三角形 全章复习与测试-新八年级数学暑假自学提升讲义（人教版）解析版

第11章三角形全章复习与测试

模块导航素养目标

模块一思维导图串知识1.理解并会应用三角形三边间的关系.能够运用三角

模块二基础知识全梳理（吃透教材）形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，

证明问题.

模块三核心考点举一反三2.掌握多边形的内角和公式与外角和定理，会用多边形

模块四小试牛刀过关测的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理

模块一思维导图串知识-----------------------------

三角形的两边之和大于第三边三条边三角形内

角和定理三角形三个内角的和等于180。

与

三个内角三

角

形

三个顶点三角形的三角形的外角和等于360。

有

关

的

直角三角形角外角三角形的外角等于与它

锐角三角形按角相性质不相邻的两个内角的和

关

钝角三角形概

分类性质直角三角形的两个锐角互余

念

三边都不相等的三角形姜复一有两个角互余的三角形是直角

二角形判定三角形

底边和腰不相等的按边

等腰三角形

等腰三角形”边形内角和（n-2）x180°

等边三角形多边形的一

形内角和多边形的外角和多边形的外

注意：三角形的高

是360°角和是定值，

不一定在三角形内，-士

部，其交点也不一款曹暮所亭直不随边数的

定在三角形内部线）相交于一点高”边形的n（n-3）变化而变化

对角线条数—2—

得互余关系及90。角

每条边都相等

有

多

分得的两个三角形面积相等关（n-2）xl80°

边

的正外边形每个内角都相等----„-----

三条中线相交于三角形内部一点，该中线形

点为三角形的重，色_____线360°

段每个外角都相等—

三角形内角被分成两个相等的角

三条角平分线相交于三角形内部角平分线

不稳定性

一点

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点一、三角形的有关概念和性质

三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边。

推论：三角形任意两边的之差小于第三边。

解题策略：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形,

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若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.当

已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.

三角形的分类：

按“角”分类：

直角三角形

三角形锐角三角形

斜三角形

钝角三角形

按“边”分类:

「不等边三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形＜

等边三角形

三角形的重要线段：

一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.

一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点.

三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形

交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

三角形的内角和与外角和：

三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.

三角形外角性质：

(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.

三角形的外角和：三角形的外角和等于360。.

知识点二、多边形及其相关概念

1.定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形.其中，各个角

相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.

2.相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

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3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个

多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形.如图：

解题策略：

(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为迎二2；

2

(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形.

知识点三、多边形内角和

n边形的内角和为(n-2)•180°(n》3).

要点诠释：

(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形

的每个内角都相等，都等于("—2)•180；

n

知识四、多边形的外角和

多边形的外角和为360°.

要点诠释：

⑴在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.n边形的外角和恒等于

360°,它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于幽；

n

(3)多边形的外角和为360。的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等

外角的度数.

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6模块三核心考点举一反三------------------------------

一.三角形（共3小题）

1.（2023秋•蜀山区期末）AABC的三角之比是1:2:3,则A43。是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

【分析】设N4=x,则N3=2x,ZC=3x,再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论.

【解答】解：在AABC中，若Z4:NB:NC=1:2:3,

.•.设ZA=x,则ZB=2x,ZC=3x,

%+2x+3x=180°,

解得x=30。，

.•.NC=3X=90°,

此三角形是直角三角形.

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

2.（2023秋•临沐县期末）如图，在RtAABC中，ZB=90°,ZCED=ZA,则A8"为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上均有可能

【分析】先求得NA+NC=90。，再由=得到NCED+NC=90。，从而可得NCDE=90。，最后可

得结论.

【解答】解：在RtAABC中，ZB=90°,

:.ZA+ZC=90°,

ZCED=ZA,

ZCED+ZC=90°,

ZCDE=90°,

即ACDE为直角三角形，

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余.

3.（2023秋•柯桥区期末）如图，在RtAABC中，ZA=90°,ZB=30°.动点P从点C出发，沿边CB,BA

向点A运动.在点尸运动过程中，AR4c可能成为的特殊三角形依次是（）

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A

A.直角三角形f等边三角形一直角三角形f等边三角形一直角三角形

B.等腰三角形一直角三角形-等边三角形一直角三角形一等腰直角三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰直角三角形-直角三角形

D.等腰直角三角形“等腰三角形一直角三角形一等腰直角三角形f直角三角形

【分析】根据三角形的特征解答即可.

