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文档简介

包头市重点中学2025届高三普通高校统一招生考试仿真卷(二)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若为虚数单位,则复数,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.3.已知三棱柱()A. B. C. D.4.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.5.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.6.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.7.已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.已知正项等比数列的前项和为,则的最小值为()A. B. C. D.9.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.10.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()A. B. C. D.11.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.14.已知,,,,则______.15.已知,在方向上的投影为,则与的夹角为_________.16.设是定义在上的函数,且,对任意,若经过点的一次函数与轴的交点为,且互不相等,则称为关于函数的平均数,记为.当_________时,为的几何平均数.(只需写出一个符合要求的函数即可)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次普查,为此需要抽验1000人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这个人的血只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为,且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中,某组个人的每个人的血化验次数为,求的分布列;(2)设,试比较方案②中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)18.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的面积.19.(12分)在某社区举行的2020迎春晚会上,张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏,每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次,每个人击中鼓则得积分100分,没有击中鼓则扣积分50分,最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为,王慧每次击中鼓的概率为;每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响,假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.(1)若家庭最终积分超过200分时,这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机,问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少?(2)张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.20.(12分)某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验,已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品,且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验次或次.设该工厂生产件该产品,记每件产品的平均检验次数为.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)试说明,当越小时,该方案越合理,即所需平均检验次数越少;(ii)当时,求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数.21.(12分)如图,平面四边形中,,是上的一点,是的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)如图,在四棱锥中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中点.证明:;设,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为,求出,再利用复数的几何意义即可求解.【详解】,,则在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.故选:B本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值,属于基础题.2.C【解析】

作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.3.C【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=4.A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得的坐标得出答案.【详解】解:,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.5.D【解析】

求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.6.D【解析】

根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.7.B【解析】

根据所给函数解析式,画出函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意,画出函数图像如下图所示:函数的零点,即.由图像可知,,所以是的一个零点,当时,,若,则,即,所以,解得;当时,,则,且若在时有一个零点,则,综上可得,故选:B.本题考查了函数图像的画法,函数零点定义及应用,根据零点个数求参数的取值范围,导数的几何意义应用,属于中档题.8.D【解析】

由,可求出等比数列的通项公式,进而可知当时,;当时,,从而可知的最小值为,求解即可.【详解】设等比数列的公比为,则,由题意得,,得,解得,得.当时,;当时,,则的最小值为.故选:D.本题考查等比数列的通项公式的求法,考查等比数列的性质,考查学生的计算求解能力,属于中档题.9.B【解析】

根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.10.B【解析】

根据抛物线定义得,即可解得结果.【详解】因为,所以.故选B本题考查抛物线定义,考查基本分析求解能力,属基础题.11.D【解析】

首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.12.C【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得,即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案为等腰三角形,14.【解析】

由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得,的值,由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】,,,,,,,,.故答案为:本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,需熟记公式,属于基础题.15.【解析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值,从而得角的大小.【详解】在方向上的投影为,即夹角为.故答案为:.本题考查求向量的夹角,掌握向量投影的定义是解题关键.16.【解析】

由定义可知三点共线,即,通过整理可得,继而可求出正确答案.【详解】解:根据题意,由定义可知:三点共线.故可得:,即,整理得:,故可以选择等.故答案为:.本题考查了两点的斜率公式,考查了推理能力,考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)分布列见解析;(2)406.【解析】

(1)计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为,得到分布列.(2)计算,代入数据计算比较大小得到答案.【详解】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为.依题意可知,,所以的分布列为:(2)方案②中.结合(1)知每个人的平均化验次数为:时,,此时1000人需要化验的总次数为690次,时,,此时1000人需要化验的总次数为604次,时,,此时1000人需要化验的次数总为594次,即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少,而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少次.本题考查了分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.18.(1),;(2).【解析】

(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以,结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)计算出直线截圆所得弦长,并计算出原点到直线的距离,利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1)由得,故直线的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲线的直角坐标方程是;(2)因为曲线的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,则弦长.又到直线的距离为,所以.本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算,考查计算能力,属于中等题.19.(1)(2)详见解析【解析】

(1)要积分超过分,则需两人共击中次,或者击中次,由此利用相互独立事件概率计算公式,计算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根据相互独立事件概率计算公式,计算出分布列并求得数学期望.【详解】(1)由题意,当家庭最终积分超过200分时,这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机,所以要想领取一台全自动洗衣机,则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”,事件为“王慧第次击中”,,由事件的独立性和互斥性可得(张明和王慧家庭至少击中三次鼓),所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.(2)的所有可能的取值为-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列为-200-50100250400∴(分)本小题考查概率,分布列,数学期望等概率与统计的基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数据处理,应用意识.20.(1)见解析,(2)(i)见解析(ii)时平均检验次数最少,约为594次.【解析】

(1)由题意可得,的可能取值为和,分别求出其概率即可求出分布列,进而可求出期望.(2)(i)由记,根据函数的单调性即可证出;记,当且取最小值时,该方案最合理,对进行赋值即可求解.【详解】(1)由题,的可能取值为和,故的分布列为由记,因为,所以在上单调递增,故越小,越小,即所需平均检验次数越少,该方案越合理记当且取最小值时,该方案最合理,因为,,所以时平均检验次数最少,约为次.本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望,考查了分析问题、解决问题的能力,属于中档题.21.(1)见解析;(2)【解析】

(1)要证平面平面,只需证平面,而,所以只需证,而由已知的数据可证得为等边三角形,又由于是的中点,所以,从而可证得结论;(2)由于在中,,而平面平面,所以点在平面的投影恰好为的中点,所

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