2024年湖南省九校高考数学第二次联考试卷

2024年湖南省九校联盟高考数学第二次联考试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符

1.（5分）（2024•湖南模拟）对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据（xi,yi）,

（眼，”），…，（物，A），下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是

（）

A.平均数B.相关系数厂

C.决定系数wD.方差

2.（5分）（2024•湖南模拟）已知｛即｝是等比数列，S"是其前"项和.若cz3-m=3,S4=

5s2,则ai的值为（）

A.2B.4C.±2D.±4

3.（5分）（2024•湖南模拟）关于复数z与其共辗复数2,下列结论正确的是（）

A.在复平面内，表示复数z和2的点关于虚轴对称

B.z-z>Q

C.z+2必为实数，z-2必为纯虚数

D.若复数z为实系数一元二次方程如2+敬+°=0的一根，贝眩也必是该方程的根

x2y2

4.（5分）（2024•湖南模拟）已知/为双曲线一一乙=1上一动点，则M到点（3,0）和

36

到直线x=l的距离之比为（）

A.1B.V2C.V3D.2

5.（5分）（2024•湖南模拟）如图，在四面体P-A8C中，B4_L平面ABC,ACVCB,

AC=2BC=2,则此四面体的外接球表面积为（）

A.3TTB.9TtC.36TTD.48TT

6.（5分）（2024•湖南模拟）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入

大额存款ao元，按照复利计算，10年后得到的本利和为aio,下列各数中与巴及最接近的

a0

是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.（5分）（2024•湖南模拟）已知函数/（久）=sin（sx）+V5cos（3"），若沿x轴方向平移了

（%）的图象，总能保证平移后的曲线与直线y=l在区间[0,可上至少有2个交点，至多

有3个交点，则正实数3的取值范围为（）

A.[2,1）B.[2,学）C.卷，4）D.[2,4）

8.（5分）（2024•湖南模拟）过点尸（-1,0）的动直线与圆C：（x-a）2+（厂2）2=4Q

112

>0）交于A,8两点，在线段A8上取一点。使得大+高薪=7^7，已知线段1尸。1

\PA\\PB\\pQ\

的最小值为鱼，则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

（多选）9.（6分）（2024•湖南模拟）下列函数的图象与直线y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=lnxC.j=siiu+lD.y=JC,+\

（多选）10.（6分）（2024•湖南模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且c=6（2cosA+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若a=^6,则△ABC为直角三角形

11

C.若△ABC为锐角三角形，——--7的最小值为1

tanBtanA

D.若△ABC为锐角三角形，则:的取值范围为（孝，季）

（多选）11.（6分）（2024•湖南模拟）如图，点尸是棱长为2的正方体ABC。-481。。

的表面上一个动点，F是线段481的中点，则（）

A.若点P满足APLBiC,则动点尸的轨迹长度为

B.三棱锥A-PB1D1体积的最大值为不

C.当直线AP与A8所成的角为45°时，点P的轨迹长度为兀+4立

D.当P在底面A8C。上运动，且满足尸尸〃平面B1CD1时，线段PF长度最大值为2Vl

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）（2024•湖南模拟）对于非空集合P,定义函数万（x）=1—1'XiP,已知集合

11,xeP

A^[x\Q<x<l],[x\t<x<2t],若存在xeR,使得必（x）+/B（X）>0,则实数，的

取值范围为.

13.（5分）（2024•湖南模拟）已知椭圆—+—=1（。〉力〉0）与双曲线-二=1,椭圆

azbzazbz

的短轴长与长轴长之比大于之则双曲线离心率的取值范围为.

2-----------------------------------

1

14.（5分）（2024・湖南模拟）函数次彳）=03«-03工在（0,271）范围内极值点的个数为

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）（2024•湖南模拟）如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCCLBI,BC是圆柱底面

的直径，O为底面圆心，A41为一条母线，E为CQ的中点，S.AB=AC=AAi=4.

（1）求证：OElABu

（2）求平面AB1E与平面81OE夹角的余弦值.

16.（15分）（2024•湖南模拟）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游

戏中有A,B,C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自

主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的

奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相

应的奖励基金如表：

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

（1）求甲按“A,B,C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

（2）甲决定按“A,B,C”或者“C,B,A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序

嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并

说明理由.