【解答】解：在点尸运动过程中，AR4c可能成为的特殊三角形依次是直角三角形f等边三角形一直角三

角形一等腰直角三角形一直角三角形，

故选：C.

【点评】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键.

二.三角形的角平分线、中线和高（共5小题）

4.（2023秋•江门期末）如图，四个图形中，线段班是AABC的高的图是（）

【分析】根据高的画法知，过点3作AC边上的高，垂足为E,其中线段班是AA5c的高.

【解答】解：由图可得，线段班是A钻C的高的图是。选项.

故选：D.

【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂

足之间的线段.

5.（2023秋•桂平市期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）

A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形

C.直角三角形D.周长相等的三角形

【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同

高的两个三角形，所以它们的面积相等.

【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.

故选：B.

【点评】考查了三角形的中线的概念.构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线.

6.（2023秋•海珠区期末）如图，CM是AABC的中线，3c=8cm,若的周长比AACM的周长大2皿，

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则AC的长为（）

B.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根据CM是AABC的中线可知=,再由3c=8on,ABCM的周长比AACM的周长大2皿即

可得出结论.

【解答】解：CM是AABC的中线，BC=8cm,

:.AM=BM,

的周长=BC+BA/+CN,AACM的周长=AC+AM+CM,

NBCM的周长比AACM的周长大2°“,

BC+BM+CM-(AC+AM+CM)=2,即BC-AC=2,

8—AC-2,

解得AC=6(cm).

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是

解题的关键.

7.（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线

段AD应该是人钻。的（)

B.中线C.高线D.以上都不是

【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答.

【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,

他所作的线段AD应该是AABC的中线,

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关

键.

8.（2024•沐阳县校级模拟）己知：如图所示，在AABC中，点、D,E,尸分别为3C,AD,CE的中点,

且S^c=4。疗，则阴影部分的面积为1cm2.

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E

BDC

【分析】易得AABD,AACD为AASC面积的一半，同理可得ABEC的面积等于AABC面积的一半，那么阴

影部分的面积等于NBEC的面积的一半.

【解答】解：。为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，

112

^AABD=^AACD=~^AABC=~2（S）,

同理S.DE=SA3=g5AseE=gx2=l（c/）,

-S岫CE=2（cm）,

P为EC中点，

11,

'4-S^EF=SABCE=万*2=l（cm"）.

故答案为1.

【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等.

三.三角形的稳定性（共2小题）

9.（2023秋•青铜峡市期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（

）

A.全等形B.稳定性C.灵活性D.对称性

【分析】根据三角形具有稳定性解答.

【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性.

故选：B.

【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、

房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.

10.（2023秋•潮南区期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条跖固定门框ABCD,使其不变形，这种做

法的根据是（）

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A.两点之间线段最短B.矩形的对称性

C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性

【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可.

【解答】解:工人盖房时常用木条跖固定矩形门框ABCD,使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确

定下来，故三角形具有稳定性.

四.三角形的重心（共2小题）

11.（2023秋•邯郸期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G均

在小正方形的顶点上，则AABC的重心是（）

【分析】取3C的中点N,取AC的中点连接AN,BM,然后根据图形可知AN与的交点为。,

即可得到点D为AABC的重心.

【解答】解：取3c的中点N,取AC的中点/，连接4V,BM,如图所示，

则AN与的交点为D,

故点。是AABC的重心，

【点评】本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点.

12.（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、

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G在小正方形的格点上，则表示AABC三条中线的交点是点小

【分析】由三角形中线、重心的定义，即可得到答案.

【解答】解：由勾股定理得：BN=CN=^+\2=A/17,

是AABC的中线，

AM=MB,

.•.CM是AABC的中线，

表示AABC三条中线的交点是点D.

【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，关键是掌握三角形中线，重心的定义.

五.三角形三边关系（共4小题）

13.（2024春•郸城县期末）现有两根木条，它们的长分别是40。〃和50”?,要选择第三根木条，把它们钉

成一个三角形木架，设第三根木棒长为xcm,则（）

A.10<x<90B.20<x<100C.40<x<50D.90<x<200

【分析】已知三角形的两边长分别为40cm和505/,根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边

之差小于第三边，即可求第三边长的范围.

【解答】解：由三角形三边关系定理得：50—40cx<40+50,BP10<x<90.

故选：A.

【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等

式即可.

