2.3 直线的交点坐标与距离公式（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.3直线的交点坐标与距离公式知识点一交点坐标及其应用【【解题思路】求两相交直线的交点坐标．(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．【例1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】……①……②①+②得：……③③代入②有：……④由③④得交点坐标为：.故选：B.【例1-2】（24-25高二上·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即交点为，因为交点在第一象限，所以.故选：A【例1-3】（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，解得，即直线与的交点坐标为，而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.故选：A【变式】1．（22-23高二上·全国·期中）（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】AC【解析】联立方程，解得，因为交点在第四象限，可得，解得故选：AC.2．（22-23高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行，∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C.3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．【答案】答案不唯一（只需写出中的一个即可）【解析】解方程组，得，所以与的交点坐标为；由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形，只需经过，或与平行，或与平行.当经过时，图1所示，，；当与平行时，图2所示，，；当与平行时，图3所示，，.故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.

图1

图2

图34．（2024·上海奉贤）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是.【答案】/【解析】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：知识点二两点间的距离【【解题思路】计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．【例2-1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于.【答案】3【解析】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3.故答案为：3.【例2-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题知，，解得，故，则两点间的距离为.故选：C【例2-3】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是．【答案】【解析】将直线方程变形为，令，解得，由此可得直线恒过点，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于，又，所以到直线的距离的最大值为．故答案为：【变式】1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】因为，则,故选：2．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以交点坐标为，所以原点到交点的距离为，故选：C.3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为．【答案】或【解析】，化简为，解得：或.故答案为：或知识点三点到线的距离【【解题思路】点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．【例3-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】原点到直线间的距离是：.故选：A【例3-2】（22-23高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（

）A． B．C．或 D．或.【答案】C【解析】因为点为轴上一点，可设点，又因为点到直线的距离等于1，可得，整理得，即，解得或，所以点的坐标为或.故选：C.【变式】1．（23-24·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，，所以直线的方程为，即，点到直线的距离为.故选：C.2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】因为点到直线的距离相等，所以，即，化简得，解得或.故选：C.3．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为．【答案】或【解析】因为点到直线的距离为1，所以解得：或故答案为：或知识点四两条平行线的距离【【解题思路】两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【例4-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】平行直线和之间的距离.故选：A【例4-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（

）A． B． C．12 D．14【答案】BD【解析】将直线化为，则，之间的距离，即，解得或．故选：BD．【变式】1．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，解得，所以，故两平行直线间的距离．故选：C．2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）若直线与直线平行，则直线与的距离为.【答案】/【解析】由于与平行，则，即，解得或，当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意；当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意；综上所述：，两直线方程分别为，所以直线与的距离为.故答案为：.3．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则，它们之间的距离为.【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线的方程可化简，而直线，即直线，它们之间的距离为，故答案为：；.知识点五对称问题【【解题思路】(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解【例5-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设所求对称点的坐标为，则，解得，故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D.【例5-2】（22-23高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于直线，将换为，换为得到，即，所以直线关于原点对称的直线是.故选：C【例5-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得，则直线与直线交于点，在直线上取点，设点关于直线的对称点，依题意，，整理得，解得，即点，直线的方程为，即，所以直线关于直线对称的直线方程为.故选：D【变式】1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点关于直线对称的点的坐标为，则，解得，故点关于直线对称的点的坐标为，故选：B3．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称点为，又因为在上，所以，即。故选：B4．（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.故选：D.5．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，则，解得，∵点在直线上，即，∴，化简得，即为所求直线方程.故选：B.6．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上，故所求直线方程为，即.故选：A.7．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为，在上取一点，设它关于直线的对称点为，则有，整理得，解得，即，由，，可得所求直线方程为，即，故选：C.知识点六将军饮马【例6-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【解析】设点关于直线对称的点为，则有，所以“将军饮马”的最短总路程为，故选：C【例6-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，即点，由对称性知，当且仅当点为线段与直线的交点时取等号，所以的最小值是.故选：C【例6-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【解析】，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C．【变式】1．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（

）A． B．5 C．4 D．【答案】B【解析】如图所示，关于轴的对称点为,则,当三点共线时等号成立，又,故的最小值为5,故选：B.2．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，，设，则的几何意义为的值，如图，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为.而，即的最小值为，所以的最小值为.故选：D3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B．将军在河边饮马的地点的坐标为C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D．“将军饮马”走过的总路程为5【答案】B【解析】如图所示：由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则，解得，即，对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.故选：B.4．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（

