湖南省郴州市2022-2023学年高一年级下册期末数学试题（解析版）

郴州市2023年高一上学期期末教学质量监测试卷

数学试题

注意事项：

1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分.考

试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真

核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.

3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效考生在答题

卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

1.已知复数z满足z(l—1)=3+1(其中i为虚数单位)，贝|]Z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求得z,求得z对应的坐标，得出答案.

3+i(3+i)(l+i)2+4i,、

【详解】由条件得z=「=>.;=—^=1+21,

1-1(l-i)(l+i)2

所以z在复平面内对应的点为(1,2),在第一象限.

故选：A.

2.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一780人、高二600人、高三“人中，抽取35人

进行问卷调查，已知高一被抽取的人数为13人，则九等于()

A660B.720C.780D.800

【答案】B

【解析】

【分析】根据分层抽样各层抽样比相等，列出等量关系，求解即可.

1335

【详解】根据题意可得:解得n=720,

780780+600+〃

故选：B.

3.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2,腰长为兀的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（）

c兀

A.271B.—C.2D.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆锥的底面圆周长与侧面展开图的扇形弧长相等列式求解.

【详解】由题意，圆锥的底面半径为/'=：!,母线长为/=兀，

设侧面展开图的圆心角为a,则a/=2a,可得a=2.

故选：C.

4.已知a、，是两个不同的平面，加、“是两条不同的直线，则下列四个说法中正确的是（）

A.若加〃a,则aB.若m〃n,mua,nu0,则

C.若m_L，，则|，D.若“,则a〃1

【答案】D

【解析】

【分析】根据线线，线面的位置关系进行判断.

【详解】A选项，若加〃七”〃£，有可能mua,A选项错误；

B选项，若“1〃n,mua,nu0,有可能a,尸相交，B选项错误；

C选项，若m_La,a_L，，有可能mu/7,C选项错误；

D选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，D选项正确.

故选：D

5.“网红”打卡地高椅岭，位于郴州苏仙区飞天山高椅岭村，丹霞奇景集聚凸显，被称之为“被上帝遗忘的地

方”.如图1是高椅岭最高峰美丽坦，下面是登云天梯.现测量美丽坦的高度时，选取了与美丽坦底部B在

同一平面内的两个测量基点C与。，测得N3CD=60°,NCD5=80°,CD=45m,在C点测得该美丽坦

顶端的A仰角为45。，则美丽坦的高度约为（）（参考数据：取sin40=0.6）

\8V,""""0^.z°/

D

A.72mB.75mC.90mD.120m

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理求出BC,再利用直角三角形求解作答.

【详解】在BCD中,依题意，ZCBD=40，由sin40=0.6，得cos40=Jl—sir?/=0.8,

BCCD45sin80

由正弦定理得即BC=二90cos40二72,

sinZBDCsinZCBDsin40

在RtZkABC中，ZABC=9Q,ZACB=45,因此AB=5C=72,

所以美丽坦的高度约为72m.

故选：A

6.已知W=3力=。,1),且。涉的夹角是：，则人在a方向上的投影向量为()

31,13,

A.—aB.—bC.—ciD.—b

2332

【答案】C

【解析】

【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解

【详解】因为口=3/=(1,1),且a3的夹角是:，

所以b在a方向上的投影向量为

a-baa；=也法£=也*0殁=i

—a’

\a\aH』211|a|233

故选：c

7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就

是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1〜9的

一种方法.例如：3可表示为“三”，26可表示为“=，”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，

则用1〜9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）

一二三三|，，工

123456789

1517

A.-B.—C.-D.—

312212

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.

【详解】1根算筹只能表示1,2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示4和8,5

根算筹可表示5和9,

因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12个，

其中个位数与十位数之和为5的有14,41,23,32,共4个，

41

所以所求概率为尸=不=-.

123

故选：A

8.如图，在一ABC中，CM=2MB，过点M的直线交射线AB于点P，交AC于点Q,若

AP=mAB,AQ=nAC,则+的最小值为（）

A.3B.-D.6

3

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量的线性运算，结合尸，M,。三点共线，求出m,〃的关系，再利用基本不等式求最

小值作答.

21

【详解】由CM=2MB，得AM-AC=2(43—A"),即有AM=§+§AC,

由A尸=氏AQ=〃AC,且机＞0,〃＞。，得AB=，AP,AC=LA。，

mn

21.21

因此AM二——AP+—AQ,而点P,M,。共线，则——十——=1,

3m3n3m3n

八/八一21、44〃加4cl~4n—~m8

所以机+2〃=（机+2n）（-------1）=--\-------------1--------＞—+2J----------=—,

3m3n33m3n3\3m3n3

4〃TH4

当且仅当一二一，即加=2〃=—时取等号，

3m3n3

Q

所以加+2〃的最小值为一.

