2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数真题分类专练一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1新20版练B1数学人教A版第四章真题分类专练题组1指数函数的图像与性质1.(浙江学考)对随意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是()。A.(am)n=am+n B.(am)n=aC.(am)n=am-n D.(am)n=amn答案：D解析：(am)n=amn,故选D。2.(浙江学考)设函数f(x)=2ex,g(x)=e3x,其中e为自数对数的底数,则A.对于随意实数x恒有f(x)≥g(x)B.存在正实数x使得f(x)>g(x)C.对于随意实数x恒有f(x)≤g(x)D.存在正实数x使得f(x)<g(x)答案：D解析：由已知可得函数f(x)=2ex,g(x)=e3x的值域均为(0,+∞),则g(x)f(x)=e26x,当x>0时,g(x)f(x)>1,即f(x)<g(3.(2024·山东高考)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()。A.f(x)=2-x B.f(x)=x2C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx答案：A解析：对于选项A,f(x)=2-x=12x,则exf(x)=ex·12x=e2x,因为e2>1,所以exf(x)在R上单调递增,所以f(x)=2-x具有M性质。而分析B,C,D易知B,C,D中f(4.(湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,其次年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()。A.p+q2C.pq D.(p答案：D解析：设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1+p)·(1+q)a=a(1+x)2,解得x=(1+p)(1+5.(浙江高考)已知a,b>0,且a≠1,b≠1。若logab>1,则()。A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0答案：D解析：依据题意,logab>1⇔logab-logaa>0⇔logaba>0⇔0<a<1,0<ba<1或a>1,ba>1,即0<a<1,0<b<a或a>1,b>a。当0<a<1,0<b<6.(2024·贵州二模)若a=212,b=313,c=515,则a,b,c的大小关系为(A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.b<c<a答案：C解析：a=212,b=313,c=515,明显,∵b6-a6=9-8=1>0,∴b6>a6,∴b>a。∵a10-c10=32-25>0,a10>c10,∴a>c。综上可得b>a>c。故选C。7.(2024·全国Ⅱ高考)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=()。A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1答案：D解析：依题意得,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1,选D。8.(山东高考)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在[0,+∞)上是增函数,则a=。

答案：1解析：函数g(x)在[0,+∞)上为增函数,则1-4m>0,即m<14。若a>1,则函数f(x)在[-1,2]上的最小值为1a=m,最大值为a2=4,解得a=2,m=12,与m<14冲突;当0<a<1时,函数f(x)在[-1,2]上的最小值为a2=m,最大值为1a=4,解得a=14,m=题组2对数函数的图像与性质9.(2024·浙江学考)计算lg4+lg25=()。A.2 B.3 C.4 D.10答案：A解析：lg4+lg25=lg100=2。10.(浙江学考)函数f(x)=log2(x-1)的定义域为()。A.(-∞,-1) B.(-∞,1)C.(0,1) D.(1,+∞)答案：D解析：x-1>0,所以x>1。11.(黑龙江学考)已知函数f(x)=lnx,若实数a>b>c>e,则f(a)a,f(b)A.f(a)a>f(b)b>C.f(c)c>f(a)a>答案：D解析：由对数函数y=lnx的特征知选D。12.(2024·全国Ⅲ高考)下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是()。A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)答案：B解析：方法一:设所求函数图像上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图像上,所以y=ln(2-x)。故选B。方法二:由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图像上也在所求函数的图像上,代入选项中的函数表达式逐一检验,解除A,C,D,选B。13.(2024·天津高考)已知a=log2e,b=ln2,c=log1213,则a,b,c的大小关系为A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案：D解析：方法一:因为a=log2e>1,b=ln2∈(0,1),c=log1213=log23>log2e>1,所以c>a>b方法二:log1213=log23,如图,在同一坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图像,由图知c>a>b14.(2024·全国Ⅱ高考)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()。A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)答案：D解析：由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4。因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞)。留意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),选D。15.(全国Ⅱ高考)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(A.1B.-∞,13C.-D.-∞,-13答案：A解析：函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,∴f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数,又当x∈(0,+∞)时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,f(x)是单调递增的,故f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,解得116.(天津高考)函数f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间为(A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)答案：D解析：函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=log12t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=log12t在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y=f(x)在17.(浙江高考)计算:log222=。2log答案：-12,3解析：log222=log22-12=-12,2log23+lo18.(天津高考)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a·log2(2b)取得最大值。

答案：4解析：由于a>0,b>0,ab=8,所以a=8b,所以log2a·log2(2b)=log28b·log2(2b)=(3-log2b)·(1+log2b)=-(log2b)2+2log2b+3=-(log2b-1)2+4,当b=2时,有最大值4,此时a19.(重庆高考)函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为答案：-14解析：依题意得f(x)=12log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=log2x+122-14≥-14,当且仅当log2x=-12,即x=120.(2024·全国Ⅲ高考)已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=答案：-2 解析：由f(a)=ln(1+a2-a)+1=4,得ln(1+a2-a)=3,所以f(-a)=ln(1+a2+a)+1=-ln121.(云南学考)函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,8]上的最大值为6,则a=。

