广东省三校2024-2025学年高三全真数学试题模拟试卷(17)含解析

广东省三校2024-2025学年高三全真数学试题模拟试卷(17)考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则全集则下列结论正确的是()A． B． C． D．2．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上 B．点M在圆C外C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能3．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）A．7 B．6 C．5 D．44．函数在上单调递减的充要条件是（）A． B． C． D．5．已知条件，条件直线与直线平行，则是的()A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）A． B． C． D．7．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A． B． C．10 D．8．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A． B． C．1 D．9．已知是函数的极大值点，则的取值范围是A． B．C． D．10．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（）A．2 B． C． D．11．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________.14．的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________.15．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________.16．若正实数x，y，满足x+2y=5，则x2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．18．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流．（i）求这人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．临界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63519．（12分）已知函数．当时，求不等式的解集；，，求a的取值范围．20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：．（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点（1）求证：平面平面；（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值22．（10分）已知函数.（1）若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.【详解】由，则，故，由知，，因此，，，，故选:D本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.2．B【解析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交，圆心到直线的距离，即．也就是点到圆的圆心的距离大于半径．即点与圆的位置关系是点在圆外．故选：本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．3．C【解析】

由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．【详解】的二项展开式中二项式系数和为，．故选：C．本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．4．C【解析】

先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.【详解】依题意，，令，则，故在上恒成立；结合图象可知，，解得故.故选：C.本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.5．C【解析】

先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要条件.故选C本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.6．A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题7．D【解析】

直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型：，故.故选：.本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．B【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为．故选：B．本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9．B【解析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴，即在上单调递增，时，，，且，∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．故选B．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．10．D【解析】

选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意是的重心，，∴，，∴，故选：D．本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．11．A【解析】

利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.12．A【解析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝±答案：A本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值.【详解】由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积，当且仅当时等号成立.故答案为：本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题.14．【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，所以即.因为，解得或（舍）.故答案为：.本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.15．【解析】

设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【详解】设公差为，因为，所以，所以，所以故答案为：本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.16．8【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将x+1当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.详解：x2-3x+1+2点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）.（2）1【解析】

（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.（2）因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列见解析．【解析】

（1）根据所给数据可完成列联表．由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这样不达标人数随之而得，然后计算可得结论；（2）由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，的可能值为0，1，2，分别计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望．【详解】（1）列出列联表，，所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关．（2）（i）在“锻炼达标”的学生中，男女生人数比为，用分层抽样方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，人中女生的人数为，则的可能值为，，，则，，，可得的分布列为：可得数学期望．本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望．主要考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．19．（1）；（2）.【解析】

（1）当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范围为．绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．20．（1）见解析（2）【解析】

（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．【详解】（1）证明：连接，，．，，平面．平面，平面平面．，为的中点，．平面平面，平面．平面，．为斜边的中点，，（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，记平面的法向量为由得到，取，可得，则．易知平面的法向量为．记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，则，所以二面角的