黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析

哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.3.在等差数列中，若，则（）A.20 B.24 C.27 D.294.“，”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数的周期是 B.C.函数是奇函数. D.的充要条件是6.设是与的等差中项，则的最小值为（）A. B.3 C.9 D.7.已知中，，，点为中点，点为边上一动点，则的最小值为（）A27 B.0 C. D.8.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列满足：，，，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递减数列 D.的前项和10.下列说法中正确的是（）A.在中，，，，若，则为锐角三角形B.非零向量和满足，，则C.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是D.在中，若，则与的面积之比为11.已知函数，则（）A.若，则B.若函数为偶函数，则C.若上单调，则D.若时，且在上单调，则12.已知，若恒成立，则不正确的是（）A.的单调递增区间为B.方程可能有三个实数根C.若函数在处的切线经过原点，则D.过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______．14.已知的面积，，则________；15.若，则________．16.，为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量（I）若（II）设函数18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19.已知数列满足，且．（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，求数列的前项和．20.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．已知①；②；③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角；（2）若．求的取值范围．21.已知等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求通项公式；（2）设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.22.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若不等式恒成立，求取值范围；（3）设，证明：．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为，，所以，故选：D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出复数，得到的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数满足，所以，所以的共轭复数.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列中，若，则（）A.20 B.24 C.27 D.29【答案】D【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：，所以，又，所以，所以，故选：D4.“，”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】，时，，，时，，所以“，”是“”的充分而不必要条件，故选:.5.下列命题中，真命题的是（）A.函数的周期是 B.C.函数是奇函数. D.的充要条件是【答案】C【解析】【分析】选项A，由可判断；选项B，代入，可判断；选项C，结合定义域和，可判断；选项D，由得且，可判断【详解】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；当时，故选项B是假命题；函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题故选：C6.设是与的等差中项，则的最小值为（）A. B.3 C.9 D.【答案】C【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：是与的等差中项，，即，即，则，当且仅当，即时取等号.故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知（都是正实数，且为常数），求，为常数的最小值时常用方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知（都是正实数，且为常数），求，为常数的最小值时也可以用同样的方法.7.已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（）A.27 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A，B，C的坐标，再设出点M的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，，，，设，其中，则，，故，所以当时，有最小值.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数：，∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，由，故得，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列满足：，，，下列说法正确的是（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递减数列 D.的前项和【答案】AB【解析】【分析】推导出，，从而数列为首项为，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解：数列满足：，，，，，，数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确；，，故正确；数列是递增数列，故错误；数列的前项和为：，的前项和，故错误．故选：．10.下列说法中正确的是（）A.在中，，，，若，则为锐角三角形B.非零向量和满足，，则C.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是D.在中，若，则与的面积之比为【答案】BD【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用向量的和、差的模的平方的关系求得，进而判定B；注意到与同向的情况，可以否定C；延长交于,∵共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到,进而，然后得到，利用分比定理得到，从而判定D.【详解】即,∴,∴为钝角，故A错误；，，，，故B正确；，当时，与同向，夹角不是锐角，故C错误；∵，∴，延长交于,如图所示.∵共线，∴存在实数，，∵共线，∴,∴,∴，∴，∴.∴，∴，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则（）A.若，则B.若函数为偶函数，则C.若上单调，则D.若时，且在上单调，则【答案】BD【解析】【分析】将代入求出函数值，根据的范围即可判断选项A；根据偶函数的性质即可判断选项B；根据在上单调，则即可判断选项C；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A，若，则，即，∵，∴，则A错误；对于选项B，若函数为偶函数，则或，即，则B正确；对于选项C：若在上单调，则，但不一定小于，则C错误；对于选项D：若，则，当时，，∵在上单调，∴，解得，则D正确．故选：BD．12.已知，若恒成立，则不正确的是（）A.的单调递增区间为B.方程可能有三个实数根C.若函数在处的切线经过原点，则D.过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据，得到，画出函数图象，可得单调区间；B选项，结合函数图象得到方程的根的个数；C选项，分和两种情况，得到或；D选项，设上一点，分M为切点和不是切点，结合函数图象可得过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线.【详解】A选项，因为函数，时，由于恒成立，故要想恒正，则要满足，时，恒成立，，当时，在恒成立，故在单调递增，又当时，，故在上恒成立，满足要求，当时，令，故存，使得，当时，，当时，，故在上单调递减，又当时，，故时，，不合题意，舍去，综上：，当时，，，且，画出函数图象如下，故的单调递增区间为，A错误；B选项，可以看出方程最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B错误；C选项，当时，，则，则函数在处的切线方程为，将代入切线方程得，解得，当时，，则，则函数在处的切线方程为，将代入切线方程得，，其中满足上式，不满足，故C错误；D选项，当时，设上一点，，当切点为，则，故切线方程为，此时有一条切线，当切点不为时，设切点为，则，此时有，即，其中表示直线的斜率，画出与的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，时，当切点不为时，设切点为，则，，，，，结合图象可得，存在一个点，使得过点的切线过上时函数的一点，故可得一条切线，当M点在时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点,即解方程；(3)已知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点,利用求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】当时求得；当时，利用可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当时，，解得：；当时，，，则数列是以为首项，为公比的等比数列，.故答案为：.14.已知的面积，，则________；【答案】【解析】【分析】由三角形的面积可解得，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知，因为，所以解得由数量积的定义可得【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若，则________．【答案】【解析】【分析】由，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】，．，．故答案为：16.，为一个有序实数组，表示把A中每个-1都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则．定义，，若，中有项为1，则的前项和为________．【答案】【解析】【分析】设中有项为0，其中1和的项数相同都为，由已知条件可得①，②，进而可得③，再结合④可得，分别研究为奇数与为偶数时的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为，依题意得，，，显然，中有2项，其中1项为，1项为1，中有4项，其中1项为，1项为1，2项为0，中有8项，其中3项，3项为1，2项为0，由此可得中共有项，其中1和的项数相同，设中有项为0，所以，，从而①，因为表示把A中每个都变为，0，每个0都变为，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则②，①+②得，③，所以④，④-③得，，所以当为奇数且时，，经检验时符合，所以（为奇数），当为偶数时，则为奇数，又因为，所以，所以，当为奇数时，，所以的前项和为.故答案为：.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.（1）求证：直线平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，根据题意证得且，得到四边形为平行四边形，从而得到，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取的中点，连接，在中，因为分别为的中点，可得且，又因为为的中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形，

又因为为的中点，所以，则，又由平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面是菱形，且，，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知数列满足，且．（1）求通项公式；（2）若数列的前项和为，且，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累加法求出，进而得；（2）求得，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为，所以，所以．【小问2详解】因为，所以当时，，得；当时，，所以（时也成立）．因为，所以，所以，故．20.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为．已知①；②；③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角；（2）若．求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角.（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由可得：，故有，又∵，∴；选②，∵，由正余弦定理得，∴，又，∴；选③，∵，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∴，又，∴．【小问2详解】由余弦定理得∵，∴．又有，当且仅当时取等号，可得．即的取值范围是．21.已知等差数列满足，且，，成等比数列.