17.（15分）（2024•湖南模拟）已知函数/（%）—xi+ax^+bx+c（a,b,ceR）,其图象的对

称中心为（1,-2）.

（1）求a-b-c的值；

（2）判断函数/（x）的零点个数.

18.（17分）（2024•湖南模拟）已知数列｛斯｝的前“项和为品,满足2S"+a〃=3；数列｛加｝

满足bn+bn+l=2n+\其中61=1.

（1）求数列｛珈｝,｛仇｝的通项公式;

（2）对于给定的正整数iM=l,2,w）,在0•和由+1之间插入，个数以1,以2,…，

CH,使ai,CH,02,CU,%+1成等差数列.

（i）求Tn=Cll+C21+C22+-+Cnl+Cn2+-+Cnn；

1

bm-1H-----

（ii）是否存在正整数相，使得-------黑普恰好是数列｛而｝成｛加｝中的项？若存在，求

出所有满足条件的根的值；若不存在，说明理由.

19.（17分）（2024•湖南模拟）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x="+l

表示过点（1,0）的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线

上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

（1）若圆C1：久2+y2=1是直线族相什町=1（777,«£R）的包络曲线，求机，W满足的

关系式；

（2）若点尸（xo,yo）不在直线族Q：（2a-4）x+4y+（a-2）2=0（aeR）的任意一条

直线上，求”的取值范围和直线族。的包络曲线E；

（3）在（2）的条件下，过曲线E上A,8两点作曲线E的切线/1,12,其交点为P.已

知点C（0,1）,若A,B,C三点不共线，探究是否成立？请说明理由.

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参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符

1.（5分）（2024•湖南模拟）对两个变量尤和y进行回归分析，得到一组样本数据（对，户）,

（北，”），…，（切，W），下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是

（）

A.平均数B.相关系数r

C.决定系数WD.方差

【考点】线性回归方程.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】C

【分析】根据线性回归方程的性质求解.

【解答】解：平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量，

变量y和尤之间的相关系数r的绝对值越大，则变量y和尤之间线性相关关系越强，

用决定系数炉来刻画回归效果，川越大说明拟合效果越好.

故选：C.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.

2.（5分）（2024•湖南模拟）已知｛.｝是等比数列，S〃是其前w项和.若.3-ai=3,SA=

5s2,则02的值为（）

A.2B.4C.±2D.±4

【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.

【答案】C

2

arq—=3

a1（l—解可得的

）=5义（的+a）

｛1Q

值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为q,

a】q2a1=3

若。3-01=3,S4=5S2,即、，

i-q=5x（为+a±q）

解可得：q=±2.

故选：C.

【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题.

3.（5分）（2024•湖南模拟）关于复数z与其共朝复数2,下列结论正确的是（）

A.在复平面内，表示复数z和，的点关于虚轴对称

B.z,zX）

C.z+2必为实数，z-2必为纯虚数

D.若复数z为实系数一元二次方程"2+bx+c=0的一根，贝眩也必是该方程的根

【考点】共轨复数；虚数单位i、复数；复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合共轨复数的定义，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：在复平面内，表示复数z和2的点关于实轴对称，故A错误；

当z=0时，选项8显然错误，

当z=l时，2=1,

z-z=0,不满足z—2必为纯虚数，故C错误；

复数z为实系数一元二次方程以2+灰+0=0的一根，贝眩也必是该方程的根，故O正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题.

汽2y2

4.（5分）（2024•湖南模拟）已知M为双曲线一一二-=1上一动点，则M到点（3,0）和

36

到直线x=l的距离之比为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【考点】双曲线的性质.

【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】由已知求出双曲线的离心率，再由双曲线的第二定义得答案.

%4______

【解答】解：由双曲线一一一=1,得〃2=3,/?2=6,则c=迎2+炉=3,

36

X2y2/12

・・・双曲线二――二1的右焦点尸（3,0）,右准线方程为％=j=L

36c

由双曲线的第二定义可知，M到点（3,0）和到直线尤=1的距离之比为e=（=b.

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线第二定义的应用，是基础题.

5.（5分）（2024•湖南模拟）如图，在四面体尸-ABC中，公平面ABC,AC±CB,PA=

AC=2BC=2,则此四面体的外接球表面积为（）

A.3TTB.9TTC.36nD.48it

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；整体思想；综合法；球；数学运算.