14.（2023秋•双辽市期末）若一个三角形的三边长分别为2、6、a,则。的值可以是（）

A.3B.4C.7D.8

【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出。的取值范围.

【解答】解：:三角形的三边长分别为2,6,a,

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6-2<。<6+2,即4<a<8,

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于

第三边是解题的关键.

15.（2024•盐都区三模）下列各组线段中，能构成三角形的是（）

A.2,5,8B.3,3,6C.3,4,5D.4,5,9

【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得.

【解答】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边.

A、2+5=7<8,不能构成三角形，此项不符题意；

B、3+3=6,不能构成三角形，此项不符题意；

C>4+5>5,能构成三角形，此项符合题意；

D、4+5=9,不能构成三角形，此项不符题意.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键.

16.（2023秋•公安县期末）如果三角形的两条边长分别为2和7,那么这个三角形的周长可以是（）

A.14B.18C.15D.20

【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设这个三角形

的第三边长是x,周长是c,得到5Vx<9,因此14<c<18,即可得到答案.

【解答】解：设这个三角形的第三边长是x,周长是c,

:.7—2V%v7+2，

/.5<x<9,

.,.5+2+7v%+2+7v9+2+7,

/.14<c<18,

,这个三角形的周长可以是15.

故选：C.

【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.

六.三角形内角和定理（共6小题）

17.（2023秋•林芝市期末）如图，AABC中，AD为AABC的角平分线，助为AABC的高，ZC=70°,

ZABC=4S°,那么/3是（）

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A.59°B.60°C.56°D.22°

【分析】根据高线的定义可得NAEC=90。，然后根据NC=70。，NABC=48。求出NC4B,再根据角平分

线的定义求出/I,然后利用三角形的内角和等于180。列式计算即可得解.

【解答】解：座为AABC的高，

:.ZAEB=9Q°

NC=70°,ZABC=48°,

:.ZCAB^62°,

AF是角平分线，

.-.Z1=-ZC4B=31°,

2

在AAEF中，Z£K4=180o-31°-90o=59°.

Z3=ZEFA=59°,

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是

解题的关键.

18.（2023秋•恩平市期末）将两块大小相同的含60。角的直角三角板按如图所示放置，RtADBE的直角边跳;

恰好平分RtAABC的直角ZABC,则ZAFB的度数为（）

A.75°B.95°C.105°D.120°

【分析】利用角平分线的定义，可求出ZABF的度数,再在AA防中，利用三角形内角和定理，即可求出ZAFB

的度数.

【解答】解：3E平分NABC,

ZABF=-ZABC=1x90°=45°.

22

在AAB尸中，ZA=60°,ZABF=45°,

ZAFB=180°-ZA-ZABF=180°-60°-45°=75°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记”三角形内角和是180。”是解题的关键.

19.（2023秋•玉林期末）纸片AABC中，ZA=65°,NB=75。，将纸片的一角折叠，使点C落在AABC内

（如图），若4=20。，则N2的度数为_60。_.

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A

【分析】先根据NA=65。，ZB=75°,求出/C的度数.再由/1=20。可求出NCED的度数，由三角形内角

和定理及平角的性质即可求解.

【解答】解：AABC中，ZA=65°,NB=75。,

ZC=180°-ZA-ZB=180°-65°-75°=40°,

-4=20°,

.•・"a=型丁=8。。，

在XCDE中，Z.CDE=180°-Z.C-Z.CED=180°-40°-80°=60°,

.-.Z2=180o-2ZCDE=180°—2x60°=60°,

故答案为60。.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是180。.

20.（2023秋•台州期末）如图，在AA5c中，Nfl4c=80。，NB=60。，AD是BC边上的高，NACB的平

分线CF交AD于点E.求NAEC的度数.

【分析】先根据三角形的内角和定理得到NACB的度数，然后根据角平分线的定义得到NECD的值，然后

利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可.

【解答】解：在AABC中，Nfi4c=80。，NS=60。,

ZACB=180°-ZCAB-ZB=180°-80°-60°=40°,

又CF是NACB的平分线,

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NECD=-ZACD=!x40。=20°，

22

又-是3c边上的高，

:.ZADC=90°,

ZAEC=90°+ZECD=900+20°=110°.

【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的

应用.

