2019-2020学年新教材高中数学第4章指数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课时9增长速度的比较练习含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-课时9增长速度的比较知识点一函数的平均变化率1.函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为()A．0B．1C．2D．3答案C解析当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为eq\f(5－3,2－1)＝2.故选C.2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.3．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．答案3解析在x＝1附近的平均变化率为k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.对任意Δx有，k1<k2<k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq\f(1,x)中，平均变化率最大的是________．答案③解析Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).∴k3>k2>k1>k4.知识点二函数平均变化率的应用5.四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x答案D解析显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D.6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝eq\f(10－0,50－0)＝eq\f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝eq\f(15－10,70－50)＝eq\f(1,4)，∴hBC>hAB.∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．7．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立的Δx的取值范围．解f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．函数f(x)＝2x＋3在R上的平均变化率恒为2.函数g(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝Δx＋2>2.又因为当2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)时，f(x)＝g(x)，所以当Δx>3－1＝2时，f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立，所以满足条件的Δx的取值范围为(2，＋∞)．8．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证f(x)是一个二次函数．证明函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fn－fm,n－m)＝m＋n.变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，f(n)－n2＝f(m)－m2.令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数，所以有f(x)＝x2＋c.所以函数f(x)是一个二次函数．9．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．解函数g(x)＝3x－4在R上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2,5]上的平均变化率大于3.即eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f5－f2,5－2)>3.所以f(5)－f(2)>9.一、选择题1．函数f(x)＝eq\r(2x)从x＝eq\f(1,2)到x＝2的平均变化率为()A．2B.eq\f(2,3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\r(2)答案B解析由题意知函数f(x)＝eq\r(2x)从x＝eq\f(1,2)到x＝2的增量为Δf＝f(2)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2×2)－eq\r(2×\f(1,2))＝2－1＝1，∴f(x)＝eq\r(2x)从x＝eq\f(1,2)到x＝2的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3)，故选B.2．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A．6.3B．36.3C．3.3D．9.3答案A解析S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(S3.3－S3,3.3－3)＝eq\f(1.89,0.3)＝6.3.故选A.3．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2Δx答案B解析eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2＋22＋Δx－－4＋4,Δx)＝eq\f(－4－Δx2－4Δx＋4＋2Δx,Δx)＝eq\f(－Δx2－2Δx,Δx)＝－Δx－2.故选B.4．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝eq\r(x)，d：y＝2－xB．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝eq\r(x)C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝eq\r(x)，d：y＝2－xD．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝eq\r(x)答案C解析a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．二、填空题6．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)，则直线AB的斜率为________．答案1解析直线AB的斜率为函数f(x)，在区间[0,1]上的平均变化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f1－f0,1－0)＝eq\f(2－1,1)＝1.7．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案y2解析以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．答案③解析在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(s0,t0)，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq\f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq\f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq\f(s2－s0,t1－t0)>eq\f(s1－s0,t1－t0)，故③正确，④错误．三、解答题9．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这两个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．解eq\f(Δf1,Δx)＝eq\f(24－22,2)＝6，eq\f(Δf2,Δx)＝eq\f(42－22,2)＝6，eq\f(Δf3,Δx)＝eq\f(34－32,2)＝36.eq\f(Δf4,Δx)＝eq\f(43－23,2)＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为eq\f(Δf3,Δx)>eq\f(Δf4,Δx)>eq\f(Δf2,Δx)＝eq\f(Δf1,Δx).10．已知函数