求数列通项公式方法归纳十种方法

求数列通项公式方法归纳

、公式法

【例1】已知数列｛%｝满足4+i=2%,+3x2",q=2,求数列｛4｝的通项公式。

解：4+I=2。“+3、2"两边除以2日，得&="+』，则4号—纽=3,故数列｛2｝是

n+in2〃22〃+i2〃22〃

以2=2=1为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得组=1+(〃—1)2,

21222"2

H

所以数列｛区,｝的通项公式为an=(-«--)2o

二、累加法

【例2】已知数列｛4｝满足。=+1=。〃+2〃+1,%=1,求数列｛4｝的通项公式。

解：由=4〃+2〃+1得％+1-4=2〃+1贝|

%二一"〃—1)+(〃及—1—%-2)+一，+(%—%)+(%—

=[2(M-1)+1]+[2(n-2)+1]+...+(2x2+1)+(2x1+1)+1

=2[(n—l)+(n-2)+—f-2+1]+(n—1)+1

=2"，(〃—1)+1

=("一1)(〃+1)+1

=n2

所以数列｛4｝的通项公式为an="。

【例3】在数列｛%｝中，%=3,=册+—-—，求通项公式a„.

n(n+1)

解：原递推式可化为：an+l=an+—---—

nn+1

1111

则]23223

逐项相加得：=«1+1--.故a=4-—.

nnn

【例4】已知数列｛4｝满足。“+i=a"+2x3"+l,%=3,求数列｛”,｝的通项公式。

解：由=4+2x3"+1得=2x3”+1则

所以。“=3"+〃—1.

【例5】已知数列｛4｝满足。“+1=3%+2x3"+1,q=3,求数列｛4｝的通项公式。

解：。用=3a“+2x3"+l两边除以3叫得|^=+g+，

则4—%=2+A，故

3'"13"33"1

%=(%

3'—’3"

、+乙)+

33'1'333'"2

2(“一1)z1111

--------------F(------1-------1--------H-------大+-+-V)+l

33〃3〃3〃一13八一2

*1、,(1-3"T)

因此%=迎二2+里—：+1=2n11

------1-----------------

3"31-3322x3〃

211

则x〃x3〃+—x3〃——.

〃322

【例6】在数列｛4“｝中，%=0且。计1+2〃-1,求通项a“.

an=1+3+…+21=3世①⑶=（7）2

"2

1

【小练工已知｛凡｝满足％=1,"""（"+D求｛见』的通项公式。

已知｛""｝的首项（=1,%+1=%+2"（〃eN*）求通项公式。

已知｛g｝中，/=3,%+1=%+2”,求明

三、累乘法类型an+1/(«)«„型

【例7】已知数列｛a“｝满足a.=2(〃+1)5"x4,q=3,求数列｛4｝的通项公式。

解：因为a“+i=2(〃+1)5"x%,q=3,所以见尸0,则嗅=2(〃+1)5”,故

C0/1-1

a“=-----------

an-\an-2。2

=[2(n-l+1)5"1][2(n-2+1)5^2]-..-[2(2+l)x52][2(l+l)x51]x3

=—-3X2]X5(^I>+(,!-2)++2+1/3

n(n—l)

=3x2nlx5^r~x〃！

w(n—1)

1

所以数列｛%｝的通项公式为an=3x2"-x5=x〃!.

【例8】已知数列｛a,J满足4=1,%=%+24+3为++("-1)。〃_1(九22),求｛%,｝的

通项公式。

解：因为。“=囚+2g+3%++(n-l)a,!_1(n>2)①

所以a“+i=%+24+3%++("-l)a“_i②

用②式一①式得。“+1-a”=nan.

则a〃+i=("+1)。"("22)

故为=〃+1(〃22)

an

所以a“=•a2=[n(n-1)--4x3]tz2=—a2.③

an-l4-2a22

由4=6+2%+3/+.+(n-V)an_l(n>2),取“=2得a?=囚+2a2,则%=%，又知

nI

%=1,则％=1，代入③得a“=1・3・4・5--n=—o

所以，｛4｝的通项公式为。“=万.