21.（2023秋•楚雄州期末）如图，已知A4BC中，ZB=65°,ZC=45°,AD是3c边上的高，AE是NBAC

【分析】由三角形的内角和定理，可求440=70。，又由AE是/加C的平分线，可求〃4£=35。，再由

A3是边上的高，可知403=90。，可求440=25。，所以NZMEnNBAE—NRADulO。.

【解答】解：在AABC中，

NS4c=180。—-NC=70。，

AE是454C的平分线，

:.ZBAE=ZCAE=35°.

又-AO是3c边上的IWJ,

:.ZADB^90°,

一在AABD中44D=90。一ZB=25°,

ZDAE=ZBAE-ZBAD=10°.

【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定

理，一定要熟稔于心.

22.（2023秋•宽甸县期末）【数学模型】

“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1,

AD,BC交于O点、,根据“三角形内角和是180。，”不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①

ZDOC^ZAOB（对顶角相等）；®ZD+ZC=ZA+ZB.

第13页共38页

【提出问题】分别作出和NBCD的平分线，两条角平分线交于点E,如图2,ZE与ND,之间

是否存在某种数量关系呢？

【解决问题】为了解决上面的问题,我们从特例开始探究.已知44。的平分线与ZBCD的平分线交于点E.

(1)如图2,ZD=30°,ZB=5Q°,则NE1的度数是多少呢？

易证/0+4=4+/3,ZB+Z4=ZE+Z2

请你完成后续的推理过程：

.-.ZL>+Zl+Zfi+Z4=_2ZE+Z3+Z2_

CE,AE分别是々CD,NSM)的平分线

.-.Z1=Z2,Z3=Z4

:.2ZE=

又-ZD=30°,ZB=50°

:.ZE=度・

(2)在总结前面问题的基础上，借助图2,直接写出“与/D,NB之间的数量关系是：—

【类比应用】(3)如图3,ZBAD的平分线"1与NBCD的平分线CE交于点E1.

已知：ZD=a,4B=/3,(a<£)则NE=.(用0、£表示)

【分析】【解决问题】

(1)根据两个三角形的有一对对顶角相等得：ZD+Z1=ZE+Z3,ZB+Z4=ZE+Z2,两式相加后，再

根据角平分线的定义可得结论；

(2)根据(1)可得结论；

【类比应用】

(3)首先延长3C交相)于点由三角形外角的性质，可得NBCD=NB+NBAD+ND,又由角平分线的

性质，即可求得答案.

【解答】解：【解决问题】

(1)如图2,ZD+Z1=Z£+Z3,ZB+Z4=ZE+Z2,

ZD+Z1+ZB+Z4=2ZE+Z3+Z2,

CE、AE分别是ZBCD、NSW的平分线，

.-.Z1=Z2,Z3=Z4.

第14页共38页

.\2ZE=ZD+ZB,

.•.NE=g(ZD+"),

又-ZD=30°,ZB=50°,

:.ZE=40&.

故答案为：2NE+N3+N2,ZD+ZB,40。；

(2)由(1)得：Z£=1(ZD+ZB),

故答案为：NE=；(ND+NB)；

【类比应用】

如图3,延长交相)于尸，

ZBFD=ZB+ZBAD,

:.ZBCD=ZBFD+ZD=NB+ZBAD+ZD,

CE平分ZBCD,AE平分NfiAD

/ECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-/BAD,

22

ZE+ZECB=ZB+ZEAB,

:.ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+NBAE-g/BCD=NB+ZBAE-1(ZB+ZBAD+ZD)=1(ZB-ZD)-

“=1°、4B=/3。,

即NE=g(£—c)。.

故答案为：g（尸-。）°.

图3

【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角

平分线的性质和等量代换是解决问题的关键.

七.三角形的外角性质（共4小题）

23.（2024•湖南模拟）如图，已知点。是AABC的3c边延长线上一点，且满足N4=85。，々=25。，则

NACD的度数为（）

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A

BCD

A.1000B.110°C.40°D.70°

【分析】由NACO是AA5c的外角，利用三角形的外角性质，即可求出ZACD的度数.

【解答】解：Z4co是AABC的外角，

:.ZACD^ZA+ZB=85°+25°=110°.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解

题的关键.

24.（2023秋•宣汉县期末）如图，3尸是AABC中NABC的平分线，CP是NACB的外角的平分线，如果

ZABP=2Q°,ZACP=50°,则ZA+ZP=_90°_.

【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出Z4的度数，根

据补角的定义求出NACB的度数，根据三角形的内角和即可求出NP的度数，即可求出结果.

