初中数学复习：探究与表达规律

3.3探索与表达规律

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

学会基本的找规律的方法★

找规律掌握常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系★★

通过观察、归纳、验证及类比联想寻找规律，获得结论★★★

定义新运算能根据题意进行运算，熟悉定义新运算的关键所在★★

弄清程序与数学表达式之间的关系，并准确转化为数学问

程序计算★★

题进行解题

二、核心纲要

1.找规律

解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时还需要通

过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：

(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系.

(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系.

(3)图形(图表)规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系.

(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而

观察商和余数.

⑸数形结合的规律：观察前n项(一般前3项)及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.

常见的数列规律：

⑴l,3,5,7,9,...,2n—l(n为正整数).

(2)2,4,6,8,10,...,2n(n为送数).

(3)2,4,8,16,32,…,2"(n为正整数).

(4)2,5,10,17,26,...,n2+l(n为正整数).

(5)0,3,8,15,24,...,n2—l(n为正整数).

(6)2,6,12,20,...,n(n+l)(n为正整数).

(7)-x,+x,-x,+x,-x,+x,...,(-1)"x(n为正整数).

⑻+x,-x,+x,-x,+x,-x,1)"+lx(n)为正整数).

(9)特殊数列：

①斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.

②三角形数1,3,6,10,15,21,...,攻衿.

2.定义新运算

⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本

运算过程、运算律进行运算.

（2）注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.

3.程序计算

解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题.

4.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.

本节重点讲解：两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）.

三、全能突破

基础演练

1.根据图2-3-1中数字的规律，在图形中填空.

第1个第2个第3个第4个第"个（"为正整数）

图231

2.观察下面一列整式：打2-944,白尤89,_去/616,…照此规律第6个整式是____第n个侬1且为整数）整

Zo1ZZU

式是—.

3.正整数按图2-3-2中的规律排列.请写出第45行，第46列的数字—.

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1251017

1111

第二行4——361118

111

T

第三行9・—8-—71219

1

V

第四行16-—15・—14——132()

1

▼

第五行25・—24―—23<—22-—21

图2-3-2

4.图2-3-3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三

角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6

个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层中含有正三角形个数是一个.

.如图所示，给正五边形的顶点依次编号为若从某一顶点开始，沿正

52-3-41,2,3,4,5,图2-3-3

五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移

位”.如：小宇在编号为3的顶点时，那么他应走3个边长，即从3T4T5-1为第一次“移

位「这时他到达编号为1的顶点；然后从1-2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点

开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是；第2012次“移位”后，则他所处顶点

的编号是__.图2-3-4

6.观察下列等式：

⑦421235

--X

②22

52-3X7

③22

63-3X9■

-/

④22

4-3X11

则第n(n是正整数)个等式为—.

7.我们规定一种运算：J：[=ad-6,若|

8.魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2-3-5所示的步骤操作：

O<^6^>O口<^1±7^>(=>《^鹿术师》

图2-3-5

魔术师立刻说出观众想的那个数.

(1)如果小明想的数是-1,那么他告诉魔术师的结果应该是一；

⑵如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93,那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是.

(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙.

能力提升

9.已知:41=4,42=16,43=64,44=256,4s=1024,-,,以上算式结果的个位数字分别为4,6,4,6,,按照

上面的研究方法确定20062007+20072。。6的个位数字为()

A.3B.4C.5D.6

10.如图236所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑

色棋子的个数是—.

11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2-3-7(a)中的1,3,6,10,…，由

于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2-3-7(b)中的1,4,9,16,…，这样的数为正

方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()

图2-3-7

A.15B.25C.55D.1225

12.如图2-3-11所示，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都

相等.

9&#X-62

图2311

⑴可求得x=—第2012个格子中的数为.

