2024-2025学年人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 练习

第二十四章圆

专题一圆的性质

核心考点一利用半径相等

01.如图，OO的弦CD与直径AB的延长线相交于点E,AB=2DE,ZE=12°,则NBAC=()

A.60°B,72°

C.75°D.78°

02.如图,PQ是半圆O的直径,正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻且内接于半圆O,点A,B,F在半圆上，点C,D,

G在直径PQ上，点E在BC上,正方形CEFG的面积为16.

(1)求证:OC=OD;

(2)求00的半径长.

核心考点二取动直角顶点所对斜边的中点构造圆心'—隐形圆

03.如图，在RtAABC中,AB，BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足.NPHB=4PBe，则线段CP长的最

小值为.A

核心考点三垂径定理及推论

04.如图,AB是半圆0的直径,E是BC的中点QE交弦BC于点D,已知,BC=8,DE=2,求AD的长.

05.下列说法正确的是()

A.平分弦的直径垂直于弦B.圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴

C.相等的弧所对的弦相等D.长度相等的弧是等弧

核心考点四同弧所对的圆周角和圆心角的关系

06.如图,AB为。O的直径,ZBED=40°,则/ACD=（）

A.40°B.45°

C.50°D.55°

核心考点五直径所对的圆周角是直角

07.如图,AB为。。的直径,CD是O。的弦,ZADC=35°,则NCAB的度数为（）

A.35°B.45°

C.55°D.65°

08.如图，小华同学设计了一个圆半径的测量器，标有刻度的尺子OA,OB在。点钉在一起，并使它们保持垂直,

在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的半径为（）

A.3个单位B.4个单位

C.5个单位D.6个单位

核心考点六圆内接四边形对角互补

09.如图,AB是。。的直径，点C,D,E在。0上,若NDCB=110。,则NAED的度数为（）

A.10°B.15°

C.20°D.25°

核心考点七利用圆的对称性、垂径定理及半径相等列方程

10.如图，多边形ABDEC是由边长为2的正△A8C和正方形BDEC组成则过A,D,E三点的圆的半径为.

DE

专题二垂径定理

核心考点一利用半径相等和垂径定理得直角三角形

01.如图,CD经过0O的圆心O,弦.AB1CD,AB=8,CD=6„则0O的半径为

核心考点二先放垂再利用垂径定理

02.如图,在。O内有折线OABC,其中（OA=8,AB=12,乙4=NB=60。,,则BC的长为」

核心考点三和直径垂直的线段，考虑垂径定理得线段中点

03.如图,直径AB,CD的夹角为60°,P为。O上的一个动点（不与点A,B,C,D重合）.PM,PN分别垂直于CD,AB,垂

足分别为M,N.若0O的半径长为2,则MN的长（）

A.随P点运动而变化,最大值为V3

B.等于百

C.随P点运动而变化，最小值为V3

D.随P点运动而变化，没有最值

核心考点四取弦的中点得垂直

04.如图,AB是半圆的直径,EF为0O的弦,C为。。内一点,NECF=90。,OC=6,OB=10若4F=NEC。,则EF=.

AOB

核心考点五动圆转化为定圆

05.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,ZQON=30°,公路PQ上A处距离。点240米,如果火车行驶时，周围

200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪

音影响的时间为秒.

1N

核心考点六平行弦与多解问题

06.已知。O的半径为25,AB,CD是。O的两条弦,AB//CD,AB=30,CD=48,则AB和CD之间的距离为,

核心考点八垂径定理与特殊角

07.如图,AB为圆O的直径,弦CD交AB于E,ZAEC=45°.

⑴若CE=1,DE=5,求AB;

(2)当点E在AB上运动时,ZAEC的度数不变,求意萨的值.

核心考点九垂径定理的推论与共边双勾股

08.如图,AB,AC是。O的两条弦,M是通的中点N是AC的中点，弦MN分别交AB,AC于点P,D.

