成对数据的统计分析-2025年高考数学一轮复习（解析版）

第3课时成对数据的统计分析

［考试要求］1.了解样本相关系数的统计含义2理解一元线性回归模型和2X2

列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计知识进行数据分析.

［链接教材•夯基固本】落实主干•激活技能

€>梳理•必备知识

1.变量的相关关系

两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，

这种关系称为相关关系，即不确定性关系.

2.相关关系的分类

(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关.

①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现遮小的趋势.

(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和韭线性相关(曲线相关).

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线

附近，我们称这两个变量线性相关；

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称

这两个变量非线性相关或曲线相关.

3.相关关系的刻画

⑴散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的

统计图，叫做散点图.

(2)样本相关系数r的计算式

n——n__

一目专一x)(兀7)_孑，一九"

居…)，用5-万否j才国：一疗

(3)样本相关系数r的性质

①样本相关系数r的取值范围为［—1,1］；

②若时，成对样本数据正相关；

③若r<0时，成对样本数据负相关；

④样本相关系数与相关程度

当M越接近L时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当闭越接近。时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

提醒：当两个变量的相关系数川=1时，两个变量呈函数关系.

4.一元线性回归模型与最小二乘法

(1)一元线性回归模型

=hy+(1+p

—'，为y关于x的一元线性回归模型.其中，y称为因变量

E(e)=0,Z9(e)=o-2

或响应变量，x称为自变量或解释变量,且称为截距参数，上称为斜率参数；e是

y与如土&之间的随机误差，如果e=。，那么y与x之间的关系就可以用一元线

性函数模型来描述.

(2)最小二乘法

将夕=放十&称为y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，

其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的

b,金叫做6,。的最小二乘估计，其中

n——

沁7(力7)_

b=--------------z----，a=y-b元.

E(X.-x)2

i=i1

5.刻画回归效果的方式

⑴残差图法

在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明

选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越室，说明模型拟合精度越高.

(2)残差平方和法

残差平方和为残差平方和越小，模型拟合效果越好.

(3)决定系数法

£(y•-土)2

R2=l—1：':(I.笈的值越趋近于1,模型的拟合效果越好.

£()2、彳•

i=11

6.列联表与独立性检验

(1)分类变量X,y的2X2列联表：

XY合计

y=oY=1

x=oaba+b

X=1cdc~\~d

合计a+cb~\~dn=a~\~b~\~c~\~d

㈣/—213*)2

、/(a+b)(c+d)(十+c)(b+d)・

(2)利用/2的取值推断分类变量X和y是否独立的方法称为12独立性检验，读作

“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

(3)%2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xa

［常用结论］

经验回归方程必过样本点的中心(幻刃.

©激活•基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.

()

(2)样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强.()

(3)若事件X,y关系越密切，则由观测数据计算得到的42的观测值越小.()

(4)经验回归方程5>=标+。中，若2<0,则变量X和y负相关.()

［答案］(1)V(2)V(3)x(4)X

二、教材经典衍生

1.(人教A版选择性必修第三册Pio3习题8.1「改编)下列四个散点图中，变量x

与y之间具有负的线性相关关系的是()

0X0

AB

n

o,%6!%

CD

D[观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的

线性相关关系.]

2.(人教A版选择性必修第三册P103练习T3改编)在一次试验中，测得(x,月的

四组值分别为(1,2),(2,0),(4,—4),(―1,6),则.V与x的相关系数为()

11

A.-B.-1C.0D.--

22

B测得(x,刃的四组值分别为(1,2),(2,0),(4,-4),(-1,6),...兄=1.5,y

444

=1,\=—20,样本相关系数

.-1

-20-4x1.5x11

7=I=-L

(22—4x1.52)(56—4x12)

故选B.]

3.(人教A版选择性必修第三册Pii3练习T2改编)从某学校随机选取8名女大学

生，关于其身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的经验回归方程为夕=0.849x—

85.712,则身高172cm的女大学生的体重约为kg.

60.316[当x=172时,9=0.849X172—85.712=60.316.]