答案：2 解析：当a>1时,f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,8]上是增函数,所以f(x)max=f(8)=loga8=6,所以a=2。当0<a<1时,f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,8]上是减函数,所以f(x)max=f(2)=loga2=6,所以a=62>1(舍)。综上可知,a=2题组3指数函数与对数函数的综合问题22.(2024·天津高考)已知a=log372,b=1413,c=log1315,则a,A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案：D解析：log1315=log3-15-1=log35,因为函数y=log3x为增函数,所以log35>log372>log33=1。因为函数y=14x为减函数,所以14123.(2024·全国Ⅰ高考)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()。A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案：D解析：方法一:(作差法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=lgklg2,y=lgklg3,因为k>1,所以lgk>0,所以2x-3y=2lgklg2-3lgklg3=lgk×(2lg3-3lg2)lg2×lg3=lgk×lg98lg2×lg3>0,故2x>3y,2x-5z=2lgklg2-5lgk方法二:(作商法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1。则x=lgklg2,y=lgklg3,所以2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,5z2x=52×lg2lg5=lg25所以5z>2x>3y。故选D。方法三:(中间值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=lgklg2,y=lgklg3,所以3y=lgklg33,2x=lgk因为33=69>68=2,2=1032>所以lg33>lg2>lg55又k>1,所以lgk>0,所以lg33>lg2>lg5所以3y<2x<5z。故选D。24.(2024·北京高考)依据有关资料,围棋状态空间困难度的上限M约为3361,而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080。则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案：D解析：因为lg3361=361×lg3≈361×0.48≈173,所以M≈10173,则MN≈10173108025.(天津高考)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数。记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()。A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<a答案：C解析：由f(x)=2|x-m|-1是偶函数得m=0,则f(x)=2|x|-1。当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-1递增,又a=f(log0.53)=f(|log0.53|)=f(log23),c=f(0),且0<log23<log25,则f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b。26.(2024·全国Ⅲ高考)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()。A.flog314>f(2-B.flog314>f(2-C.f(2-32)>f(2D.f(2-23)>f(2答案：C解析：因为函数y=2x在R上是增函数,所以0<2-32<2-23<20=1。因为函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以log314<log313=-1。因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)。因为函数f(x)在(0,+∞)单调递减,且0<2-32<227.(2024·全国Ⅰ高考)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()。A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a答案：B解析：∵a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3<0.20=1且c>0,∴a<c<b,故选B。题组4求函数的零点或零点的个数28.(云南高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+3x。则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()。A.{-1,3} B.{-3,-1,1,3}C.{1,3} D.{1,-3}答案：A解析：当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2+3x=x-3,无解;当x<0时,由f(x)是奇函数得-f(x)=f(-x)=x2+3(-x),即f(x)=-x2+3x。由f(x)=x-3得x=3或-1。故选A。29.(天津高考)已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-xA.2 B.3 C.4 D.5答案：A解析：f(2-x)=2从而g(x)=1+|2-x|,x≥0,3-x2,x<0。在同一坐标系下画出y=f(x),y=g(x)的图像(图像略),视察可得两函数图像有题组5确定函数零点所在的区间30.(广州学考)函数f(x)=12x-x+2的零点所在的一个区间是(A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案：D解析：f(2)·f(3)=122×123-3+2=131.(北京高考)已知函数f(x)=6x-log2x。在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,+∞)答案：C解析：因为f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=32-log24=-12<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4),故选题组6由函数零点的特征求参数的值或取值范围32.(2024·全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a。若g(xA.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案：C解析：函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图像,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C。33.(2024·山东高考)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()。A.(0,1]∪[23,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)答案：B解析：当0<m≤1时,需满意1+m≥(m-1)2,解得0≤m≤3,故这时0<m≤1。当m>1时,需满意(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0,故这时m≥3。综上可知,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞)。34.(山东高考)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0答案：(3,+∞)解析：f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,当x>m时,f(x)=x2-2mx-4m=(x-m)2+4m-m2,其顶点为(m,4m-m2);当x≤m时,函数f(x)的图像与直线x=m的交点为Q(m,m)。①当m>0,4m-m2≥m,即0<m≤3时,函数f(x)的图像如图①所示,易得直线y=b与函数f(x)的图像有一个或两个不同的交点,不符合题意;②当4m-m2<m,m>0,即m>3时题组7函数模型的应用35.(四川高考)某食品的保鲜时间y(单位:时)与贮存温度x(单位:℃)满意函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是24小时,则该食品在44℃的保鲜时间是小时。

答案：24解析：依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb36.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%。已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(毫克/升)与过滤时间t(时)之间的函数关系式为P=P0e-kt(k,P0均为正的常数,其中P0为t=0时的污染物数量)。假如在前5个小时的过滤过程中污染物被解除了90%,那么至少还需()过滤才可以排放。A.12时 B.59时 C.5时 答案：C解析：由题意,前5个小时解除了90%的污染物。因为P=P0e-kt,所以(1-90%)P0=P0e-5k,所以0.1=e-5k,即-5k=ln0.1,解得k=-15ln0.1设t时后污染物含量为1%,由1%P0=P0e-kt,得0.01=e-kt,所以-kt=ln0.01,即t5ln0.1=ln0.01=2ln0.1,解得t=10所以至少还需5时过滤才可以排放,故选C。37.(湖南高考)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品须要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件)。已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件。该企业支配支配200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数)。(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产须要的时间;答案：设完成A,B,C三种部件生产须要的时间分别为T1(x),T2(x),T3(x)(单位:天),由题设有T1(x)=2×30006x=1000x,