【答案】B

【分析】根据题意将三棱锥尸-ABC还原到长方体中，求出长方体的体对角线的长，即

可得外接球的直径，从而可求出其表面积.

【解答】解：将四面体尸-ABC补形成长方体，长、宽、高分别为2,1,2,

外接球直径等于体对角线长，故2R=+22+M=3,

所以外接球表面积为S=4ir7?2=9Tt.

故选：B.

【点评】本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于基础题.

6.（5分）（2024•湖南模拟）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入

大额存款ao元，按照复利计算，10年后得到的本利和为mo,下列各数中与也最接近的

a0

是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【考点】数列的应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；二项式定理；逻辑推理；

数学运算.

【答案】D

【分析】根据题意可知每年末的本利和是以加为首项，1+3%为公比的等比数列，利用等

比数列的通项公式求出GO,进而求出处，利用二项式定理展开求近似值即可.

aO

【解答】解：存入大额存款项元，按照复利计算，

可得每年末的本利和是以ao为首项，1+3%为公比的等比数列，

所以aio=aoX(1+3%)10,

1O210

所以出=(1+3%)=1+Cl0XO.O3+Cl0X(0.03)+...+C.X(0.03)

a0

^1+0.3+0.0405=1.3405.

故选：D.

【点评】本题考查等比数列的应用，属中档题.

7.(5分)(2024•湖南模拟)已知函数/'(x)=sin(3久)+V5cos(3%),若沿x轴方向平移了

(x)的图象，总能保证平移后的曲线与直线y=l在区间[0,用上至少有2个交点，至多

有3个交点，则正实数3的取值范围为()

A.[2,1)B.[2,竽)C.[竽，4)D.[2,4)

【考点】函数y=Asin(3x+(p)的图象变换.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【答案】A

【分析】根据三角函数的性质即可判断.

【解答】解：由题知，f(x)=2s讥(3刀+刍，若沿无轴方向平移，考虑其任意性，

一1

不妨设得到的函数g(%)=2sin(o)x+(p),令g(x)=1,即+0)=,,

由正弦曲线性质知，s讥％=]至少有2解，至多有3解，

8TC

则自变量x的区间长度在271到3之间，由于x€[0,TT],

则有27rM3兀〈粤，即2W3V2

故选：A.

【点评】本题考查三角函数性质，属于中档题.

8.(5分)(2024•湖南模拟)过点P(-1,0)的动直线与圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a

112

>0)交于A,B两点,在线段AB上取一点Q,使得77777+7777=77TU，已知线段1尸。1

\PB\\PQ\

的最小值为e，则a的值为()

A.1B.2C.3D.4

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【答案】A

【分析】直接利用直线与圆的位置关系，两点间的距离公式求出a的值.

【解答】解：圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)的圆心(a,2),半径为2,

所以圆与x轴相切，切点坐标为(a,0),连接PM,所以|PM]=a+l,

故|PM|2=|B411PBi=(a+1)2,

设AB的中点为D,连接CD,则COLAB,

如图所示：

设圆心C到直线AB的距离为d,则0Wd<2,所以|出|+|尸2|=|尸。|+|4。|+|「。-3。|,

由于__+」_____7_士攵(a+/——

由于2|+|PB「附「故四一…小布才

.....(a+1)2(a+1)2

由于0Wd<2,所以I,、？W|PQ|

V(a+l)2+4-02V(a+1)+4-2

故”9：；),=力,解得。=1.

V(a+l)2+4-02

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于

中档题.

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

（多选）9.（6分）（2024•湖南模拟）下列函数的图象与直线>=尤+1相切的有（）

A.y=e:CB.y=lnxC.y=sinx+lD.y=x3+l

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】AC

【分析】求出切点的坐标，代入切线方程，然后判断即可.

【解答】解：对于A,y=e*,y'=",

设切点Qs,t）,贝卜="，函数的图象与直线y=x+l相切，

可得e，=l,t=l,s=0,切点（0,1）,满足题意.所以A正确；

1

对于5,y=lnx,y'=设切点（s,/）,

则，=1=1，

故s=l,

历1=0,切点坐标（1,0）,不满足y=x+l,所以B不正确；

对于C,y=sinx+l,y'=cosx,如果函数的图象与直线y=x+l相切，切线的斜率为1,

cosx=1,可得一个切点坐标为（0,1）,满足切线方程，所以。正确；

对于Z）,y=/+l,可得y'=2x2,切点为（s,力，切线的斜率为1时，2，=1,解得s

,V2,V2

=±——，t=l±—

24f

s,/代入切线方程，不成立，所以。不正确.