4.(人教A版选择性必修第三册P133例4改编)为了调查患肺癌是否与吸烟有关,

调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：

肺癌

吸烟合计

肺癌患者非肺癌患者

吸烟者20m40

不吸烟者n5560

合计2575100

根据列联表数据，求得42=(保留3位有效数字)，那么，在犯错误的概

率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

22.2［由20+掰=40,得机=20.

由20+〃=25,得“=5.

100x(20x55—20x5)2

仁22.2>10.828=xo.ooi.

40x60x25x75

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关.］

［典例精研•核心考点］重难解惑•直击高考

口考点一成对数据的相关性

［典例1］（1）（2023•天津高考）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图

所示.其中相关系数r=0.8245,下列说法正确的是（）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

（2）（多选）（2023•广东湛江一模）某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系,

在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：

编号12345678910

身高

165168170172173174175177179182

/cm

体重

55896165677075757880

/kg

由表中数据制作成如下所示的散点图:

由最小二乘法计算得到经验回归直线/i的方程为5>=»x+&i,相关系数为ri,决

定系数为珞；经过残差分析确定(168,89)为离群点(对应残差过大)，把它去掉后,

再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线h的方程为y=石2%+&2,相关系数为

2决定系数为膨•则以下结论中正确的有()

A.a\>a2B.bi>b2

C.ri<F2D.R〉膨

(1)C(2)AC[(1)：相关系数r=0.8245,且散点图呈左下角到右上角的带状分

布，...花瓣长度和花萼长度呈正相关.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关

系数不一定是0.8245,故选C.

165+168+170+172+173+174+175+177+179+182

⑵身高的平均数为=173.5,因为离群点

10

(168,89)的横坐标168小于平均值173.5,纵坐标89相对过大，所以去掉离群

点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以缶>金2,bi<b2,所以A正确,

B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所

以71〈72，册〈膨，所以C正确，D错误.故选AC.]

名师点评判定两个变量正、负相关的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上

角到右下角，两个变量负相关.

(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关.

(3)线性经验回归方程中：3>0时，正相关；时，负相关.

[跟进训练]

1.(1)在一组样本数据(xi,y\),(X2,y2)>,,,)(xn>%)(22,xi,xi,不全

相等)的散点图中，若所有样本点(电，jz)(z=L2,…，〃)都在直线尸一权+1上,

则这组样本数据的样本相关系数为()

A.-1B.0

c--D.1

・2

(2)已知一组成对数据(18,24),(13,34),(10,38),(-1,⑼的经验回归方程为

y=-2x+59.5,则该组数据的相关系数厂=.(精确到0.001).

(1)A(2)-0.998[(1)所有样本点均在同一条斜率为负数的直线上，则样本相关

系数最小，为一1.

(2)由条件可得，

_18+13+10-11八

X=-4—=]0,

24+344-38+m96+m

y=44

(X,刃一定过经验回归方程9=—2x+59.5,代入解得〃z=62,?=、¥=?

42

^xf=182+132+102+(-1)2=594,

^yf=242+342+382+622=7020,

4

Z%%-4%y

I=1J

T4

(2*-4x2)(-4y2)

i=1t=1

79

1192-4xl0x-y

(594-4xl00)x7020-4X

^-0.998.]

【教师备选资源】

1.(多选)对两组数据进行统计后得到的散点图如图所示，关于其线性相关系数

的结论正确的是()

y

16

12

8

4

012345012345%

线性相关系数n线性相关系数「2

A.n<0B.F2>1

C.n+r2>0D.\rr\>\r2\

AC[由散点图可知，线性相关系数n的图象表示y与x成负相关，故一1<心<0,

故A正确；线性相关系数F2的图象表示了与X正相关，故0<厂2<1,故B错误;

因为线性相关系数ri的点较线性相关系数n的点密集,<|r2|>kiI,故ri+r2>0,

故C正确，D错误.故选AC.]

2.如图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线图.