【例9】在数列｛%｝中，%=1,&包=」—，求通项您.

ann+1

aaa

%+1—Hn*n-\...2_〃—一1几*_2*1**_-1Q—1_

n2

解：由条件等式"+1得，%T4-2a\"-1"，得"n

12〃一1

"i—afi—1fi

练习：1、已知：3,2n+l-(〃22)求数列的通项。

n

2、已知｛%｝中，向n+2”且％=2求数列通项公式。

四、待定系数法为+1=以"+〃(c#O，cwl)型

【例10】已知数列｛4｝满足。“+1=2a“+3x5",%=6,求数列｛4｝的通项公式。

解：设4+i+xx5"+i=2(a“+xx5")④

将为+i=24+3x5"代入④式，得2a“+3x5"+xx5"i=24+2xx5",等式两边消去

2an,得3-50+x6"i=2尤-5",两边除以5",得3+5x=2阳贝卜=—1,代入④式得

%-5m=20-5")⑤

由4—51=6—5=1。0及⑤式得4—5"片0,则=2,则数列｛4—5"｝是以

%—5〃

q—5i=l为首项，以2为公比的等比数列，则4—5"=2"-，故a"=2"T+5"。

【例11］已知数列｛4｝满足%+i=3a“+5x2"+4,q=1,求数列｛4｝的通项公式。

解:设a“M+xx2'"i+y=3(4+xx2"+y)⑥

将a，.=34+5x2"+4代入⑥式，得

3a”+5x2"+4+xx2n+1+y=3(/+xx2n+y)

整理得(5+2x)x2"+4+y=3xx2"+3y。

人5+2%=3xx=5

令4则〈，代入⑥式得

4+y=3yb=2

a“+i+5x2'"i+2=3(4+5x2"+2)⑦

由q+5x2i+2=l+12=13w0及⑦式，

n+1

n_i_5x?-k?

得4+5x2”+2w0,则"+i=3,

%+5x2"+2

故数列｛a“+5x2"+2｝是以q+5x2i+2=l+12=13为首项，以3为公比的等比数列,

因此+5x2"+2=13x3"、则=13X3”T—5x2”—2。

【例12］已知数列｛为｝满足。“+1=24+3〃2+4“+5,%=1,求数列｛4｝的通项公式。

解：设。”+1+x(〃+l)2+y(〃+l)+z=2(a.+x〃2+y〃+z)⑧

将4+i=2。“+3〃2+4〃+5代入⑧式,得

2a“+3n2+4〃+5+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(a〃+xn2+yn+z),贝!J

22

2a“+(3+x)n+(2x+y+4)〃+(x+y+z+5)=2an+2xn+2yn+2z

等式两边消去2a“，得(3+X)“2+(2X+y+4)n+(x+y+z+5)=2xn2+2yn+2z,

3+x=2xx=3

解方程组〈2x+y+4=2y,贝,丁=10,代入⑧式，得

x+y+z+5=2zz=18

%+3(〃+1)2+10(〃+1)+18=2(4+3"+10〃+18)⑨

由q+3x12+10x1+18=1+31=32工0及⑨式，得4+3/+io〃+i8。。

则%+3(〃+丫+105+D+18=2,故数列忆++10〃+18｝为以

cin+3Tl+1On+18

4+3x12+10x1+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此

,,+42

4+3/+10〃+18=32x2"T,贝ijan=2-3n-10n-180

［例13］数列｛%｝满足=2a“T，q=2,求％

解：设即"用=2%+x,对照原递推式，便有

故由％=2a,-1,得an+x-1=2(%—1),即也二J_=2,得新数列3"一»是以

anT

%-1=2-1=1为首项，以2为公比的等比数列。

nl

(n=l,2,3-),:.an-1=2-,即通项a”=2^+1

【练习】：1、已知｛明｝满足勾=3,4+1=2。〃+1求通项公式。

2、已知｛"/中，q=1,a“=3%i+2(〃22)求明。

分析：构造辅助数列,4+1=3(4-+1),则6=3"-1

【同类变式】

1、已知数列满足a“+i=2a“+(2〃—1),且%=2,求通项“"