(1)求证:AP=AD;

⑵连接PO,若力P=3,OP=V10,©0的半径为5,求MP的长.

专题三圆中角相关的证明与计算（新热点）

核心考点一圆周角与导角

01.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD把它的4个内角分成8个角，则下列关于角的等量关系不一定成

立的是（）

A.Z1=Z4B.Zl+Z2+Z3+Z5=180°

C.Z4=Z7D.ZADC=Z2+Z5

02.如图,AB,CD是。O的两条弦,延长AB,CD交于点P,连接AD,BC交于点E,zP=30°,ZABC=50°,求NA的

度数.

核心考点二圆周角与圆心角的转化

03.如图,OO是4ABC的外接圆，ZB=60°,OO的半径为4,则AC的长等于,

核心考点三圆内接四边形对角互补与解三角形

04.如图以AB为直径作半圆。0,C是半圆的中点,P是BC上一点，AB=5VxPB=1,则PC的长是.

核心考点四多解问题

05.OO的直径为2,AB,AC为。O的两条弦,AB=^2,AC=遮，则^BAC=

专题四圆心角和弧的旋转(新热点)

核心考点一旋转拼接圆心角与解三角形

01.如图，点A.B.C,D在。O上,且^AOB+乙COD=120°,AB=2,CD=4,,则。O的半径为.

02如图,AB是。。的直径点D,C在。。上,NDOC=90°,AC=2,BD=2vx则。O的半径为

核心考点二弧的和差与直径构造

03.如图,四边形ABCD内接于半径为5的0O,且A4B=6,BC=7,CD=8,则AD的长是.

04.如图,AB,CD是OO的两条弦,^AOB+乙COD=180°

(1)在图1中.乙4OB=120。,CD=6,,直接写出图中阴影部分的面积；

(2)在图2中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论.

图1图2

专题五弧的中点

核心考点一由弧的中点得角平分线

01.如图，已知AB是半圆O的直径,ZBAC=32°,D是弧AC的中点，则.的度数是()

A.25°B.29°

C.30°D.32°

核心考点二连弧的中点和圆心可得垂直

02.如图，在半径为5的。。中,AB是直径,AC是弦,D是公的中点AC与BD交于点P,若P是BD的中点,则AC的

长是

核心考点三由弧的中点得等腰三角形

03.如图,点B在。O的直径CD的延长线上,AC为弦,连接AB交圆于F,若/B=27。,AF=AC,ZB=27。N=AC

，则NA的度数为

核心考点四弧的中点综合题

04.如图,AB是。O的直径,C,P是通上两点AB=13,AC=5.

(1)如图1,若点P是AB的的中点,求PA的长；

⑵如图2,若点P是BC的中点求PA的长.

图1图2

专题六垂直弦问题（新热点）

核心考点一利用垂直弦得圆周角互余

01如图，OO的两条弦ABXCD,若NAOD=130。,则乙BOC=

核心考点二双弦心距与勾股

02如图,在。O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,（OD1AB,OE1",垂足分别为D,E,若AB=4,则。O的半

径是____.

03.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD,它们的交点E到圆心O的距离等于1,则AB2+CD2

等于（）

A.28B.26

C.18D.35

核心考点三婆罗摩笈多基本图

04.如图,半径为2石的。O内有互相垂直的两条弦AB,CD相交于P点.

⑴设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF1AD;

⑵若AB=8,CD=6,求OP的长.

专题九弦的夹角处理策略（新热点）

方法：当弦的夹角为直角时，可直接构造平行转化，利用直径所对的圆周角为直角；弦的夹角为其他特殊角

如45。或60。等时，同样可以构造平行弦转化，然后解三角形.

01.如图,在。O中,弦AC与弦BD相交于点E,且NAEB=60。,若4B=4,CD=6,CD=6,则。O的半径为

02.如图，在△ABC中,BC=3&/A=45。，经过B,C两点的0O交边AB,AC于点E,F,若EF=1,EF=1,则。O的

半径为

03如图,四边形BCDE内接于。O,其中BC=4,DE=但分别延长BE,CD交于点A,若NA=30。,则。O的半径为一

04.如图，已知/P=45。,角的一边与00相切于A点另一边交。O于B,C两点的半径为=2vx则AB

的长度为一.