【解答】解：3尸是AABC中NABC的平分线，CP是NACB的外角的平分线，

又・ZABP=2Q°,ZACP=5Q°,

ZABC=2ZABP=40°,ZACM=2ZACP=100°,

:.ZA=ZACM-ZABC=60°,

ZACB=1800-ZACM=80°,

ZBCP=ZACB+ZACP=130°,

ZPBC=20°,

ZP=180°-ZPBC-ZBCP=30°,

.­.ZA+ZP=90°,

故答案为：90°.

【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等

于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180。.

25.（2024•城厢区校级模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则NAOB等于_105。_.

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A

B

【分析】由题意可得NA=60。，ZACD=90°,ZBCD=45°,从而可求得NACO的度数，再利用三角形的

外角性质即可求NAOB的度数.

【解答】解：如图：

由题意得：NA=60。，ZACD=90°,ZBCD=45。,

ZACO=ZACD-ZBCD=45°,

ZAOB是AAOC的外角，

ZAOB=ZA+ZACO=105°.

故答案为：105。.

【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之

和.

26.（2023秋•贵池区期末）【探究】如图①，在AABC中，NABC的平分线与NACB的平分线相交于点P.

（1）若NABC=80。，ZACB=50°.则/4=50度,ZP=度.

（2）与NP的数量关系为—，并说明理由.

【应用】如图②，在AABC中，NABC的平分线与NACB的平分线相交于点尸.N45c的外角平分线与NACB

的外角平分线相交于点Q.直接写出ZA与ZQ的数量关系为_

Q

图①亩②

【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；

（2）由角平分线定义得ZPCB=-ZACB,再根据三角形内角和定理，即可得到结论;

22

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【应用】由角平分线定义可得NCBQ=90O-gNABC,ZBCQ=90°-^ZACB,再根据三角形内角和定理,

即可得到结论.

【解答】【探究】

解：(1)ZABC=80°,ZACB=50°,

.-.ZA=1880°-80°-50°=50°,

ZABC的平分线与ZACB的平分线相交于点P,

NCBP=-ZABC,ZBCP=-ZACB,

22

NBCP+NCBP=|(ZABC+ZACB)=1xl30°=65°,

.-.ZZ,=180o-65°=115°,

故答案为：50,115；

(2)ZP--ZA=90°.理由如下：

2

BP、CP分别平分ZABC、ZACB,

NPBC=-ZABC,NPCB=-ZACB,

22

ZA+ZABC+ZACB=180°ZP+ZPBC+ZPCB=180°,

NP+g(ZABC+ZACB)=180°,

ZP+1(180°-ZA)=180°,

:.ZP--ZA=90°；

2

故答案为：ZP--ZA=90°；

2

【应用】

解：Z2=90°-1zA.理由如下：

ZABC的外角平分线与ZACB的外角平分线相交于点Q,

ZCBQ=1(180°-ZABQ=90°-1ZABC,

Z.BCQ=g(180°一ZACB)=90°一gZAC3,

NBCQ中，Z2=180°-(ZCB2+NBCQ)=180°-(90°-1zABC+90°-jzACB)=~(ZABC+ZACB),

又・ZABC+ZACB=180°-ZA,

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NQ=g（180。_ZA）=90。_：ZA；

故答案为：Z2=90°-1zA.

图①

【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形

内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键.

八.直角三角形的性质（共3小题）

27.（2023秋•盘山县期末）如图，NACB=90。，CD±AB,垂足为点下列结论错误的是（）

B.N1和々都是NA的余角

C.Z1=Z2D.图中有3个直角三角形

【分析】根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等解答.

【解答】解：，ZACB=90°,CDYAB,

.•.ZA+Z1=Z1+Z2=9O°,

:.ZA=Z2,

Zl+ZA=ZA+ZB=90°,

r.N1和ZB都是ZA的余角,

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直角有NACB、ZADC./BDC共3个，

/I与22只有AABC是等腰直角三角形时相等，

综上所述，错误的结论是4=/2.

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余和同角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

28.（2023秋•安州区期末）若直角三角形的一个锐角为26。，则另一个锐角度数为_64°_.

【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

【解答】解：90°-26°=64°.

故答案为：64°.

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题.

29.（2023秋•青龙县期末）如图，已知AC_L3C于点C,CDJ_AB于点£>,44=56。，则〃的度数

【分析】先证明NACB=NBDC=90。，可得/么+"=90。=/5+/0€方，从而可得NDCB=NA=56。.