根据该折线图判断，下列结论正确的是（）

A.为预测该地2024年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据

建立回归模型更可靠

B.为预测该地2024年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据

建立回归模型更可靠

C.投资额与年份负相关

D.投资额与年份的相关系数r<0

B[因为2009年之前与2010年之后投资额变化较大，故为预测该地2024年的

环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠，所以

A错误，B正确；

随年份的增长，投资额总体上在增长，所以投资额与年份正相关，尸>0,故CD

错误.故选B.]

3.如图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一:

根据图中所有数据，得到经验回归方程5>=务述+缶，样本相关系数为广；方案二:

剔除点(10,21),根据剩下的数据得到经验回归方程5>=谷2%+力，样本相关系数

为2贝女)

，24.211

：

1•21

；6-3

•

Wro~~15*20X

A.0<n<F2<lB.0<F2<ri<l

C.—l<n<F2<0D.—l<F2<ri<0

D[根据相关变量x,y的散点图知，变量x,y具有负线性相关关系，且点(10,

21)是离群值；

方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些；

方案二中，剔除离群值，线性相关性强些；

所以样本相关系数一l<F2<7"l<0.]

―考点二回归模型

考向1一元线性回归模型

[典例2](2023•河北唐山三模)据统计，某城市居民年收入(所有居民在一年内

收入的总和，单位：亿元)与某类商品销售额(单位：亿元)的10年数据如表所示:

第〃年12345678910

居民年收入X32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0

商品销售额了25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

依据表格数据，得到下面一些统计量的值.

101010

10

10W(阳—沙)•Ot

EXi

i=li=li=l

i=li=l

-无尸-y)2-y)

379.6391246.904568.9m

(1)根据表中数据，得到样本相关系数厂q0.95.以此推断，y与x的线性相关程

度是否很强?

(2)根据统计量的值与样本相关系数r^0.95,建立y关于x的经验回归方程(系数

精确到0.01)；

(3)根据(2)的经验回归方程，计算第1个样本点(32.2,25.0)对应的残差(精确到

0.01)；并判断若剔除这个样本点再进行回归分析，石的值将变大还是变小(不必说

明理由，直接判断即可).

附：样本(Xi,j/)(z=1,2,…，〃)的相关系数r=

%)(％-父)£(々二)(％-亍)

-------——r-^-------——,V2.304心1.518,b=nz,a=y-bx.

/-«)2，£(%-丁)2Z(生-")2

VI=1Vt=1l=1

［解］(1)根据样本相关系数厂Q0.95,可以推断线性相关程度很强.

£(%♦)(%-力

(2)由r=/e——=0.95及6=

22

£二心阳二厂监(％-分=厂分

=\/57304,

所以右=7隹西心0.95X1.518^1.44,

又因为元=37.96,y=39.1,

所以G=y一鼓七一15.56,

所以y与x的经验回归方程为y=1.44x—15.56.

(3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为:

25.0-(1.44X32.2-15.56)=-5.808^-5.81,

由于该点在回归直线的右下方，故将其剔除后，石的值将变大.

考向2非线性回归模型

［典例3］(2023•广东广州二模)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降

低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本

了(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入方和每件产品成本"《=1,2,

3,…，10)的数据进行分析，得到如图所示的散点图，并计算得：元=6.8,y=

每件产品成本/元

250-

200-*

150-•

100-•

5。；：•：一•\.

0~~6~~8101214~~"

年技术创新投入/千万元

(1)根据散点图可知，可用函数模型5>=：+a拟合了与X的关系，试建立了关于X

的经验回归方程；

(2)已知该产品的年销售额侬单位：千万元)与每件产品成本了(单位：元)的关系

为他=—意+祟+与+100•该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要

50025y-10

投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入X为何值时，

年利润M的预报值最大？

(注：年利润=年销售额一年投入成本)

参考公式：对于一组数据(M1,%),(M2,⑸，…，(Un,乙),其经验回归方程力

n__

~nuV

=a+^u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为耳=十一—,a=v-pu.

Tu.-nu

i=i1

［解］(1)令瓦=%则y关于M的经验回归方程为9=6=瓦/,

10_____

由题意可得行之;T°端六200,

Eu--lOw

i=i1

a=y-jgu=70-200X0.3=10,则^=10+200%

所以y关于x的经验回归方程为夕=10+1.