分析：(待定系数)，构造数列｛4+左”+与使其为等比数列，

即。用+%(〃+1)+6=2(。“+kn+b)；解得左=2,)=1

求得a'=5-2"-1-2n-l

_ci——tz1+2〃一1］

2、已知：a<=11,时，2,求他f"的通项公式。

a鹿+An+B=—［。八_i+A(〃-1)+5］

解：设2

a=-aJ--An--A--B

n2n"T222

A=-4

<

解得：18=6・%—4+6=3

...｛%—4"+6｝是以3为首项,5为公比的等比数列

-13),

an-4n+6=3-(-)".4,=k+4"6

\_

｛""-4"+6｝是以3为首项，万为公比的等比数列

-1

an-4n+6=3-(―)"=—^―+4n-6

""2•2"-1

【例14]已知数列｛an｝的前〃项和S,,满足S“=2«„+2n

(1)写出数列的前3项为，“2，%；

(2)求数列｛凡｝的通项公式.

解：(1)由a1=S]=2%+2,得q=—2.

由％+a2—*52—2a2+4得a?——6

由I+%+/=S3=2a3+6彳氏/=—14

⑵当2时，有4=S”-S,i=2(a〃2,即a”=2a时1一2①

令a"+2=2(%_]+几),则a,=2j+九,与①比较得,2=-2

'｛%一2｝是以4―2=—4为首项，以2为公比的等比数列.

n+1n+1

an-2=(-4)-2”T=-2故*=-2+2

【引申题目】

1、已知｛%｝中，6=1,%=2。"_I+2"(〃,2)求知

2、在数列｛""｝中，％=T«，+i=2%+小3"I求通项公式明。

解：原递推式可化为：

%+1+33〃=2(%+九3*①

比较系数得彳=-4,①式即是：%+i_小3“=2(氏—4-3“T).

则数列｛《一小3'1｝是一个等比数列，其首项=-5,公比是2.

Z,

.4-4・3”T=-5-2”T叩an=4-3-'-5-2"-

3、已知数列伯马满足an+i=2an+3-2,a1=2,求数列但如｝的通项公式。

—n+1_HR।3—n+1__J

解：an+i=2an+3-2n两边除以2,，得才一92,则才一9一5,

也｝匕=2=13

故数列2n是以212为首，以5为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

-~=1+(n—1)—,a=(―n——)2n

22,所以数列f｛a.的通项公式为22。

Q]=1

<

4、若数列的递推公式为14+1=3/-2-3'"5^),则求这个数列的通项公式

4=3

<

5、若数列的递推公式为口向="〃—2,3'"S'),则求这个数列的通项公式

6、己知数列佰"满足an+i=2an+3-511,a1=6,求数列忸口｝的通项公式。

an+1n2n

解：设+x-5=(an+x-5)④

将a.=2a0+3-5”代入④式，得2a。+3-511+x-5向=2a0+2x・5。，等式两边消去

2an,得3-5n+x-5n+i=2x-5\两边除以5。，得3+x•5=2x,则x=—1,代入④式，

得an+「5n+:2(an-5n)⑤

分—sn+1

]n―—=2"

n

由ai-5=6-5=lwo及⑤式，得an-5、0,则an-5，则数列｛a>>-5」是

以佝—51=1为首项，以2为公比的等比数列，则%―5〃=1-2"T,故a〃=2"T+5

【例15】已知数列｛%｝中，其中为=L,且当n22时，%二%，求通项公式明。

2a“Ji

解：将知=%两边取倒数得:-——匚=2,这说明｛2｝是一个等差数列,

2a1

„-i+a”an_xan

首项是工=1,公差为2,所以工=1+(〃—l)x2=2〃—1,即％

%cin2〃一1

【例16】数列①"｝中，且a.=.0"、,求数列恒"｝的通项公式.

1

3〃+12an+1

［提示］」一=［1-+1

4+12an

【例17】«„+1=-A-,%=1，求明

24+1

解：」一=,+2"即％=勾+2"

%a”

0(1_)1

则么=仇+；2'=1-2+2'=2"-1二。〃=/

2j

〃+1=------------

【例18】数列伍"｝中，2用+。“，%=2,求｛%｝的通项。

12n+l+a111

___________2________।____

-+1

解：«„+12"+%”...an+l-a„2«

i_J_1

“—a2+i=2+即%=

77—1

bb

,n-n-l=T7

bn-l_"_2=产

b

b『2-n-3

+2一仇=e

么—仇=中+域+…

"~i-2-r

1-----

2

1112"-1

22"2

a二------------

【练习】"2"-1

1、在数列｛"J中,4=1，4什1=一二，求明.

