AB|=x1+x2+p=所以弦|AB|=.A(x1,y1(，B(x2,y2(，C(x3,y3(，D(x4,y4(，y2=-4.因此直线CD的方程为x=2m(y-y3(+x(3)求证直线过定点(x0,y0(，常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0(或截距式y=kx+b来证明.(2)设A,B是双曲线上位于y轴右方的-x2=1(1)将点的坐标代入双曲线的方程求解即可；将点(0,(和(e,代入双曲线方程得：双曲线的方程为-x2=1.(2)(i)设A(x1,y1(,B(x2,y2(,B关于原点对称点记为C(x3,y3(，则x3=-x2,y3=-y2.又因为AF1kFA=kBFFA=kCF，故A,F1,C三点共线.-|BF2|=|AF1|-|CF1|=2.直线AF1与双曲线上支有两个交点，所以Δ>0,x1x3=解得|k|<.|-|C|x1|-|x3|=(x1+x3(=，4+7k2-4=0，且由图可知k>0，即(2k2-1((k2+4(=0， 11+=+==(k2-k2-211++得解.4.(2024·福建南平·模拟预测)已知抛物线C:y2=2px(p>0(的准线l与圆O:x2+y2=1相切.积的最小值.2=4x(2)设直线PA、PB的方程分别为y-y0=k1(x-x0(、y-y0=k2(x-x0(，可得S△PAB=(x1+1(2.(k1+k2(2-4k1k2(x0>1(，过点P的圆O的切线方程与圆相切可得(x-1(k2-2x0y0k+y-1=-所以C的方程为y2=4x；(2)由(1)知准线l的方程为x=-1，设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0(，当x=-1时，yA=k1(-1-x0(+y0，设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0(，当x=-1时，yB=k2(-1-x0(+y0，由题意得S△PAB=|yA-yB|⋅(x0+1(=|k1-k2|⋅(x0+1(2=(x0+1(2.、(k1+k2(2-4k1k2(x0>1(，设过点P(x0,y0(的圆O的切线方程为y-y0=k(x-x0(,则|-x0k+y0|=1，化简得(x-1(k2-2x0y0k+y-1=0，k2+1Δ=4(x+y-1(=4(x+4x0-1(=4[(x0+2(2-5[>0(x0>1(，=-.x+y-1，令x0-1=t(t>0(，所以S△PAB≥、(4+6(×(4+4(=4、5，为P.表示斜率后求解即可得.【解析】(1)由M:+y2=1可得A(-2,0(,C(0,1(，则kAC=tan∠PAB=tan2∠CAB=2×=4，23故lAP:y=(x+2(，令(x+2(=，解得x=-2或x=-，当x=-2时，交点为点A，舍去，当x=-时，y=×(-+2(=，即P(-(，则kPC==-kAP，故∠PAB=∠PBA，PA=PB，则x=-为∠APB的角平分线，联立lAC:y=x+1，有y=×(-+1=，则点(-,为△PAB内心，+1(x+8kx=0，则xQ=-，则yQ=k⋅(-+1=，即Q(-,，+(2k+1(x=0，则xP=-=1-，则yP=k⋅(-+1=-k+，即P(1-,k-，则kAP=-=-k，故lAP:y=-k(x+2(，y=-k(x+2(4+y=12+1y=-k(x+2(4+y=1则由x