(2)由.v=10+一可得x=200

y—10'

年利润M=m—x—\0~W+幽+100—空一10=一^(y—20)2+90.8,

50025y-10y-10500V)'

当v=20时，年利润M取得最大值，

i_200200

此时nx=-----=------=20,

y-1020-10'

所以当年技术创新投入为20千万元时，年利润〃的预报值取最大值.

名师点评回归分析问题的类型及解题方法

(1)求经验回归方程

①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关.

②利用公式，求出回归系数R

③利用经验回归方程过样本点的中心求系数a.

(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值.

(3)利用经验回归方程判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数R

(4)经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当川越趋近于1时，两变

量的线性相关性越强.

提醒：非线性处理策略要通过换元、取对数等手段把非线性问题转化为线性问题.

［跟进训练］

2.某研究所为了研究某种昆虫的产卵数式单位：个)与温度x(单位：℃)之间的

关系，现将收集到的温度电和一组昆虫的产卵数了。=1,2,…，6)的6组观测

数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据.

9O产卵数"个

8O

7O

6O

5O

4O

3O

2O

1O

O

101520253035温度小

666

经计算得到以下数据：〉=26,片》%=33,W3-元)(％-？)=557,

i=li=li=l

666

W®-/)2=84,W(%一?)2=3930,2(--%)2=236.64.

i=li=li=l

(1)若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求了关于X的经验回归方程》=取

十&(结果精确到0.1)；

(2)若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得y关于x的经验回归方程?

=0.06e°-2303S且决定系数为火2=0.9672.

①试与(1)中的回归模型相比，用衣说明哪种模型的拟合效果更好；

②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该组昆虫的产卵数(结果四舍五入取

整数).

附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(Xl,yi),(X2,J2),…，(xn,yn),

其经验回归方程?=放+2截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：b=

2

E(专-尤)(匕->)八_i(y;-y;)

-―7,—，S=y-bx,相关系数：R2=i-t--------—•

£(%-%)E(y.-y)

t=1i=11

参考数据:e80605^3167.

6__

-2(%二%)(兀-y)„

［解］(1)由题意可知5=J---------------=97心6.6,

I(x.-x)284

i=l1

一族=33—6.6X26=-138.6.

：.y关于x的经验回归方程是5>=6.6x—138.6.

(2)①用指数回归模型拟合y与x的关系，决定系数笈=0.9672,

6,

£(y•-y.)

线性回归模型拟合y与x的关系，决定系数笈=1—，-=1一能黑心0.939

8,且0.93984.9672,

/.用夕=0.06e°2303x比9=6.6x—138.6拟合效果更好.

②?=0.06e°-2303x中，令》=35,

贝母=0.06e°23°3X35=006e&0605%0.06X3167Pl90(个),

故预测温度为35℃时该组昆虫产卵数约为190个.

□考点三独立性检验

［典例4］(2023•全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选

40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试

验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时

间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(1)计算试验组的样本平均数；

(2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不

小于机的数据的个数，完成如下列联表；

小白鼠体重的增加量

组别合计

<m2加

对照组

试验组

合计

②根据①中的列联表，依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否以此推断小白

鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

2

叫2一n(ad—bc')

附：X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

［解］(1)根据题意，计算试验组样本平均数为

1

x=^X(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+

20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=19.8.

(2)①由题意知，这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，

从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，

因为第20位数据为23.2,第21位数据为23.6,

所以这组数据的中位数是机(23.2+23.6)=23.4.

填写列联表如下：

小白鼠体重的增加量

组别合计

<m2加

对照组61420

试验组14620

合计202040

②零假设为印：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差

异.

根据列联表中数据，得片=*黑/=6.4>3.841=xo.o5,

所以依据小概率值a=0.05的独立性检验，可以认为小白鼠在高浓度臭氧环境中

与在正常环境中体重的增加量有差异.

名师点评独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据完成2X2列联表.

n(ad-bc)2

(2)根据公式42=计算.

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

(3)比较%2与临界值的大小关系，作统计推断.