故选：AC.

【点评】本题考查了导数的几何意义、切线方程的应用，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

（多选）10.（6分）（2024•湖南模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

且（2cosA+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若。=遮匕，则△ABC为直角三角形

11

C.若△ABC为锐角三角形，一---7的最小值为1

tanBtanA

D.若△ABC为锐角三角形，则：的取值范围为(孝，孥)

【考点】解三角形；正弦定理.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；数学运算.

【答案】ABD

【分析】由题意及正弦定理可得A=2B,三角形中，由内角之间的关系，分别对所给命

题的真假进行判断.

【解答】解：因为c=Z?(2cosA+l),由正弦定理可得sinC=sin3(2cosA+l),

在△A8C中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

可得sin(A-可=sinB,

所以A-3=3,

即A=28,所以A选项正确;

B中，a=y/Sb,可得sinA=V3sinB,由A选项可得sin2B=Visin-

则2sin3cos3=V^sinB,在△A3C中，sinB>0,

可得cosB=竽，则B=l，A=l，所以C=*,即AABC为直角三角形，所以8选项正确;

C中，因为△ABC为锐角三角形，由A选项可得A=2B,

f0<F

Zr—

所以<0<4=28V*,可得々<BV?所以tanBE(―,1),

[oVC=7i-A-BV,

~…111l-tan2B1tanB

所以....-.....=---------------=------+-----，

tanBtanAtanB2tanB2tanB2

、V3

设s=tanBE(—,1),

3

1A/3

设g(S)=石+*在(W~，1)单调递减，所以g(s)>g(1)=1,

所以C选项不正确；

csiYtCsinfji-A-B)sin3B

。中’△ABC为锐角三角形中‘£=诉

sinAsin2B

sin2BcosB+cos2BsinBsinBCZcos2-B—l)。「1

--------------;------------------=cosB+

sin2B2sinBcosB~COS2cosB'

设t=cosB,

j0<B法兀

因为△ABC为锐角三角形，所以｛0<4=2BV±，可得，<BV会

\0<C=TI-A-B<^

V2V3

所以cosBe（一，—）,

22

rry[2V3

即tE（—，—）,

22

iV2V3

令/⑺=2.%怎（y,丁，则函数，⑺单调递增，

f（-y）</（力</（/），而/号）=&一卡=¥，

即/卓）=遮—击=竽，

ZV5J

-…V22V3

所以/'（f）G（―1—^一），

cV22V3

所以一e（一，一），所以。正确.

a23

故选：ABD.

【点评】本题考查正弦定理的应用和三角函数的性质的应用，函数的性质的应用，属于

中档题.

（多选）11.（6分）（2024•湖南模拟）如图，点尸是棱长为2的正方体ABC。-AiBiCiDi

的表面上一个动点，尸是线段4功的中点，则（）

A.若点尸满足APLBiC,则动点尸的轨迹长度为4位

B.三棱锥A-PB\D\体积的最大值为日

C.当直线AP与A8所成的角为45°时，点P的轨迹长度为兀+4加

D.当P在底面4BCD上运动，且满足尸尸〃平面BiCDi时，线段PF长度最大值为2夜

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算；

棱柱的结构特征.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【答案】CD

【分析】作出图形，根据线面垂直的性质，分割补形法求体积，模型法，面面平行的性

质，即可分别求解.

【解答】解：对A选项，如图，

根据正方体的性质，易证平面48C1O1,

，当尸为矩形A8C1D1边上的点（不含4）时，

都满足APLB1C,

动点P的轨迹长度为矩形ABC1O1的周长，即为：4a+4,选项错误;

对B选项，如图，当尸与C重合时，三棱锥体积最大，

此时三棱锥A-PB1D1为正四面体CABiDi,

8

，三棱锥A-PB1D1体积的最大值为23—4X*X*X23-

3•••2选项错误;

当直线AP与AB所成的角为45°时,

点P的轨迹即为：Z\ABC以直角边4B为轴旋转所得圆锥与正方体表面的交线,

即点P的轨迹即为线段A81与线段AC和瓦t,（不含A点），

点尸的轨迹长度为4鱼+与*2=4/+兀，；.C选项正确；

对。选项，如图,

分别取A1D1,BBi,BC,CD,OD的中点E,G,H,I,J,

则根据面面平行的判定定理易得平面EFGHU〃平面BiCDi,

：.P为底面线段印上的点时，都满足尸尸〃平面BiCDi,

又易知六边形EFGH〃是边长为近的正六边形，如图，

当尸与/重合时，线段PF的长度最大，

又易知族=返，：.IF^V2T6=2V2,

即线段尸尸长度最大值为2vL.,•£(选项正确.

