广东省紫金县中山高级中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题

PAGE8-广东省紫金县中山高级中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．已知空间向量，，若，则实数的值是（）A． B． C． D．3．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的大小为（）A． B． C． D．或4．已知是其次象限的角，且，则等于（）A． B． C． D．5．已知，，且，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．6．已知x，y＞0且x+4y=1，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．117．设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若B．若C．若D．若8．如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则（）A．B．C．D．9．在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为()A． B． C． D．二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（)A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面12．已知的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递减D．该图象对应的函数解析式为．第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在空间直角坐标系中，点P（2，﹣2，3）与点Q（﹣3，2，1）的距离为．14．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数t的值为________.15．已知向量，的夹角为60°，，则________.16．已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(10分）已知，满意，，求的面积.（1）（2），从这两个条件中任选一个，补充到上面空格中，并解出答案.注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18．如图，在三棱柱中，平面，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；19．(12分）《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词学问比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数根据年龄分组统计如下表：分组（年龄）频数（人）（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参与挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的人中，任选人参与一对一的对抗竞赛，求这人来自同一年龄组的概率．20．(12分）已知等差数列的前项和为，满意，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.21．(12分）如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面⊥平面．(1)证明：平面⊥平面；(2)为直线的中点，且，求二面角的余弦值.22．(12分）已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对随意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.2024-2025学年度中山高级中学高二数学答案单选题1-5BCBBD6-10BBCBD多选题11、ABC12、ABC三、填空题13．314.15.216.四．解答题17.解：若选（1），由余弦定理得：，即，，解得或（舍去）.所以.若选（2）由余弦定理得：，即，即，解得.此时，即，所以.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理的面积公式，属于简洁题.18．（1）证明：取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题。19．解（1）∵样本容量与总体个数的比是，∴样本中包含3个年龄段落的个体数分别是：年龄在[7，20）的人数为18＝1，年龄在[20，40）的人数为54＝3，年龄在[40，80）的人数为36＝2，∴从这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．（2）从分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参与挑战，这三个不同年龄组[7，20），[20，40），[40，80）中分别抽取的挑战者的人数分别为1，3，2．从抽出的6人中，任选2人参与一对一的对抗竞赛，基本领件总数n，这2人来自同一年龄组包含的基本领件个数为m4，∴这2人来自同一年龄组的概率p．【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意等可能事务概率计算公式的合理运用．20.解（1）设等差数列的公差为，由已知可得:因为，解得.所以（）.（2）由（1）所以,【点睛】本题考查等差数列，裂项相消法求和，重点考查计算实力，属于基础题型..21.（Ⅰ）证明：为矩形，，平面平面，平面平面，平面，则，又，，平面，而平面，平面平面；（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，是以为直角的等腰直角三角形，得：，．设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得.．∴二面角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象实力与思维实力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．22.解（1）因