）A． B．32 C． D．48【答案】A【解析】如图，设关于直线对称的点为，则得即，易知，当三点共线时，取得最小值，最小值为.故选：A【题组一交点坐标及其应用】1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】①时，则，解得，经检验符合题意；②时，则，解得，经检验符合题意；③时，则，解得，经检验符合题意；④三条直线交于一点，解得或，则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个.故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】由题意可得，解得，且，故答案为：3．（2024·江苏·高二专题练习）若直线经过直线和的交点，则___________.【答案】【解析】由题意，直线，，交于一点，所以，得，所以直线过点，得，求解得.故答案为：4．（2023·江苏·高二）设三直线；；交于一点，则k的值为______．【答案】1【解析】联立，解得，即与交于点，依题意可知，，解得.故答案为：.【题组二两点间的距离】1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【解析】A，B两点间的距离为.故选：B2．（2023·安徽省亳州市）光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C.3．（2024·云南）已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设过A点中线长即为线段AD.D为BC中点：，即D（4，2）∴故选：B.4．（2024湖北）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得，即，由得，即，则|AB|.故选：D【题组三点到线的距离】1．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为.【答案】【解析】直线可化为，令，解得，于是此直线恒过点.由点到直线的距离公式得到直线的距离.故答案为：2．（23-24北京顺义·阶段练习）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为.【答案】或【解析】设直线上的点为，点直线的距离为，原点到l的距离为，所以，解得或，所以此点的坐标为或.故答案为：或.【题组四两条平行线间的距离】1．（23-24河南信阳）直线与直线之间的距离为．【答案】/【解析】的方程可化为，与平行，由平行直线之间的距离公式可得.故答案为：.2．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为．【答案】2或【解析】由题意可得，解得或，故答案为：2或3．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是.【答案】【解析】由直线与直线互相平行，得，则直线与直线的距离为：.故答案为：4．（2023·江苏·高二专题练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为【答案】【解析】直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B.【题组五对称问题】1．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为．【答案】【解析】设直线l的的斜率为k，则，直线的中点坐标为，所以由点斜式写出直线方程为，即.故答案为：.2．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）点关于直线的对称点坐标为.【答案】【解析】设点关于直线的对称点坐标为，则，解得，所以对称点为，故答案为：3．（23-24重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是．【答案】【解析】由直线化为，令，解得，于是此直线恒过点．设点P关于直线的对称点为，则，解得，∴．故答案为：4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是.【答案】【解析】因为直线与直线交于点A，所以联立，解得，即.设点关于直线的对称点坐标为，则的中点坐标为，，故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是.故答案为：.5．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】在直线上取点、，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，直线的斜率为，所以，所求直线方程为，即.故答案为：.6．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为．【答案】【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线l上，所以，即直线的方程为．故答案为：7．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，故答案为：8．（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 【答案】【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，因为点在直线上，所以，即，所以所求直线方程为，9．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是【答案】【解析】联立，得，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，直线的斜率，所以直线的方程为，整理为：.10．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．【答案】【小题1】【小题2】【小题3】【解析】（1）设点关于直线的对称点的坐标为，则有题意可得，解得，故点关于直线的对称点的坐标为．（2）由可得，直线与直线的交点为，再在直线上取一点，设点关于直线的对称点为，则由解得，即．由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为，则直线方程为，化简为．（3）在直线上任意取出两个点，求出这两个点关于点对称点分别为由题意可得，是所求直线上的两个点，则直线斜率为3，则所求直线方程为，即．11（2024陕西）已知直线，点．求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线的对称直线的方程；(3)直线关于点对称的直线的方程．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）设，由得，则，解得，故.（2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上，设对称点为，则，解得，即，设与的交点为，则由，解得，即，又经过点，故，所以直线的方程为，即.（3）设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线上，所以，即直线的方程为.

【题组六将军饮马】1．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，即．故选：A.2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，所以．故选：C.3．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．【答案】D【解析】作出图形知在直线的同侧，点关于直线的对称点，则.故选：D.4．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则，由于点在直线上，关于点的对称点为，故在上，代入可得，故，故选：A5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为