［跟进训练］

3.(2020•新高考I卷改编)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对

某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:

|ig/m3),得下表:

SO2浓度

PM2.5浓度

[0,50](50,150](150,475]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”

的概率；

(2)根据所给数据，完成下面的2X2列联表：

SO2浓度

PM2.5浓度

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否推断该市一天

空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［解］⑴根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓

度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度

不超过75,且S02浓度不超过150的概率的估计值为急=0.64.

（2）根据抽查数据，可得2X2列联表：

SO2浓度

PM2.5浓度

[0,150](150,475]

[0,75]6416

(75,115]1010

⑶零假设为"）：该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关，则42=

100x（64x10-16x10）2〜=

/.T-OT-.

80x20x74x26

由于7.484>6.635=xo.oi,所以依据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断为

不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.

课时分层作业（七H-）成对数据的统计分析

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.根据分类变量X与y的成对样本数据，计算得到%2=6.147.依据a=0.01的

独立性检验（软.01=6.635）,结论为（）

A.变量x与y不独立

B.变量x与了不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

C.变量x与了独立

D.变量x与了独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

C[按照独立性检验的知识及比对的参数值，当/2=6.147,我们可以下结论变量

x与y独立.故排除选项A,B;依据a=0.01的独立性检验（xo.oi=6.635）,

6.147<6.635,所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超

过0.01”这个结论.故C正确，D错误.故选C.]

2.（2024•浙江湖州模拟）研究变量x,y得到一组样本数据，进行回归分析，以

下说法中错误的是（）

A.若变量x和y之间的相关系数为r=—0.992,则变量x和了之间的负相关很

强

B.用决定系数火2来比较两个模型拟合效果，火2越大，表示残差平方和越小，即

模型的拟合效果越好

C.在经验回归方程5>=—2x+0.8中，当解释变量X每增加1个单位时，响应变

量夕平均减少2个单位

D.经验回归直线9=标+6至少经过点（XI,Jl）,（X2,J2）,…，（X”,%）中的一个

D[若变量x和y之间的相关系数为r=—0.992,则变量x和y之间的负相关很

强，A正确；

用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模

型的拟合效果越好，B正确；在经验回归方程?=一2》+0.8中，当解释变量x每

增加1个单位时，响应变量?平均减少2个单位，C正确；经验回归直线y=标

+G必过（幻y）,但不一定过样本点，D错误.故选D.]

3.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+l,变量y与2正相关.下列结论中正确

的是（）

A.X与了正相关，X与2负相关

B.x与y正相关，x与z正相关

C.x与y负相关，x与2负相关

D.x与了负相关，x与2正相关

C[因为夕=—0.1x+l的斜率小于0,故x与y负相关.因为y与z正相关，可

设2=gv+4,b>0,贝吃=加+2=—0.1石X+B+G,故x与z负相关.故选C.]

4.（2023•广东梅州二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云

计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，

且市场规模j与年份代码x的关系可以用模型y=ciec2%（其中e为自然对数的底

数）拟合，设z=lny,得到数据统计表如下：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代码X12345

云计算市场规

7.4112036.666.7

模w千万元

z=lny22.433.64

由上表可得经验回归方程2=0.52x+6,则2025年该科技公司云计算市场规模》

的估计值为（）

A.e5-08B.e5-6

C.e6-12D.e6-5

B［因为无=3,z=3,

所以6=2—0.52元=3—3X052=1.44,

即经验回归方程2=0.52%+1.44,

当x=8时，2=0.52X8+1.44=5.6,

所以y=e，=e5-6,即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5-6.

故选B.]

5.（2023•河北衡水一模）某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个

变量x,y之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：

X2023252730

22.4334.6

由表格中的数据可以得到.V与x的经验回归方程为?=5+%据此计算，下列选

项中残差的绝对值最小的样本数据是（）

A.(30,4.6)B.(27,3)

C.(25,3)D.(23,2.4)

20+23+25+27+30_2+2.44-3+34-4.6。

C[由表格数据知：x=-------------------=2o5,y=------------------=3,

11Q

/.经验回归方程为一f

对于A,残差的绝对值为卜.6—（：X30=0.35;

对于B,残差的绝对值为13-GX27-?）|=0.5;

对于C,残差的绝对值为13-Qx25-^）|=0;

对于D,残差的绝对值为12.4-Qx23-=0.1；

.•.残差绝对值最小的样本数据是（25,3）.故选C.]