故选：CD.

【点评】本题考查正方体中动点轨迹问题，线面垂直的性质，分割补形法的应用，面面

平行的性质，化归转化思想，属难题.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

1x史P

',已知集合

1,XEP

A^[x\Q<x<l],[x\t<x<2t],若存在xeR,使得必(x)+fB(x)>0,则实数r的

取值范围为(0,1).

【考点】分段函数的应用.

【专题】转化思想；定义法；集合；数学运算.

【答案】(0,1).

【分析】由题意知，ACBW0,由此列不等式组求得实数f的取值范围.

t<l

【解答】解：由题意知，AC8=0,即

2t>0,

所以即实数f的取值范围是（0,1）.

故答案为：（0,1）.

【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了转化思想，是基础题.

x2y2x2y2

13.（5分）（2024•湖南模拟）已知椭圆=+77=l（a〉6〉0）与双曲线二—三=1,椭圆

a2bzazbz

的短轴长与长轴长之比大于士则双曲线离心率的取值范围为（―-V2）.

2-------2--------------

【考点】双曲线的性质；椭圆的性质.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】（―,V2）.

2

【分析】由已知可得色的取值范围，再由双曲线的离心率公式求解即可.

a

【解答】解：由题意可知，-<—=-<L

22aa

,”八一—cyJa2+b2IbZV5-

则双曲线禺心率一=-------=1+（-）2G（―,V2）.

CLCLCL2

故答案为：（"，V2）.

2

【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题.

14.（5分）（2024•湖南模拟）函数次光）=/峻-在（0,2互）范围内极值点的个数为2.

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理.

【答案】2.

【分析】求导分析单调性，极值点，即可得出答案.

【解答】解：f'（x）=esinxcosx+eC0SXsinx=esinx+cosx

当xG（0,J时，/（x）>0,

当％e［兀，竽］时,f（x）<0,

当xeg,71）时，〃=siiu和M=COSX均为单调减函数，

又丫=/在“6（-1,1）上是单调增函数，

根据复合函数单调性可知，9。）=喘+普为减函数，尸eSMx+cosx>0,

ee

又1G）>0,/（n）<0,

故函数，（无）在该区间上存在一个零点，该零点为函数/（x）的极值点，

当xe（手，2兀）时，"=sinx和〃=cosx均为单调增函数，又y=/在“6（-1,1）上

是单调增函数，

根据复合函数单调性可知，3（©=嚅+黯为增函数，y=esinr+cos”>0,

又广第vo,"（2n）>0,

故函数，（无）在该区间上存在一个零点，该零点为函数/（%）的极值点，

从而函数/（无）在（0,2TT）内一共有2个极值点.

故答案为：2.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）（2024•湖南模拟）如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCCLBI,BC是圆柱底面

的直径，。为底面圆心，A41为一条母线，E为CQ的中点，且4B=AC=44i=4.

（1）求证：OEJ_A8i；

（2）求平面A21E与平面810E夹角的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.

【专题】转化思想；向量法；空间角；数学运算.

V2

【答案】（1）证明过程请见解答；（2）—.

2

【分析】（1）先证O4_L平面8CC181,可得OA_LOE,再证△O88isz；\ECO,推出0E

±OB1,然后结合线面垂直的判断定理与性质定理，即可得证；

（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，即可得解.

【解答】(1)证明：因为AB=AC,点。是BC的中点，所以。1LBC,

由圆柱的性质知，平面BC021，底面ABC,

因为平面BCCiBiA底面ABC=BC,OAu平面ABC,

所以平面BCCvBi,

又OEu平面BCCiBi,所以OALOE,

在四边形BCCiBi中，881=4,OB=OC=2a,CE=2,

所以空1=生=班，

OBCE

所以△0881s△ECO,

所以/B1OB=/OEC,

因为/EOC+/OEC=90°,所以NBiOB+NEOC=90°,即NBiOE=90°,

所以0EL021,

XOAQOBi=O,OA,O8]U平面。ABi,

所以OE_L平面0421,

因为ABiu平面。481,所以OE_LA8i.