A

.0

B

专题十圆的计算和证明⑴一圆心四边形(新热点)

方法：一个顶点为圆心，其他三个点在圆上的四边形，可构造圆心角对应的圆周角01.(2023七一)如图，四边

形ABCD内接于OO,若乙4=110。,则NBOD的度数为'

02.如图，点A,C,B都在。O上,H.AC\\OB,BC\\OA.

(1)求证:四边形ACBO为菱形;

⑵求NACB的度数.

03.如图,B,C,D是半圆上的点,且AB=CD=V2,BC=DE=3,则阴影部分面积为」

04.如图.已知RtAABC中，乙4cB=90°,BC>AC.QO为△4BC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交C

A的延长线于点D,交。O于点E,连接BE,DE.

(1)求WEB的度数；

⑵若直线DE交。O于点F,判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论.

E

D

专题十一圆的计算和证明(2)——和圆有关的位置关系

核心考点一点共圆

01.如图，四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,ABAC=3乙DBC,BD=6鱼+6萌,贝!JAB=.

核心考点二过三点的圆，外心的确定

02.如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中，B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为

03.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商

店去的一块玻璃碎片应该是()

A.第①块B.第②块

C.第③块D.第④块

核心考点三切线的证明(1)—知半径，证垂直

04.如图，在矩形ABCD中，点。在对角线AC上，以OA的长为半径的圆。与AD,AC分别交于点E,F,且/AC

B=ZDCE.求证:CE与。O相切.

核心考点四切线的证明⑵——作垂线，证半径

05.如图,RtAABC中，ZACB=90°,E是BC上一点,过点E作EF1BC交AB于F,以E为圆心,CE长为半径作。E,

已知EF=AF.求证:AB是。E的切线.

CA

核心考点五弦切角定理

06.如图,直线MAB为。O的切线,A为切点,NP4M所夹的弧对的圆周角为乙4CP,,求证：ZMAP=ZACP.

核心考点六切线长定理

07.如图,PA,PB,DE都是OO的切线,D,E分别在PA,PB上

(1)若AAPB=50。,求NDOE大小；

(2)若PA=6,求APDE的周长.

08.如图,PM,PN分别与相切于A,B两点C为。O上一点,连接AC,BC.若NP=60。，NMAC=75。,AC

V33+1则。O的半径是.

核心考点七三角形的内切圆与内心

09.如图，AB为。。的直径,点M为半圆的中点，点P为半圆上一点(不与A,B重合)，点I为△ABP的内心,

IN1BP于N,下列结论:①NAPM=45。;②ABV22IM③NBIM=/BAP;circle4出”=—.其中正确的个数是

PM2A

()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

B

专题十二圆的计算和证明(3)——圆和全等

01.如图,已知AB是。O的直径,CD平分NACB.求证:AC+BC^CD.

D

02.如图,在圆内接四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90°.若四边形ABCD的面积是S,AC的长是x,则S与x之间

函数关系式是()A

4s=/B,S=

C.S=缶2D.s=|/\//D

c

03.如图,OO的直径AB长为10,弦AC长为6,ZACB的平分线交0O于D,则CD长为

04.如图,在。O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5/BAD=60°„点C为弧BD的中点,则AC的长是___,

D

C

05.如图,正方形ABCD内接于OO,E是BC的中点,连接AE,DE,CE.

⑴求证:AE=DE;

(2)求证:AE+CE=42DE.

06.如图，四边形ABCD内接于。O,AB=AD/BCD=120°,,E,F分别为BC,CD上一点，ZEAF=30°,EF=3,DF=1.

贝！1BE的长为()

A.1B.2

C.3D.4

07.如图,等腰△ABC内接于。O,AB=AC,点D为劣弧BC上一点,乙ADC=60°.