3

故选：B

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得。分.）

9.已知复数z满足iz+2+3i=0,则下列结论正确的是（）

A.z的虚部是2iB.z2=5-12i

C.z的共辗复数是3—2iD.|Z|=713

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意，求得复数z=—3+2i,结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】由复数z满足iz+2+3i=O,可得（iz+2+3i＞（—i）=0,所以z=—3+2i,

对于A中，复数z=—3+2i的虚部为2,所以A不正确；

对于B中，由Z?=（-3+2i）2=5-12i,所以B正确；

对于C中，由复数z=—3+2i的共朝复数为复数z=—3—2i,所以C不正确；

对于D中，由忖=卜3+2胃=所以D正确.

故选：BD.

10.下列说法正确的是（）

A.从容量为N的总体中抽取一个容量为〃的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三

种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为Pi，P2,PT,＞则B=。2=。3

B.若P（AB）=[,P⑸=|,P㈤=|,则事件A与事件3相互独立

C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件

D.设A,3是两个随机事件，且P（A）>0,P（5）>0,则P（AB）=P（A）+P（B）

【答案】AB

【解析】

【分析】利用三种抽样方法的定义判断A；利用相互独立事件地定义判断B；利用对立事件的意义判断C；

利用概率加法公式成立的条件判断D作答.

VI

【详解】对于A,三种抽样方法，总体中每个个体被抽中的概率均为一，A正确；

N

-2111

对于B,由尸（A）=§,得P（A）=§,因此P（A3）=m><§=P（A）P（3）,事件A与事件B相互独立，B

正确；

对于C,“至多一次击中”的事件与“两次均未击中”的事件可以同时发生，它们不互斥，不是对立事件，C

错误；

对于D,A3是两个随机事件，且P（A）>0,P（5）>0,当A,3互斥时，P（A_B）=P（A）+P（B）,

D错误.

故选：AB

11.在一A6C中，角的对边分别为”,仇c,则（）

A.若k8+AC|=|A3—则为直角三角形

JT

B.若a=4,3=:符合条件的一ABC有一个，则2</?<4

6

C.若sinA>sinB,贝！]。>万

D.若sin2A=sin2B，则为等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：根据平面向量的模长以及数量积的运算律分析运算；对于B：利用正弦定理分析运算;

对于C：利用正弦定理可判断；对于D：利用两角和差的正弦公式求解.

।,,।uunuuu2umUUD2

【详解】对于A：因为+=—AC],即AB+AC=AB-AC，

uunuunuunuun?um?uunuuinuun.一

则AB2+2ABAC+2AC=AB-2ABAC+2AC2，整理侍AB-AC=O，

所以即为直角三角形，故A正确；

兀兀

对于B：若a=4,5=一，贝!Jasin3=4xsin—=2,

66

若符合条件的.ABC有一个，则Z?=2或b>4,故B错误;

对于C：若sinA>sinB,则由正弦定理可得〃>>，故C正确；

对于D：若sin2A=sin2B,即sin［（A+3）+（A—3）］=sin［（A+3）—（A—3）］,

展开整理得85（74+5）5垣（人一5）=0,

jr

•：Q<A+B<n,-Tt<A-B<7i,A+3=—或A—5=0,

2

.ABC为直角三角形或等腰三角形，故D错误.

故选：AC.

12.如图，在正方体ABC。—A4G2中，点M,N分别是3月,G2的中点，则下列结论正确的是（）

A.在平面AA45内存在直线与平面平行

B.在BG上存在点。，使得4。与平面3月CC所成的角为60。

C.若点E是。2的中点，点P是线段GE上的动点，则三棱锥A-EVW的体积是定值

D.过点AM,N的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,取44］的点F,得AFBXM为平行四边形，从而B,F//AM,即可判断；对于B,设

正方体MGR的棱长为1，则等叫Q"由的，平面地“知〃侬为AQ与平

面34£C所成的角，求解可判断；对于C,连接所，则ET4G为平行四边形，得GE〃⑷0，从而

GE，"平面AMN,则点P到平面的距离与点E到平面AAW的距离相等且为定值，结合体积转

化即可判断；对于D,取AE的中点G,在用G上取点且=可证得过点AM,N的

截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形AMHNG.

