专题1.7空间向量与立体几何（基础巩固卷）（人教A版2019选择性）

专题1.7空间向量与立体几何（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高二上·全国·课后作业）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可.【详解】因为点，所以的中点，所以关于平面对称的点的坐标为，故选：A.2．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积夹角坐标公式直接计算即可.【详解】因为，，所以，，所以.故选：C3．（2324高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果.【详解】由题意得，所以，所以，所以点A到直线BC的距离.故选：D.4．（2324高二上·北京·期中）已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量垂直则向量数量积为0，逐个代入验证即可.【详解】若点在平面内，则，对于A：，所以A选项的点不在平面内；对于B：，满足要求，所以在平面内；对于C：，满足要求，所以在平面内；对于D：，满足要求，所以在平面内，故选：A5．（2324高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的加减法和数乘向量即可以为基底表示向量【详解】故选：D6．（2024高二上·辽宁铁岭·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．是向量，不共线的充要条件B．在空间四边形ABCD中，C．在棱长为1的正四面体ABCD中，D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，则P，A，B，C四点共面【答案】B【分析】对于A，利用向量共线和充要条件的定义即可判断；对于B，利用向量的加法和数量积的定义即可判断；对于C，利用向量的数量积的定义计算即可判断；对于D，利用四点共面的条件即可判断.【详解】对于A，当时，向量，可能不共线，比如共线向量，的模分别是，则A不正确；对于B，在空间四边形ABCD中，，故B正确；对于C，在棱长为1的正四面体ABCD中，，故C不正确；对于D，设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若,由，可得P，A，B，C四点不共面，故D不正确.故选：B.7．（2324高二上·湖南怀化·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】如图示，以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则.所以.所以直线与直线夹角的余弦值为.故选：A8．（2324高二下·河南许昌·期末）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（

）①直线；②平面；③平面ADM.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的运算结合数量积的含义即可判断①③，根据长方体的性质可判断②.【详解】设长方体棱长为，以D为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则故,,故直线不成立，①不正确；在长方体中，平面，②正确，因为，设平面ADM的法向量为，则，令，则，则，而，故，故平面ADM.不成立，故③错误，故选：B多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2324高二上·广东江门·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.【详解】A：，A是；B:，B是；C：构成空间的一个基底，故无法用表示，C不是；D：，D是；故选：ABD10．（2324高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为【答案】AC【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案.【详解】由题意，，，，，.对于A、B项，可知，∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C项，设平面的法向量为，则.又，，所以有.令，可得，则C正确；对于D项，设平面的法向量为，则.又，，所以有.令，得，故D不正确.故选：AC.11．（2324高二上·重庆永川·期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（

）A．四面体是鳖臑B．与所成角的余弦值是C．点到平面的距离为D．点到直线的距离为【答案】ABD【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，以及向量的夹角公式和距离公式，准确运算，逐项判定，即可求解.【详解】以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，对于A中，，因为，所以，即，所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确；对于B中，，则与所成角的余弦值为，所以B正确；对于C中，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，则点到平面的距离为，所以C错误；对于D中，由，直线方向上的单位向量是，则到的距离为，所以D正确.故选：ABD.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2324高二下·江苏徐州·期中）定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是.【答案】【分析】先设夹角，则,由即得解.【详解】由题意知，．设，则．又，则，故．故答案为：13．（2024高二·全国·课后作业）在平行六面体中，若，则．【答案】【分析】由向量的线性运算法则得到，结合，求得的值，即可求解.【详解】在平行六面体中，由向量的线性运算法则，可得，又由，所以，解得，，，故．故答案为：.14．（2324高二上·广东·期中）在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则.【答案】【分析】由向量的运算法则，求得，根据，结合向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意可得，，则，故.故答案为：解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2024高二·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面为一矩形，，，，点，分别是和的中点，试用，，表示，，，．【答案】；；；．【分析】利用空间向量的线性运算几何意义，结合空间向量基本定理，注意回路的选择，即可得到答案；【详解】．．．．16．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：

(1)求的模长；(2)求，的夹角.【答案】(1)；(2)90°.【分析】（1）根据空间向量线性的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可；（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以，因此，因为正四面体所有棱长为1，所以，所以；（2）由（1）可知：，同理，，所以，的夹角为90°.17．（2324高二上·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，平面平面ABCD．

(1)求证：平面ABCD；(2)若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接AC交BD于点O，易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，利用面面垂直的性质定理可得出AC⊥平面PBD，从而AC⊥PD，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角即可得出．【详解】（1）连接AC交BD于点O，由平面几何知识易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，BD是交线，AC平面ABCD，∴AC⊥平面PBD，又PD平面PBD，∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB＝A，AC,AB平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD；（2）如图，以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，建立如图空间直角坐标系，

PD＝1，则，易知是平面PBD的一个法向量，，设是平面PBC的一个法向量，则，即，取，∴，∵二面角的平面角为锐角，∴二面角的平面角的余弦值为．18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使.设为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明.（2）由为等边三角形，且，，，得到平面.设的中点为，连接，则，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为正方形中，，分别为，的中点，所以，，又因为，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为，，，所以为等边三角形，且.又因为，，所以平面.设的中点为，连接，则，，两两垂直，故以，，所在直线分别为轴､轴和轴建立空间直角坐标系，如图，则，0，，，0，，，4，，，4，，，0，，，0，，，0，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.19．（2324高三上·江苏扬州·期末）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面平面CBD，又平面ABD．（1）若，求证：；（2）若二面角的大小为，求线段AE的长.