(1)求证:△ABC为等边三角形；

(2)若CD=2BD=4,求四边形ABDC的面积.

08.如图,AB为OO的直径,CD为弦,AM1CD于M,BN1CD于N.

(1)求证:CM=DN;

(2)若.48=10,CD=8,求BN-AM的值.

专题十三圆的计算和证明(4)—三角形的外心和内心

核心考点一外心

01.如图,已知。是四边形ABCD内一点,(OA^OB=OC/ABC=^ADC=75。,贝！j44。+NDCOCO的大小是

核心考点二内心

02.已知△4BC的面积为18c-,,其周长为24cm,则.AABC内切圆半径为—cm.

03.如图,△ABC中，ZC=90°,。1为,AABC的内切圆,点O为△A8C的外心,BC=6,AC=8.(1)求。I的半

径⑵求OI的长.

核心考点三内心和外心

04.如图，。。为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分NB4C交。O于D,点M为△ABC的内心.

⑴求证:BC=V2DM;⑵若DM=5a,AB=8,求OM的长.

D

专题十四圆的计算和证明(5)—圆的折叠

方法总结：折叠圆即等圆，折叠出等弧，等弧对弦，简称“折叠出等腰”

01.如图，将而沿弦AB翻折过圆心。点，交弦AC于D,AD=1,CD=2”则AB的长为_。.

02.如图，在半圆O中，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=4,DB=8,,则BC的长是______

03如图,AB是。O的直径,BC是。O的弦,先将BC沿BC翻折交AB于点D.再将劭沿AB翻折交BC于点E.若

BE=DE,设/ABC=a,则a所在的范围是()

421.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<a<23.5°

04.如图,在。O中，点C在优弧ACB±.,将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若。O的半径为后AB=4,

则BC的长是.

专题十五圆的计算和证明(6)—垂径定理

01.如图,OO中,直径CD_L弦AB于M,AE1BD于E,交CD于N,连AC.

(1)求证:AC=AN;

(2)若OM:OC=3:5,AB=5,求。O的半径.

02.如图,AB是。O的直径,弦BC,DE的延长线交于点F,AB1DE于H,连接BE,CE.

(1)求证:ZBEC=ZF;

⑵连OE,若OE〃BC,CE=13,DE=24,求。O的半径.

03.如图,OO的直径AB垂直弦CD于点E,取而上一点H,AB与弦CH相交于点F.

⑴作AM1C”于点M,求证：^HAM=Z.BCE-,

⑵若H为助的中点,且HD=3,求HF的长.

图1图2

专题十六圆的计算和证明(7)一折弦定理(新热点)

01.如图,已知点A,B,C,D顺次在＜30上，屈=皿,14c于M,求证:AM=DC+CM.

02.如图，点A,B,C为。O上三点,AC=尻1，点M为BC上一点,CEXAM于E,CE14MAE=5,ME=3,则BM

的长为

03.如图,AB是半圆O的直径,C是通的中点，过点C作弦BD的垂线，垂足为E.

(1)求证:CE=DE;

⑵若AD=DE=1,求AB的长.

04.如图,已知△力BC的三个顶点都在。O上，力B=AC,P是北上一点，BF14c于E.

(1)若乙BCF=3NF,求NA的度数；

(2)求证:BE=EF+CF.

专题十七圆的计算和证明(8)—角平分线与垂径定理

01.如图,AB为。O直任C为AB上一点,DC14B于C交。O于D,D为弧AE中点AE交DC于点F.

(1)求证:AE=2DC;

⑵若AC=2,AE=8,求。O半径R和CF长.

02.如图,AB为。O的直径,C是。O上的一点,连接AC,BC.D是BC的中点,过D作DE14B于点E,交BC于点F.

(1)求证:BC=2DE;

⑵若AC=6,AB=10,求DF的长.

03.如图1,AB是。O的直径,AC是弦,点P是BC的中点，PE1AC交AC的延长线于E.

(1)求证:PE是0O的切线；

(2)如图2,作.PH148于H,交BC于N,若.NH=3,B2=4,求PE的长.

专题十八圆的计算和证明(9)—角平分线、内心和鸡爪定理

核心考点一内心和鸡爪定理

01.如图，点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BE.

(1)若/CBD=35。,求NBEC的度数;

⑵求证:DE=DB.

02.如图,OO的直径AB为10cm,弦BC为6cm,D为半圆弧AB的中点,连CD,ZABC的平分线交CD于点I.

(1)求证:AC+BCV2CD;

⑵直接写出CI的长.

核心考点二内心与弦心距

03.小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图1,在。。中，OMLAB于点M,ON，CD于点N,若O

M=ON,贝!jAB=CD.

(1)请帮小雅同学证明这个结论；

⑵如图2,运用以上结论解决问题:在RtAABC中，NABC=90。,O为小ABC的内心，以O为圆心,OB为半径的

。。与△ABC三边分别相交于点D,E,F,G,若AD=8,CF=1,求^ABC的周长.

专题十九圆的计算和证明(10)—弧的中点与等腰三角形

01.如图,四边形ABCD为OO的内接四边形,AC为0O的直径，乙4CD与4BCD互余.

(1)求证：CD=BD;

⑵若CD=4A/5,BC=8,求AD的长.

02.如图,在。O中,弦BCXOA于点D,点F是CD上一点,AF交。O于点E,过点E作。O的切线交BC的延长线于

点H.

(1)求证:EH=FH;

⑵若点C为.屈的中点，AD=2,OD=1„求EH的长度.

03.如图.在等腰△ABC中，AB=XC.AD是中线,E是边AC的中点,过B,D,E三点的。O交AC于另一点F,连接

BF.

(1)求证:BF=BC;

(2)若BC=4,4。=4百，求。O的直径.

BDC

专题二十圆的计算和证明(11)—弧的中点与平行四边形

01.如图,平行四边形ABCD的边AD与经过A,B,C三点的。O相切.

⑴求证:点A平分.SC;

(2)延长DC交0O于点E,连接BE,若BE=4V13,OO半径为13,求BC的长.

02.如图,以仆AOB的顶点O为圆心,OB为半径作。O,交OA于点E,交AB于点D,连接DE,DE〃OB,延长AO交

。。于点C,连接CB.

(1)求证:BC=BD;

⑵若AD=4V3,AE=CE,求OC的长.

03.如图，在半径为5的。O中,AB为0O的直径,OD_L弦AC交。O于D,垂足是H,BD交AC于E,过点E作,EF

1EB交＜30于F,且.EF=EB,连接OF,AF,BF.

(1)求证:乙OFE=4ODE;

⑵若EH=1,求AF的长.A

H

D

E,

BC

专题二十一圆的计算和证明(12)—弧的中点或角平分线与矩形构造

01.如图,AB为。O的直径,E为。O上一点,C为弧BE的中点,过点C作AE的垂线，交AE的延长线于点D.

(1)求证:CD是。O的切线；

⑵连接EC,若AB=10,AC=8,求4ACE的面积.

02.如图,AB为。O的直径,C为。O上的一点,AD1CD于点D,AC平分.ND4B.

(1)求证:CD是。O的切线；

(2)设AD交。。于E,竽=|,4CD的面积为6,求BC的长.

03.如图，点D在。O的直径AB的延长线上,CD切。O于点C,AE1CD于点E.

(1)求证:AC平分.ND4E;

(2)若4B=6,BD=2,求CE的长.

专题二十二圆的计算和证明(13)——等腰三角形

核心考点一圆心在腰上

01.如图,在^ABC中,AB=AC,以AB为直径的0O与边BC,AC分别交于D,E,DF是OO的切线,交AC于点F.

⑴求证:DFXAC;

⑵若AE=4,DF=3,求。O的半径.