【详解】对于A,取A4的点尸，连接与尸，

,/AF//BtM,AF=B[M,：.AFB^M为平行四边形，

,/BtF//AM,耳厂a平面AAW,平面AMN,男/"平面AAW,故A正确;

对于B,设正方体ABC。—a与GR的棱长为1,点。在BQ上，^-<BXQ<\,

\BX±平面BB”,NAQA为4。与平面BBgC所成的角,

MJ_

tanZAiQBl==1Wtan幺。4W及<G

BQBXQ

.•.45°<NAQ4<60。，故B错误;

对于C,连接EF，

则EF//AD//51G,EF=AD=BXCX,

则ERB。]为平行四边形，C[E〃B[F,又

则GE〃AW,GE<Z平面AAGV,Wu平面AACV,GEV平面川0V，

点尸是线段GE上，则点P到平面AMN的距离与点E到平面AMN的距离相等且为定值,

则三棱锥A-PMN的体积VA_PMN=Vp-AMN=VE_AMN，为定值，故C正确；

对于D,取的中点G,连接AG,GN,

则GN〃£E〃AM,则G在平面4WN上，

取BM的中点s,在CG，与G上分别取点/〃，且GT=；CG，G"=；B]G，

连接BT,S3，MH,NH,则37〃5£〃血,

又BT〃AG,则AG〃又“，则M在平面上，

所以，过点AM,N的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形AMHNG,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分第2问3分，共20分.)

13.数据24,11,12,13,15,14,17,18,20,10的第60百分位数是.

【答案】16

【解析】

【分析】先对这10个数据排列，然后根据百分位数的定义求解即可

【详解】这10个数从小到大排列为10,11,12,13,14,15,17,18,20,24,

因为10x60%=6,

所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，即"三"=16,

故答案为：16

14.在平行四边形ABCD中，E为的靠近3的三等分点，若A3=2,AT>=6,且440=120°,则

ACDE=.

【答案】-22

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解.

【详解】以8为原点，以BC所在直线为无轴，建立平面直角坐标系，如图，

匕i

A____________D

BECx

则B(0,0),C(6,0),E(2,0),A(l,我,。(7,®

AC=(5,-A/3),DE=(-5,-73),

ACDE=5x(-5)+(-73)x(-G)=-22.

故答案为：—22.

15.某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例

分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值(单位：cm),计算得男生样本的均值为170,

方差为20,女生样本的均值为160,方差为30,据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为.

【答案】48

【解析】

【分析】根据分层抽样均值和方差的计算公式计算即可.

【详解】由题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，

可得总体的均值为]=@^xl70+当■xl60=166,

10001000

总体的方差为一=^^{600X[20+(170-166)2]+400X[30+(160-166)2]}=48.

故答案为：48.

16.已知四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球。的表面上，上4,平面ABCZ),底面ABCD是等腰梯形，

AD//BC,AB=AD=CD=4,ZABC=-,PA=272,

3

(1)四棱锥F-ABCD的外接球的表面积为；

(2)若M是线段A3上一点，且过点/作球。的截面，所得截面圆面积的最小值为

【答案】①.7271②.37r

【解析】

【分析】根据给定的几何体，确定球心。的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作

答.

【详解】(1)在等腰梯形ABCD中，连接AC,如图，

则NR4D=NADC=」，ZCAD=-,于是/R4C=巴，

362

取中点。一连接日人@。，则aA=a3=oc，得.均为正三角形,

即有aA=O[B=O.C=O[D,即01是梯形ABCD外接圆圆心,

而。为四棱锥P—ABCD外接球球心，因此平面A5CD,又用，平面ABCD,

则而Q4为球。的弦，则过点。垂直于Q4的平面必过外的中点E,连接。工。4,

于是OELB4,而OiALPA,即有qA〃OE,四边形QAEO为矩形，O}O=AE=^PA=42,

因此球。的半径R=OA=86+002=30,

所以，四棱锥P—ABCD的外接球的表面积为S=4兀尺2=7271；

7T

(2)在中，ZABO,=-,BM=3,0,5=4,

2

O^-=BM+0^--2BMOtBcosZABO1=13,

22

连接OXM,在RtAOjOAf中，OM=O}M+Ofir=15,

过点M的球0的最小截面圆所在平面必垂直于OM,

而此截面圆半径为r=A/T?2-OM2=73，

所得截面圆面积的最小值为岳=兀产=3兀.

故答案为：72兀，3兀.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17已知向量a=(1,0)力,且|a-2Z?|=2.

