江苏省淮安市高中教学协作体2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE15-江苏省淮安市中学教学协作体2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.已知直线l：x，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据题意，由直线l的方程分析可得直线l是与x轴垂直的直线，据此可得答案.【详解】依据题意，直线l：x，是与x轴垂直的直线，其倾斜角为.故选：B.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，留意直线l是与x轴垂直的直线，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，已知点与点，若在轴上有一点满意，则点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，设的坐标，由空间两点间距离公式可得，解可得的值，即可得答案.【详解】已知点与点，若在轴上有一点满意设的坐标，若，则有解得：即的坐标为故选：A.【点睛】本题考查空间中两点间距离的计算，留意轴上点的坐标的特点，考查了分析实力和计算实力，属于基础题.3.若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原点坐标代入圆的方程得到不等式，解不等式得到结果.【详解】把原点坐标代入圆的方程得:解得：本题正确选项：【点睛】本题考查点与圆的位置关系的问题，属于基础题.4.在△ABC中，若b＝8，c＝5，A＝120°，则a＝（）A. B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可得出.【详解】由余弦定理可得：a2＝82+52﹣2×8×5×cos120°＝129.解得a.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了推理实力与计算实力，属于基础题.5.点关于点的对称点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案.【详解】依据题意，设的坐标为，点与关于点的对称，为的中点，依据中点坐标公式可得：，解可得，即的坐标为故选：A.【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，留意分析点为中点，考查了分析实力和计算实力，属于基础题.6.斜率为1的直线l被圆x2+y2＝4x截得的弦长为4，则l的方程为（）A.y＝x﹣3 B.y＝x+3 C.y＝x﹣2 D.y＝x+2【答案】C【解析】【分析】先由题设条件求得圆心的坐标及半径，再由弦长得出直线经过圆心这一结论，然后写出直线的方程.【详解】由题设知圆心的坐标为（2，0），半径r＝2，又弦长为4＝2r，所以直线l过圆心（2，0），且斜率为1，∴直线l的方程为y＝x﹣2.故选：C.【点睛】本题主要考查如何由圆中的弦长求弦所在的直线方程，属于基础题.7.△ABC中，若，则该三角形肯定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】依据正弦定理把等式acosA＝bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A＝sin2B，进而推断A＝B，或A+B＝90°答案可得.【详解】依据正弦定理可知∵bcosB＝acosA，∴sinBcosB＝sinAcosA∴sin2A＝sin2B∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°，所以△ABC为等腰或直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查计算实力，属基础题.8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】如图，连接B1G,B1F．则异面直线A1E与GF所成角为∠B1GF．△B1GF中，得∠B1GF=所以选D考点：异面直线所成角的算法．二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）9.已知A，B，C表示不同的点，L表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是()A.A∈L，A∈α，B∈L，B∈α⇒L⊂αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.L⊄α，A∈L⇒A∉αD.A∈α，A∈L，L⊄α⇒L∩α＝A【答案】C【解析】A为公理一，推断线在面内的依据，故正确；B为公理二，推断两个平面相交的依据，正确；C中l⊄α分两种状况：l与α相交或l∥α，l与α相交时，若交点为A，则C错误；DA∈α，A∈L，说明直线与平面有公共点，又L⊄α，所以L∩α＝A，正确.故选C10.在中，若，则可能为（）A B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】依据正弦定理“边化角”，求得，结合范围，即可求得的值.【详解】由正弦定理可得：，则，，故：，由则或.故选：AD.【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题关键是驾驭正弦定理：，考查了分析实力和计算实力，属于基础题.11.平行于直线x+2y+1＝0且与圆x2+y2＝4相切的直线的方程可能是（）A.x+2y+5＝0 B.x+2y+20 C.2x﹣y+5＝0 D.x+2y﹣20【答案】BD【解析】【分析】依据题意，设要求直线x+2y+m＝0，分析圆的圆心与半径，由直线与圆相切的性质可得d2，解可得m的值，将m的值代入即可得直线的方程，即可得答案.【详解】依据题意，设要求直线x+2y+m＝0，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，则有d2，解可得：m＝±2，即要求直线的方程为x+2y±20；故选：BD.【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，涉及直线平行的性质，属于基础题.12.下列说法正确的是（）A.点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）B.过（x1，y1），（x2，y2）两点直线方程为C.经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0D.直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8【答案】ACD【解析】【分析】通过对称性推断A；两点式方程的体积推断B；截距式方程推断C，三角形的面积推断D；【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）满意直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），所以A正确；当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），两点的直线方程为，所以B不正确；经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查命题的真假的推断，直线方程的求法，直线的位置关系的推断，是基本学问的考查.三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）13.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，AC＝6，则△ABC的面积等于_____.