核心考点二圆心在底上

02.如图,AABC内接于。O,NB=60。,CD是。O的直径，点P是CD延长线上的一点且PA是。O的切线.

(1)求证:AP=AC;

(2)若AB=3+V15,BC=6,求。O的半径.

核心考点三圆心在“三线”上

03.如图,△ABC是。O的内接三角形，AB=AC,,点P是AB的的中点,连接PA,PB,PC.

(1)如图1,若乙BPC=60。,求AACP;

(2)如图2,若BC=48,48=40„求AP的长.

图1图2

专题二十三圆的计算和证明（14）——双切线问题（新热点）

01.如图,△ABC为等腰三角形,O为底边BC的中点,腰AB与。O相切于点D.

⑴求证:AC是。O的切线；

⑵若BC=12,ZBAC=120°,求图中阴影部分面积.

02.如图,在RtAABC中,NB4C=90°,,BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的。D与AC相交于点E.

（1）求证:BC是。D的切线；

⑵若4B=5,BC=13,求CE的长.

03.如图,在。O中,直径CD,弦AB于点E,点P是CD延长线上一点,连接PB,BD.

⑴若BD平分乙IBP,求证:PB是。O的切线；

⑵连接AP.延长BD交AP于点F,若BDQAP,AB=VXOP=求OE的长度.

4

图1图2

专题二十四正多边形

01.如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要mm.

02.如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需一个五边形.

03分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形.如图，已知等边4

ABC,AB=2,则该莱洛三角形的面积为（）

A.2兀B.-TC-V3

3

C.2TT—3A/3D.2TT—2V3

04.（如图,正六边形ABCDEF中,P是边ED的中点,连接AP,则矢=

05如图，正三角形的边长为12cm,剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距

离和为cm.

BHKC

专题二十五求弧长或阴影部分面积

01.如图,A,B,C三点在半径为1的0O上.四边形ABCO是菱形,求ACC的长

02.如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的。。的圆心重合，E,F分别是AD,BA的延长线与。O的交

点，则图中阴影部分的面积是一.（结果保留兀）

03.如图,在4ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将4ABC绕点A逆时针旋转30。后得到△ADE,点B经过的路径

为弧BD,则图中阴影部分的面积为（）

.254

A.—7TB.-71

123

「3

L.-7TD.-71

412

04如图,正方形ABCD的边长为8,分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆,则阴影部分的面积之和是

()

A.32B.2兀

C.10兀+2D.8兀+1

05.如图,OO半径为5cm,正六边形ABCDEF内接于。O,则图中阴影部分面积为,

专题二十六圆锥的侧面展开图

01.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的侧面展开图的扇形圆心角度数为（）

A.90°B.180°C.45°D.135°

02.一个圆锥的底面半径为10cm,母线长为20cm,则该圆锥的侧面积是—（cm^.

03.如图，从一块直径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是一

04.如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为（65兀£7??2,扇形的弧长为lOitcm，则圆锥母线长是____cm.

专题二十七圆和无刻度直尺作图(1)—不含网格

核心考点一利用垂径定理作弧的中点、角平分线或弦的中点

01.如图，已知A,B,C均在。O上，点D是AC的中点请用无刻度的直尺作图.

⑴画出前的中点M;(2)画出/B的平分线.

02.如图,AABC内接于OO,D是BC的中点,请用无刻度的直尺作图，作△ABC的中线AE.

核心考点二利用垂径定理作三角形的内心

03.如图,已知A,B,C均在。O上,M,N分别是BC,AC边中点请用无刻度直尺作图，作出△ABC的内心.

核心考点三利用直径作一个角的余角

04.如图，已知A,B,C均在。。上,NA=34。,请用无刻度直尺作图，作一个56。的角.

05.如图，已知A.B.C均在。。上，.乙4=42。,，点D在弦BC±,请用无刻度的直尺作图，作一个含48。角的直角

三角形.