【解答】解：ACA.BC,CD±AB,

:.ZACB=ZBDC^90°,

ZA+NB=90。=NB+ZDCB,

:.ZA=NDCB,

ZA=56°,

ZDCB^ZA^56°.

故答案为：56°.

【点评】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，，掌握直角三角形两锐角互余是解题的

关键.

九.多边形（共4小题）

30.（2023秋•南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【分析】根据三角形具有稳定性，其他多边形具有不稳定性可得结论.

【解答】解：三角形具有稳定性；

故选：D.

【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上

的多边形都不具有稳定性.

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31.（2023秋•青县校级月考）已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（

）

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

【分析】根据截去一个角后边数增加1,不变，减少1,即可确定原多边形的边数.

【解答】解：・截去一个角后边数可能增加1,不变或减少1,

，原多边形的边数为6或7或8,不可能为九边形，故。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1,可能减少

1,或不变.

32.（2023秋•浏阳市期中）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D,七边形

【分析】根据〃边形的对角线有此二2条，把5代入即可得到结论.

2

【解答】解：由题意得，必二2=5,

2

解得：〃=5,（负值舍去），

故选：B.

【点评】本题考查了多边形，掌握〃边形的对角线有幽二2条是解题的关键.

2

33.（2023秋•德惠市校级期末）一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角.

【分析】根据任意凸多边形的外角和是360。.可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角中，最多有3个

锐角.

【解答】解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角.

【点评】注意每个内角与其相邻的外角是邻补角，由于多边形的外角和是不变的，所以要分析内角的情况

可以借助外角来分析.

一十.多边形内角与外角（共5小题）

34.（2022秋•重庆期末）一个多边形的每个内角都等于140。，则这个多边形的边数是（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】根据多边形的内角和定理：180。-（〃-2）进行求解即可.

【解答】解:由题意可得：180°•（n—2）=140°-n,

解得n=9,

故多边形是九边形.

故选：C.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理.解题时注意：〃边形的内角和为：180。・（"-2）.

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35.（2023秋•宾阳县期中）如图，N1是在五边形ABCDE的一个外角，若4=40。，则NA+NB+NC+N。

的度数是（）

【分析】根据多边形内角与外角的关系，由4=50。，得/4^）=180。-/1=140。.再根据多边形的内角和，

得ZA+NB+NC+NO=180°x3-ZA£D=540°-130°=400°.

【解答】解:Zl=40。，

ZAED=180°-Zl=140°.

.­.ZA+ZB+ZC+ZD=180ox3-ZA£D=540o-140o=400°.

故选：B.

【点评】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的内角和、多边形外角与内角的关系是解决

本题的关键.

36.（2023秋•固始县期末）如图，将四边形ABCD去掉一个70。的角得到一个五边形3CDEF,贝l|Nl+N2=

250°.

【分析】根据三角形内角和定理求出N4EF+Z钮留，根据邻补角的性质计算即可.

【解答】解：ZA=70°,

.•.在AAER中，ZAEF+ZAFE=180°-ZA=110°,

Zl+Z2=360°-110°=250°,

故答案为:250.

【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.

37.（2024春•道县校级期中）一个多边形的内角和是720。，这个多边形的边数是

【分析】根据内角和定理180°.（»-2）即可求得.

【解答】解：.•多边形的内角和公式为（〃-2>180。，

2）x180°=720°,

解得n=6,

,这个多边形的边数是6.

第22页共38页

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180。<〃-2）,难度适中.

38.（2023秋•克州期末）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180。，求这个多边形的边数.

【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180。，即可得到多边形的

内角和的度数.根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数.

【解答】解：设这个多边形的边数是"，

依题意得（M-2）X180°=3X360°-180°,

（M-2）=6-1,

〃=7.

,这个多边形的边数是7.

【点评】任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化.

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选择题（共10小题）

1.（2023秋•滨城区期中）已知三角形的两边长分别为3、7,则第三边。的取值范围是（）

A.4<a<10B.4釉10C.a>4D.a<10

【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解.

【解答】解：•.•三角形的两边长分别为3、7,

二.第三边。的取值范围是则4<a<10.

故选：A.

【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，

中考常考题型.

2.（2024•东明县一模）一个多边形的内角和是720。，这个多边形是（