【答案】3【解析】【分析】利用三角形面积计算公式即可得出.【详解】解：由已知可得：2×6sin60°＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形面积计算公式，重点考查了计算实力，属于基础题.14.圆与圆的公切线有_____条.【答案】【解析】【分析】求出两个圆的圆心与半径，推断两个圆的位置关系，然后推断公切线的条数.【详解】因为圆化为，它的圆心坐标，半径为.圆化为，它的圆心坐标，半径为.因为，即圆心距等于两个圆的半径和，所以两个圆相外切，所以两个圆的公切线有条.故答案为：.【点睛】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，圆心距与两个圆的半径和与差的关系是解题的关键，考查计算实力.15.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_____.【答案】【解析】【分析】先推导出BF∥AE，从而∠BFC是异面直线AE与CF所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.【详解】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E，F依次是A1D1和B1C1的中点，∴BF∥AE，∴∠BFC是异面直线AE与CF所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BF＝CF，∴cos∠BFC.∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题.16.已知直线l：y＝k（x﹣2）+4与圆C：x2+（y﹣1）2＝4相切于点P，那么直线l恒过定点M的坐标为_____，切线长PM＝_____.【答案】(1).（2，4）(2).3【解析】【分析】由直线系方程求解直线l恒过定点M的坐标；画出图形，数形结合求解切线长PM.【详解】解：由直线l：y＝k（x﹣2）+4，得k（x﹣2）+4﹣y＝0，则，即.∴直线l恒过定点M的坐标为（2，4）；如图，∵M（2，4），圆心C（0，1），∴切线长PM＝.故答案为：（2，4）；3.【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.四、解答题（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知平面内两点M（4，﹣2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分线方程；（2）直线l经过点A（3，0），且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程.【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0【解析】【分析】（1）求出线段MN中点坐标和直线MN的斜率，再求线段MN中垂线的斜率和直线方程；（2）分别求出直线l与直线MN平行时和过MN的中点时的直线方程即可.【详解】解：（1）平面内两点M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中点坐标为（3，1），又直线MN的斜率为，所以线段MN的中垂线的斜率为，线段MN的中垂线的方程为，即x﹣3y＝0.（2）当直线l与直线MN平行时，由（1）知，kMN＝﹣3，所以此时直线l的方程为y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；当直线l经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在，所以直线方程为x＝3；综上知，直线l的方程为x＝3或3x+y﹣9＝0.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题.18.已知圆x2+y2＝4，直线y＝x﹣b，当b为何值时，（1）圆与直线没有公共点；（2）圆与直线只有一个公共点；（3）圆与直线有两个公共点.【答案】（1）b或b（2）b（3）b＜2【解析】【分析】（1）由圆心到直线距离大于圆的半径求解即可；（2）由圆心到直线的距离等于圆的半径求解即可；（3）由圆心到直线的距离小于圆的半径求解即可.【详解】解：由圆的方程x2+y2＝4可得，该圆的圆心O（0，0），半径r＝2，圆心到直线y＝x﹣b的距离为d.（1）当d＞r，即，即b或b时，直线与圆相离，无公共点；（2）当d＝r，即，即b时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）当d＜r，即，即b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题.19.△ABC中，BC＝7，AB＝4，且.（1）求AC的长；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）5（2）4【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理即可求解AC，（2）由已知结合余弦定理可求A，然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）△ABC中，BC＝7，AB＝4，且，由正弦定理得：⇒⇒AC5.（2）由余弦定理得：cosA，因为A∈（0，π），所以sinA.所以△ABC的面积为AB•ACsinA4×54.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的简洁应用，属于基础题.20.已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，点P（3，1）.（1）求该圆的圆心坐标及半径；（2）求过点P的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程；（3）若圆C的一条弦AB的中点为P，求直线AB的方程.【答案】（1）圆心C（2，0），半径r＝4（2）x﹣y﹣2＝0（3）x+y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆的标准方程得出圆心坐标以及半径；（2）弦长最大即为直径，直线l为圆心C与点P的连线所在直线方程；（3）弦AB中点与圆心连线与直线AB垂直，可得斜率，再由点P坐标可得直线AB的方程.【详解】（1）由圆的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，则（x﹣2）2+y2＝16,故圆心C（2，0），半径r＝4.（2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线l过点C，由过点P，C的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1＝x﹣3，故直线l的方程为x﹣y﹣2＝0.（3）由弦AB的中垂线为CP，则,所以可得kAB＝﹣1，故直线AB的方程为：y﹣1＝（﹣1）（x﹣3）,故直线AB的方程为x+y﹣4＝0.【点睛】本题考查圆的方程，直线的方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.21.已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣2，0)，B(0，2)，C(2，﹣2)，求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）△ABC的外接圆的方程.【答案】（1）x+y＝0（2）【