核心考点四利用直径所对圆周角是直角，作一个三角形的垂心

06.如图，BC是。O的直径，A是0O内一点，请用无刻度的直尺作图，作△ABC的高AD.

核心考点五利用圆心角和半径构成的等腰三角形的底角相等作平行弦

07.如图,OO是四边形ABCD的外接圆.且AB=BC=CD,请用无刻度的直尺作图，作一条异于BC的直线，使其与A

D平行.

核心考点六利用圆心是直径的中点，构造全等得等弦

08.请用无刻度直尺按要求画图（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）.如图，BC为。O的弦，画一条与BC长

度相等的弦.

核心考点七利用正多边形的中心作边的垂直平分线

09.如图，正六边形ABCDEF,请用无刻度的直尺作图，在图中作一条直线，使其垂直平分AF.

核心考点八利用轴对称作直径和圆心

10.请用无刻度直尺完成下列作图（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）.

（1）如图1,AB,AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M,N,画出该圆的直径AD；

⑵如图2,AB为所在圆的直径,弦（CD"AB,作出该圆的圆心O.

图1图2

专题二十八圆和无刻度直尺作图(2)—网格作图(新热点)

核心考点一根据圆周角为直角时所对的弦为直径作直径

01.如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请用无刻度的直尺作图，作这个圆的一条

直径

核心考点二利用垂径定理作弧的中点

02.如图，A,B,C三个格点都在圆上，请用无刻度的直尺作图，画出该圆的圆心O,并画出劣弧而的中点D.

核心考点三利用平行弦所夹的弧相等，垂径定理作等弧

03如图，A,B,C三点是格点，请用无刻度的直尺作图，画经过这三点的圆的圆心O,并在该圆上画点D.使

AD=BC.

核心'考点四利用圆周角为直角或发现三垂直作直径，利用8字全等找圆心，利用垂径定理作角平分线

04.如图,OP经过A,B,C三个格点.请用无刻度的直尺作图,画圆心P,并画弦BD,使BD平分乙4BC.

核心考点五利用格点的对称性构造对称的圆周角得等弦和等弧

05.如图,OP经过A,B,E三个格点,F是。P与网格线的交点,请用无刻度的直尺作图,画圆心P,并画弦FG,使FG=F

A.

核心考点六利用三垂直作切线，整体平移法作平行线

06.如图,A,B,C三个格点都在圆上,请用无刻度的直尺作图，画出格点E,使EA为。O的一条切线，并画出过点E的

另一条切线EF,切点为F.

核心考点七利用垂直平分线得等弦，利用垂径定理得角平分线或者等弧

07.如图，。0经过A,B,C三个格点，请用无刻度的直尺作图，在圆上找一点F,使AF平分NCAB.

核心考点八平行弦的对角顶点相连所得的交点，在平行弦的垂直平分线上

08.如图,A,E,F三点是格点，。:I经过点A.请用无刻度的直尺作图,先过点F画AE的平行线交。I于M,N两点，

再画弦MN的中点G.

专题二十九圆和无刻度直尺作图(3)—综合训练

核心考点一利用垂径定理及其推论，作弧的中点

01.如图，在5x5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上用无刻度的直尺作图.

(1)在图中AC上画出点P,使BP平分/ABC;

⑵在图中AB上画出点F(点F不与点C重合)，使通=左,

核心考点二构造直径与整体旋转

02.如图是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A,B,C三个格点.仅用无刻度

的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

⑴在图1中画BC的中点D;

⑵在图1中的。O上画一点E,连接BE,使NABE=45。;

⑶如图2,延长BA至格点F处,连接CF.

①直接写出NF的度数；

②P为CF上一点,连接BP,将PB绕点B顺时针旋转90。得到QB,画出线段QB.

核心考点三利用平行弦

03.如图是由小正方形构成的7x7网格，每个小正方形的顶点叫做格点.。。经过A,B,C三个格点，连接AB,A

C,BC.仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示).

(1)在图1中，过B点画OO的一条对称轴，并画出圆心O点；

⑵在图2中.在