6.（2023•山东荷泽二模）足球是一项大众喜爱的运动，为了解喜爱足球是否与

性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱

足球的人数占男性人数的之女性喜爱足球的人数占女性人数的；，若本次调查得

出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，

则被调查的男性至少有（）

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.10人B.11人

C.12人D.13人

C[设被调查的男性为x人，则女性为2x人，依据题意可得列联表如下表:

性别

足球合计

男性女性

5%2%3%

喜爱足球

~6TT

X4%3%

不喜爱足球

6~3~T

合计X2x3x

/2=半手亘因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前

•x•2x3

提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以有力2三7.879,即（三7.879,

解得xNll.8185,又因为上述列联表中的所有数字均为整数，故x的最小值为

12.故选C.]

二'多项选择题

7.（2023•湖南长沙一模）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、

湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔

的影响最为显著.如图是根据一组观测数据得到海拔6~15km的大气压强散点

图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为%=—4G+68.5,决定系数为闿

=0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为免=132.9e-o」63x,决定系数为明

=0.99,则下列说法正确的是（）

A.由经验回归散点图可知，大气压强与海拔高度负相关

B.由经验回归方程%=—4.0x+68.5可知，海拔每升高1km,大气压强必定降

低4.0kPa

C.由经验回归方程%=—4.0x+68.5可知，样本点(11,22.6)的残差为一1.9

D.对比两个回归模型，结合实际情况，经验回归方程92=132.96-。」63工的预报效

果更好

ACD[由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负

相关，A正确；

由经验回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，B错误；

当x=ll时，yi=-4.0X11+68.5=24.5,又由散点图知观测值为22.6,所以样

本点(11,22.6)的残差为22.6—24.5=-1.9,C正确；

随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此经验回归方程

y2=132.9e-°J63x的预报效果更好，D正确.故选ACD.]

8.(2024•江苏泰州开学考试)“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，

推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校

从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则()

天宫课堂

性别

喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂

男生8020

女生7030

参考公式及数据:

02_n(ad—bc)2

=

X(a+力)(c+d)(a+c)(力+d)'na~\~b~\~c~\~d.

②当a=0.05时,xft=3.841.

A.从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率

B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂

的概率为A

64

C.根据小概率值Q=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联

D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80,女

生的平均成绩为90,则参加测试的学生成绩的均值为85

BC[从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概

率尸=岛1A错误；

样本中喜欢天宫课堂的频率为嚅=：,从全校学生中任选3人,

ZUU4

2

恰有2人不喜欢天宫课堂的概率01=禺（1一|）x|=^,B正确；

因为2=陋竺笆善驾心2,667<3.841,所以根据小概率值a=0.05的独立性检

几100x100x150x50

验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，C正确；

抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80,70,

又男生的平均成绩为80,女生的平均成绩为90,所以参加测试的学生成绩的均

80x80+70x90254

值为,D错误.故选BC.]

80+703

三、填空题

9.某工厂为研究某种产品产量x（单位：t）与所需某种原材料式单位：t）的相关性,

在生产过程中收集4组对应数据（x,内如下表所示：

X3456

2.534m

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为夕=0.7x+Z据此计算出在样本点

（4,3）处的残差为一0.15,则4的值为，表中根的值为.

0.354.5[由在样本点（4,3）处的残差为一0.15,可得当x=4时，y=3A5,即

3.15=0.7X4+a,解得a=0.35.又无==（3+4+5+6）=4.5,y=y（2.5+3+4+

44

机）=?9.5+机），经验回归直线过点（无，y）,所以39.5+M）=0.7X4.5+0.35,解

得机=4.5.]

10.如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积

条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400人（假

设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层随机抽样的方法

抽取23人，则抽取的男生人数为

1

男生女生

［=1喜欢徒步二)不喜欢徒步

15［根据等高堆积条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6X500=