(1)求加及。与6的夹角的余弦值；

(2)若。+加与方垂直，求实数f的值.

【答案】(1)7"=g，cos(^a,b^~~~

2

(2)t=---

5

【解析】

【分析】(1)利用向量的坐标运算及夹角公式求解；

(2)利用向量垂直的坐标表示求解.

【小问1详解】

因为向量a=(1,0),。=(m,V),\d-2b|=2，

所以〃为=加,5|=1,|〃|=y/m2+1，

\d—2b|2=d2—4a-Z?+4Z?2=4»即4根？—4m+1=0，解得根=5,

g、i/7\a，b君

''\d\\b\5

【小问2详解】

由(1)知加=g,故〃=(l,0),b=,

故a+仍=(1,0)+Z,1J=11+耳/,

因为〃+仍与Z?垂直,所以(。+也>"=][1+5%]+%=°,解得[=—1.

18.如图，在四棱锥尸-A5CD中，平面？A3,底面A5C。，底面ABCD为正方形，E为PB的中点,

方为尸。的中点.

P

;

BL-------------%

(1)证明：EF//底面ABCD；

(2)已知八4=/>5=2,二面角P—BC—A的平面角为60。，求四棱锥P—A6CD的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵逑

3

【解析】

【分析】(1)连接8。，可得EF//BD,利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)取4B的中点M,由面面垂直的性质可得底面ABC。，进而得8cl平面B4B,NPBA是二

面角尸-BC-A的平面角，可求得PM,利用棱锥的体积公式求得结果.

【小问1详解】

连接8。，在△P8D中,E为尸8的中点，尸为尸。的中点，所以EF//BD,

又BDu底面ABCD,EF<Z底面ABCD,所以EE//底面ABCD,

【小问2详解】

取A8的中点连接PM,

因为B4=PB=2,所以。

又平面PAB，底面ABCD,平面Q4BC底面ABCD=AB,PMu平面PAB,

所以底面A3CD所以

因为底面48CD为正方形，所以3C_LAB,

又ABPM=M,钻,「河匚平面出3,所以平面B48,

。6匚平面研8，，5。_1。5,

.•.NP6A是二面角P—5C—A的平面角，.,.N/?B4=60°,

又PA=PB=2,，P8A为正三角形，.〔PMuG，

所以匕ABCD==x2x2义班,

r-ADCLZ3"3

即四棱锥P-ABCD的体积为述.

3

2a—

19.在锐角中，内角所A3,C对的边分别为"c,若满足cosC=——

2b

(1)求角8的大小；

(2)若/?=1,求a+c的取值范围.

TT

【答案】(1)-

3

⑵(73,2]

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理边角互化来处理；

(2)利用正弦定理，将a+c用角来表示，结合正弦函数的单调性处理.

【小问1详解】

u■，人在-2a—C―。2

由余弦定理，cosC=-------=--------------,

2b2ab

(2)用分层随机抽样的方法从［60,70),［90,100］两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机

抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间［60,70］的概率；

(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项

目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军.已

12

知甲在三个项目中获胜的概率分别为3,《,P，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是

47

—,甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由.

50

【答案】(1)84.5分

⑵-

4

(3)甲最终获胜的可能性大；理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；

(2)根据分层抽样的分法，得到从［60,70)抽取1人，即为。，从［90,100］中抽取3人，即为123,利用

列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求

解；

4

(3)根据题意求得p=分别求得甲乙得到2分和3分概率，即可得到答案.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：

x=(65x0.01+75x0.015+85x0.045+95x0.03)xl0=84.5分.

【小问2详解】

解：由频率分布直方图，可得［60,70)的频率为0.1,［90,100］的频率为0.3,

所以用分层随机抽样的方法从［60,70),［90,100］两个区间共抽取出4名学生，

可得从［60,70)抽取1人，即为。，从［90,100］中抽取3人，即为123,

从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有(a,1),(a,2),(a,3),(1,2),(1,3),

(2,3),(1,a),(2,a),(3,a),(2,1),(3,1),(3,2),共有12个基本事件;

其中第二个交流分享的学生成绩在区间［60,70］的有：(1,a),(2,a),(3,a),共有3个，

31

所以概率为P=—=—.

124

【小问3详解】

解：甲最终获胜的可能性大.

47

理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是一，

50

12474

可得i—(i—5)(i—1)(1—P)=五，其中。<°<1,解得p=§,

1241241241243

则甲的2分或3分的概率为：P=—x—x(1)H—x(1---)x—I-(1----)x—x—I—x—x—=—,

2552552552555

所以乙得分为2