四川省眉山市2025届高三数学一轮讲义-函数的定义

函数的相关概念：学问梳理

1.函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A,B是两个__________设A,B是两个_________

A,B

假如依据某种确定的对应关系f,使对假如按某一个确定的对应关系f,使对

对应关系

于集合A中的随意一个数x,在集合B于集合A中的随意一个元素x,在集合B

f：A-B

中都有__________的数f(x)和它对应中都有___________的元素y与之对应

称f：A-B为从集合A到集合B的一个称f：A-B为从集合A到集合B的一个

名称

函数映射

记法函数y=f(x),xeA映射：f：A-B

在函数y=f(x),xeA中，x叫做,x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应

的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xeA上叫做函数的(留意：值域是集合8的子集)。

2.对函数概念的理解：

(1)从集合A到集合B的一个函数f：A-B中A,B是两个非空数集；函数是特殊的映射，是定义在非空

数集上的映射.

例1：y=—、,，'E是不是函数？答：

例2：班上的学生与学号的对应是不是函数？是不是映射？答：

(2)函数只能多对一，不能一对多；

例1：直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有交点.

例2.设集合M={x|0WxW2},N={y|0<y<2},那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函

数关系的有()

例3.下列图形中，不行能作为函数y=f(x)图象的是()

(3)对应法则/的理解:

1

①对应法则/"可以是图图像，可以是表格，可以是表达式(解析式);

例1.下列集合A到集合B的对应中，构成函数的是()

例2.已知函数f(x)=5x,g(x)=ax-x(aeR),若f(g(l))=l,则a=()

A.1B.2C.3D.-1

②记号y=/(x)的内涵：y=/U)f是x的函数=对于定义域中的随意x,在对应法则/■的作用下

得到yo一个含x的代数式用以X)表示；

③我们习惯上用X表示自变量；如：/(a)表示当自变量x=a时函数/(X)的值，是一个常数；

/(«)是函数/(x)值域中的一个值；

④新旧函数的理解：如：/(X)=X2—2x—3当定义域中取无一1时，则/(X—1)=。

故/(x)与/(x—1)的区分和联系：若没有特殊说明，则函数/(ax+»的自变量为x,相对

/(x)而言，它就是一个新函数。

例：1.若函数/(x)的定义域是[―1,1],则函数/(x—1)的定义域为；

2.若函数/(x+2)是偶函数，则函数/(x)的对称轴为；

3.把函数y=/(3x+2)的图像向右平移2个单位得函数表达式为；

(4)假如两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一样，则这两个函数为相等函数.

留意：在推断两个函数是否为同一函数时，紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.

例1.下列函数中，与函数y=x+l是相等函数的是()

A.y=(,\/x+l)2B.y=-Jx3+lC.y=：+lD.y=A^+l

例2.(2016•全国H卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10ir的定义域和值域相同的是

)

A.y=xB.y=lgxC.y=2*D.y=~/=

函数的相关概念：学问梳理

1.函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合

A,B

假如依据某种确定的对应关系f,使对假如按某一个确定的对应关系f,使对

对应关系

于集合A中的随意一个数x,在集合B于集合A中的随意一个元素x,在集合B

f：A-B

中都有唯一确定的数f(x)和它对应中都有唯一确定的元素y与之对应

称f：A->B为从集合A到集合B的一个称f：A-B为从集合A到集合B的一个

名称

函数映射

记法函数y=f(x),xeA映射:f：AfB

在函数y=f(x),xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y

值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xeA}叫做函数的值域(留意:值域是集合8的子集)。

3.对函数概念的理解：

(1)从集合A到集合B的一个函数f：A-B中A,B是两个非空数集;函数是特殊的映射，是定义在非空

数集上的映射.

例1：y=yl'x-2-_X是不是函数？

答案：不是

例2：班上的学生与学号的对应是不是函数？是不是映射？

答案：不是；是

(2)函数只能多对一，不能一对多；

例1：直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点.

例2.1.设集合乂=以|0/*/2},N={y|0<y<2},那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的

函数关系的有()

A.①②③④B.①②③C.②③D.②

3

例3.下列图形中，不行能作为函数y=f(x)图象的是(C)

(4)对应法则/的理解：

①对应法则/可以是图图像，可以是表格，可以是表达式(解析式);

例1.下列集合A到集合B的对应中，构成函数的是(D)

例2.已知函数f(x)=5限i,g(x)=ax2-x(aGR),若f(g⑴)=1,则a=()

A.1B.2C.3D.-1

答案：A

解析：选A.g(l)=a-l,f(g(1))=5"=1,解得|aT|=0,所以a=l.

②记号y=/(x)的内涵：是x的函数=对于定义域中的随意尤，在对应法则/'的作用下

得到yo一个含x的代数式用f(x)表示；

③我们习惯上用X表示自变量；如：/(a)表示当自变量x=a时函数/(X)的值，是一个常数；

/(«)是函数/(x)值域中的一个值；

④新旧函数的理解：如：/(X)=X2—2x—3当定义域中取尤一1时，则/(X—1)=。

故/(x)与/(x—1)的区分和联系：若没有特殊说明，则函数/(ax+b)的自变量为x,相对

/(x)而言，它就是一个新函数。

例：1.若函数/(x)的定义域是[—1,1],则函数/(%—1)的定义域为0WxW2；

2.若函数/(x+2)是偶函数，则函数/(x)的对称轴为_x=2；

提示：先用平移得答案，在用新旧函数的思想推，即/(x+2)=/(-x+2)

3.把函数y=/(3x+2)的图像向右平移2个单位得函数表达式为—y=/(3x-4)；

提示：只认X,即X用X—2替换。

4

（4）假如两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一样,则这两个函数为相等函数.

留意：在推断两个函数是否为同一函数时，紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.

例1.下列函数中，与函数y=x+l是相等函数的是（）

A.y=（，x+l）2B.y=/S+lC.y=?+lD.y=-\/x2+l

答案B

解析对于A,函数y=（、斤）？的定义域为{x|xN—1},与函数y=x+l的定义域不同，不是相

X2

等函数；对于B,定义域和对应法则分别对应相同，是相等