⑵判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012?若能，求出m的值；若不能，请说明理由；

任意写一个个位数字不为o

的三位数，，它的百位数字

减去个位数字所得的差等于2

13.阅读图2312并回答下列问题：z----------------4----------------->

交换4的百位数字与个位数字，

⑴若A为785,则E=____;[即数B,

⑵按框图流程，取不同的三位数A,所得E的值都相同吗？如果相同,请说明理；[、

由；如果不同，请求出E的所有可能的值；八：c,

（3）将框图中的第一步变为，，任意写一个个位数字不为o的三位数A,它的百位数----------------------'

交换c的百位数字与个位数字，

字减去个位数字所得的差大于2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值？[笳赢。,

并对你猜想的结论加以证明.；：-------

C+O=E

图2-3-12

14.图2-3-13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A.B,C,D.请你按图中箭头所指方向（即A-B-C

-D-C-BTATB-C-...的方式）从A开始数连续的正整数1,2,3,4,,当数到12时，对应

的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是—；当字母C第2n+l次出现时（n为正

整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）.

15.符号“俨表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

①f(l)=0,f(2)=l,f(3)=2,f(4)=3,…

利用以上规律计算：f(短)-f(2012)=

16.⑴如图2-3-14所示的运算程序中，若开始输入的x值为96,我们发现第1次输出的结果为48,第2次输出的

结果为24_第2009次输出的结果为一.

巅峰突破

17.图2-3-15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果是.

18.对于两数a和b,给定一种运算"#":a#b=a+b—ab,则在下列等式中:

①a#b二b#a;(g)a#0=a;③(a#b)#c=a#(b#c).

正确的是(填序号).

19.正整数n小于100,并满足等式冏+冏+冏=几,其中X表示不超过x

的正整数n有多少个？

图2-3-15

基础演练

1.7;2n一1;2n;(2n)2—1.

264y36；(_1)….高丹，2.

【提示】系数分别为:高，-/，白,•••，(-1严1—•

1XZZXo5X41J

x的指数分别为24,8,…,2”;y的指数分别为：1,4,9,…，也

3.2070.

【提示】第一行,第二列为：1x2；第二行,第三列为：2x3；第三行,第四列为：3x4；以此类推：

第45行，第46列为45x46=2070.结论:第n行，第n+1列为:n(n+l).

4.114.

【提示】第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，第3层包括6个

正方形和30个正三角形，依此递推，第n层包括6个正方形和6(2n-l)个正三角形，所以第10层中含有正三角形

个数是114个.

5.3;2.

【解析】从2开始，2-3-4为第一次移位，到达编号4的顶点，然后从4-5-1-2-3为第二次移位；后面

依次是：第三次移位3-4-5-1；第四次移位1-2;所以周期为4,10+4=2……2,所以第十次移位所处顶点的编号为

3；2012-4=503,所以第2012次移位所处顶点的编号为2.

6.(H+3)2-n2=3X(2n+3).

7.2

【提示】依题意得：4(x--l)--2x=0,解得：x=2.

8.(1)4;(2)88;

⑶设观众想的数为a,则有

—+7=a+5.

3

因此，魔术师只要将最终结果减去5,就能得到观众想的数了.

能力提升

9.C.

【提示】6的n次方的末位数字的规律：6.7的n次方的末位数字的规律：7,9,3,1

所以20062°°7的末位是6,200720°6的末位是9,所以2OO62007+20072。。6的个位数字为5.

10.n(n+2)

【提示】n=l3=1x3;

n=28=2x4;

n=315=3x5;

第n个数为:n(n+2)

11.D

【提示】三角形数的第n个数的规律是：1+2+3+…+n=|n(n+1).

正方形数的第n个数的规律是：於

首先A,C排除,25=52,但］+2+3+4+5+6<25<1+2+3+4+5+6+7,所以25不是.

1225=1+2+3+...+49,而1225=352.所叫D.

12.⑴9;-6;

(2)判断：前m个方格中所填整数之和不能为2012.

：9+(-6)+2=5,

.•.当5x£=2012时,m=1207.2;

5X—+9=2012时,m=1202.8;

当5x等+9+(-6)=2012时,m=1207.4.

；・不存在m的值，使前m个方格中所填整数之和为2012.

13.(1)1089;

(2)E的值都相同.

理由如下:设A=100a+10b+c且a-c=2,则B=100c+10b+a.

C=A-B=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)=99x2=198.

D=891.E=C+D=198+891=1089.

(3)E是定值,E=1089.

证法1：设A=100a+10b+c且a-c>2,贝(JB=100c+10b+a.

.*.C=A-B=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=100(a-c)+(c-a)=100(a-c-l)+10x9+(10+c-a),

D=100(10+c-a)+l0x9+(a-c-l).