【例19]若数列｛%｝中，%=3且％+i=%（n是正整数），则它的通项公式是“y

（2002年上海高考题）.

解由题意知"">0,将。“+]=。“2两边取对数得igq,+]=21g«„,即将色=2,所以数

2

列"g%｝是以电q=也3为首项，公比为2的等比数列，1gq=lgax-2"T=lg3",即

【练习】

1、在数列｛%,｝中，4=l,an+i=求知.

4+3

五、对数变换法

【例20】已知数列｛%,｝满足。“+i=2x3"xa；,4=7,求数列｛4｝的通项公式。

解：因为。计1=2x3"xa；,4=7,所以。“〉0,an+1>0,,在。什1=2x3"xa；式两边取

常用对数得Ig4+i=51ga〃+9g3+lg2⑩

设lga“+i+xS+l)+y=5(lga”+x〃+_y)⑪

将⑩式代入⑪式，得51ga“+〃lg3+lg2+x(〃+l)+_y=5(lga“+x”+y),两边消去

51ga“并整理，得(Ig3+x)“+x+y+lg2=5切+5y,贝!]

r=lg3

lg3+%=5%「一4

,故＜

x+y+lg2=5ylg3lg2

l164

代入⑪式，得lg%+孚S+l)+殍+笄=5(Ig%+孚”+整+殍)©

41644164

由坨Q+妲*1+吧+鳖=坨7+里3xi+妲+岖2Ho及。式，

*41644164

得lga〃+—+堡+皎H0,

"4164

1lg31g3lg2

lga,^+-^(n+V)+^+^-

sX4164

则=5,

,lg3lg3lg2

Iga+—«+—+—

"4164

所以数列｛lga〃+军〃+胃+号｝是以lg7+等+震+号为首项，以5为公比的等

比数列，则坨4+等〃+胃+号=（lg7+容+胃+号）5"T,因此

lga〃=(lg7+竽+胃+1g2

4

J_J_J.«X1

=(lg7+lg3a+lg36+lg2，)5"T—lg3“一lg3记-lg2K

J_J_j_n_1_j_

=[lg(7.3“3«•2%)]5^-lg(3z•3«•2%)

=lg(7•3"3布•2手)5卷一lg(3”-3^-24)

5"Tf5"T-15"T-1

=lg(75,,_|-3—-3^-2~)

5〃—4及—1

=lg(75"，316.2丁)

5一一-4T5"T-1

则a'=75"，316X2—。

六、迭代法

【例21】已知数列｛4｝满足=a："+i)2",q=5,求数列｛4｝的通项公式。

_435+1)2"［戏尸上产日

解:因为%+1—a”所以4占

_32(〃一1"・25-2)+5-1)

-an-2

_「3(〃-2).2〃-3-|32(n-l)-n-2(n-2)+(n-1)

一4-3」

_335—2)5—1)〃.2("-3)+5-2)+(八-1)

—%-3

•••

_〃3"-2・3(〃-2>(〃-1>〃"+2++(«-3)+(n-2)+(n-l)

n(n—[)

n(n-l)

又％=5,所以数列｛%｝的通项公式为%=53""，22。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式

%+1=*"用)2"两边取常用对数得lgan+1=3(〃+l)x2"x1g4,即幽旦=3(〃+1)2",

lga“

再由累乘法可推知坨%=龙4-•幽曰••如・尼生•lg%=lg53"L台,从而

lga,i\gan_2\ga2Iga,

3〃T.〃!.2^2

2

an=5o

七、数学归纳法

8("+1)Q

【例22］已知数列｛a“｝满足a=a+,«1=-,求数列｛&｝的通项

n+in(2〃+1)2(2〃+3)2

公式。

+8("+1)_8z

解：由an+1=an+---------------y及勾=一,得

"+i"(2〃+1)2(2〃+3)219

8(1+1)88x224

~1(2xl+l)2(2xl+3)299x2525

8(2+1)248x348

3-(2x2+iy(2x2+3)22525x4949

_8(3+1)_488x4_80

%―%+(2X3+1)2(2X3+3)2-49+49x81-81