高考数学 热点题型和提分秘籍 专题04 函数及其表示 文（含解析）

专题04函数及其表示【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小.【热点题型】题型一函数定义域例1、(年高考安徽卷)函数y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＋eq\r(1－x2)的定义域为________．【举一反三】求函数f(x)＝eq\f(lgx2－2x,\r(9－x2))的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(x)的定义域．【热点题型】题型二函数解析式的求法【例2】(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．【举一反三】已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝eq\f(1,3)x2－4x＋6C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3【热点题型】题型三考查分段函数求值例3、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥4，,fx＋1，x<4，))则f(2＋log23)的值为A.eq\f(1,24)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)【举一反三】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9【热点题型】题型四分类讨论思想在分段函数中的应用例4、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>3,2x－3＋1，x≤3))满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A．log23B.eq\f(17,16)C.eq\f(3,2)D．1【举一反三】设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x∈－∞，1,x2，x∈[1，＋∞))若f(x)>4，则x的取值范围是________．【高考风向标】1．（·安徽卷）若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x），0≤x≤1，,sinπx，1<x≤2，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝______．【答案】eq\f(5,16)【解析】由题易知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(41,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)))＝－eq\f(3,16)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(5,16).2．（·北京卷）下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|【答案】B【解析】由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.3．（·江西卷）将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．4．（·山东卷）函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定义域为()A．(0，2)B．(0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)5．（·安徽卷）定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．6．（·安徽卷）函数y＝ln1＋eq\f(1,x)＋eq\r(1－x2)的定义域为________．7．（·福建卷）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．【答案】－2【解析】feq\f(π,4)＝－taneq\f(π,4)＝－1，f(－1)＝－2.8．（·江西卷）设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)x，0≤x≤a，,\f(1,1－a)（1－x），a<x≤1.))a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))上的最大值和最小值．9．（·辽宁卷）已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．a2－2a－16B．a2＋2a－16C．－16D．1610．（·辽宁卷）已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg2)＋flgeq\f(1,2)＝()A．－1B．0C．1D．211．（·新课标全国卷Ⅱ]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．图1－9(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．11．（·山东卷）函数f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定义域为()A．(－3，0]B．(－3，1]C．(－∞，－3)∪(－3，0]D．(－∞，－3)∪(－3，1]【答案】A【解析】要使函数有意义，须有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x≥0，,x＋3>0，))解之得－3<x≤0.12．（·四川卷）已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且eq\f(2,|OQ|2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2).请将n表示为m的函数．13．（·浙江卷）已知函数f(x)＝eq\r(x－1).若f(a)＝3，则实数a＝________．【答案】10【解析】f(a)＝eq\r(a－1)＝3.则a－1＝9，a＝10.14．（·重庆卷）函数y＝eq\f(1,log2（x－2）)的定义域是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2，3)∪(3，＋∞)D．(2，4)∪(4，＋∞)【答案】C【解析】由题可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,x－2≠1，))所以x＞2且x≠3，故选C.【随堂巩固】1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,ax＋b，x≤0，))且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2 B．2C．3 D．－32．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为()A．－3 B．－1C．1 D．33．若函数f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)2x＋1))，则f(x)的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))4．下列函数中，与函数y＝eq\f(1,\r(3,x))定义域相同的函数为()A．y＝eq\f(1,sinx) B．y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xex D．y＝eq\f(sinx,x)5．已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，则f(3)＝()A．8 B．9C．11 D．106．具有性质：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))满足“倒负”变换的函数是()A．①② B．①③C．②③ D．只有①7．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是()8．若函数f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围为________．9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．10．(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．11．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝eq\