河北省衡水中学2025届高三数学下学期第二次联合考试试题理II卷

PAGEPAGE15河北省衡水中学2025届高三数学下学期其次次联合考试试题理（II卷）本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．C．D．3．已知复数，则的最小值为（）A．B．C．D．14．直线被过点和，且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5，已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即），那么，现有运算，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数的定义域为R，且满意，以下关于函数的说法：①满意②8为的一个周期③是满意条件的一个函数④有多数个零点其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷嬉戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，视察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人接着掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲起先掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（）A．B．C．D．11．若表示正整数n的个位数字，，数列的前n项和为，则（）A．B．0C．1009D．101112．已知函数，则a，b，c，d的大小依次为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满意，则的取值范围为_________．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后依次，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后依次的不同状况种数为___________．15．已知等差数列满意是与的等比中项，则的值为_________．16．在长方体中，，E为棱上随意一点，给出下列四个结论：①与不垂直；②长方体外接球的表面积最小为；③E到平面的距离的最大值为；④长方体的表面积的最大值为6．其中全部正确结论的序号为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分)在四边形中，对角线与相交于点E，为等边三角形，．（1）求的大小；（2）求的面积．18．（12分）为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理依据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望．19．（12分）如图，两个全等的梯形与所在的平面相互垂直，，P为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的一般方程及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上存在点P到曲线的距离为1，求b的取值范围．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，的最小值为1，证明：．河北衡水中学2025届全国高三其次次联合考试·理科数学一、选择题1．A【解析】由题意得，所以．2．C【解析】由知，为其次象限角，所以为第一或第三象限角，所以．3．B【解析】因为，所以，所以的最小值为．4．B【解析】过点且半径为的圆的方程为或，则圆心到直线的距离为或，则弦长．5．C【解析】设该四棱锥为，则由题意可知四棱锥满意底面为矩形，平面平面，且．如图，过点P作，则平面，连接，可知为直线与平面所成的角，则，，所以．6．D【解析】双曲线的焦点到渐近线的距离为，解得，所以．又，所以．因为点在双曲线上，所以，所以，所以双曲线的方程为．7．D【解析】由，可得，表示成十进制为13，所以．8．D【解析】因为，所以．因为是奇函数，所以，所以，所以，所以8为的一个周期，故②正确；由可得，所以，故①正确；为奇函数满意，且一条对称轴为直线，故③正确；由为奇函数且定义域为R知，，又为周期函数，所以有多数个零点，故④正确．9．C【解析】设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得．因为三棱锥的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点为的外心，则平面．在中，由，且，得．因为为等边三角形，所以，所以．10．A【解析】抛掷两颗正四面体骰子视察底面上的数字之和为5有4种状况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种状况：一是第由甲掷，第n次由甲掷，概率为；二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种状况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．11．C【解析】由题意得，，，，，，，，，，，……所以数列为周期数列，且周期为10．因为，所以．12．B【解析】因为，所以．因为函数在区间上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，所以．所以，所以，所以．二填空题13．【解析】设与的夹角为，则．因为，所以，所以．14．48【解析】按乙到达的名次依次进行分类：乙其次个到达有种，乙第三个到达有种，乙第四个到达有种，乙最终到达有种，所以不同的状况种数为．5．或【解析】设等差数列的公差为d，因为是与的等比中项，所以，解得或．当时，；当时，，．16．②③④【解析】对于①，当长方体为正方体时，，故①错误；对于②，如图，设，则，所以，当时，的最小值为，即长方体外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为，故②正确；对于③，设点E到平面的距离为h，如图，由可得，所以由②可知，，其中，当且仅当，即时等号成立，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为，当时，S的最大值为6，故④正确．三、解答题17．解：（1）在中，，由余弦定理得．（3分）因为，所以，所以．（5分）（2）由知，，所以，（7分）所以，所以．因为，所以．（9分）所以．（12分）18．解：用表示第i位同学选择A组合，用表示第i位同学选择B组合，用表示第i位同学选择C组合，．由题意可知，相互独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种状况，每种状况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率．（4分）（2）由题意知的全部可能取值为0，1，2，3，且，（6分）所以，，，，（10分）所以的分布列为0123P（11分）所以．（12分）19．（1）证明：如图，取的中点Q，连接．因为P，Q为的中点，所以，且．又因为，所以，且，（2分）所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（5分）（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面．又平面，所以．又，所以以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．（8分）设平面的一个法向量为，则即令，得．（9分）易知平面的一个法向量为，（10分）所以．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）20．（1）解：由可知，点到点的距离之和为4，且，依据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为，焦距为，则，所以曲线C的离心率为．（4分）（2）证明：设椭圆的短轴长为，由（1）可得，所以曲线C的方程为，则．由题意可知，动直线l的方程为，设，由得，所以．（6分）设的中点为，则，．当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，，所以．（9分）当时，l的方程为，此时，．综上，为定值．（12分）21．解：（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以．（1分）①当时，在区间上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．（3分）②当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（5分）（2）方程有两个实根，即关于x的方程有两个实根，即函数有两个零点．又，（7分）令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，所以只需函数有两个零点．（8分）令，得，令，则，（9分）易知当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值．（10分）又因为当时，，当时，，，则函数的图象如图所示，所以当，即时，函数有两个零点．所以实数m的取值范围为．（12分）22．解：（1）由（为参数），消去参数，得曲线的一般方程为．（2分）由，得，（4分）令，得，所以曲线的直角坐标方程为．（5分）（2）设，因为点P到直线的距离为1，所以，化简得①．（7分）若关于的方程①有解，则曲线上存在点P到曲线的距离为1，所以