(2)解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),Bi(4,0,4),E(0,4,2),O(2,2,0),

所以欣=(4,0,4),AE=(0,4,2),

'->T

设平面A81E的法向量为蔡=(x,y,z),则丁"i=°,即修=，二:

m-XE=01y―

取y=l,则x=2,z=-2,所以m=（2,1,-2）,

由（1）知，OA_L平面5CC1B1,即。4_L平面BiOE

->

所以平面为。£的一个法向量为4。=（2,2,0）,

TT7r—

设平面ABLE与平面B1OE夹角为6,则cos6=|cos<m,^b>|=岁吧==乎，

\m\-\AO\3x2"乙

V2

故平面AB1E与平面B\OE夹角的余弦值为一.

2

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判断定理与性质定理，利

用向量法求平面与平面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

16.（15分）（2024•湖南模拟）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游

戏中有A,B,C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自

主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的

奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相

应的奖励基金如表：

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

（1）求甲按“A,B,C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

（2）甲决定按“A,B,C”或者“C,B,A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序

嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并

说明理由.

【考点】离散型随机变量的期望与方差.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】⑴0.4；

（2）期望都是2200,按照“A,B,C”的顺序猜歌名，理由见解析.

【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.

（2）先根据题意写出甲决定按“A,B,C”的顺序猜歌名获得奖金数X的所有可能取值，

根据独立重复试验的概率公式求得每一个X取值对应的概率，由数学期望的计算方法得

出E(X)；再同理得出甲决定按“C,B,A”顺序猜歌名的数学期望E(F)；最后可通

过计算、比较方差得出答案.

【解答】解：⑴由题意可知甲按“A,B,C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两

种情况：

猜对A,B；猜对A,B,C,这两种情况不会同时发生.

设“甲按'A,B,C的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E,

由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得：

P(£)=P(ABC+ABC)=0.8X0.5X(1-0.5)+0.8X0.5X0.5=0.4.

(2)甲决定按“A,B,C”顺序猜歌名，获得的奖金数记为X,

则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8X(1-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8X0.5X(1-0.5)=0.2,

P(X=6000)=0.8X0.5X0.5=0.2,

所以E(X)=0X0.2+1000X0.4+3000X0.2+6000X0.2=2200；

甲决定按“c,B,A”顺序猜歌名，获得的奖金数记为y,

则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000,

p(y=o)=0.5,

P(y=3000)=0.5X(1-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5X0.5X(1-0.8)=0.05,

P(y=6000)=0.5X0.5X0.8=0.2,

所以E(y)=0X0.5+3000X0.25+5000X0.05+6000X0.2=2200,

D(X)=(0-2200)2X0.2+(1000-2200)2X0.4+(3000-2200)2X0.2+(6000-2200)

2X0.2=4560000,

D(¥)=(0-2200)2X0.5+(3000-2200)2X0.25+(5000-2200)2X0.05+(6000-

2200)2X0.2=5860000,

由于E(X)=E(D,D(X)<D(y),所以应该按照“A,B,c”的顺序猜歌名.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，是中档题.

17.(15分)(2024•湖南模拟)已知函数/(%)—j^+aX'+bx+c(a,b,cCR),其图象的对

称中心为（1,-2）.

(1)求a-b-c的值；

(2)判断函数/(x)的零点个数.

【考点】利用导数研究函数的最值；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的

极值.

【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)-3；

(2)c>0时，函数有3个零点；

c=0时，函数有2个零点；

-3<c<0口寸，函数有1个零点.

【分析】(1)由己知可得y=/(x+l)+2为奇函数，然后结合奇函数的定义代入即可求

解；

(2)先对函数求导，结合导数与单调性关系对。的范围进行分类讨论，然后结合函数零

点存在定理即可求解.

【解答】解：(1)因为无)的图象的对称中心为(1,-2),

所以>=/(尤+1)+2为奇函数，图象关于原点对称，

所以/(-x+1)+2=-/(尤+1)-2,即/(尤+1)4/(-x+1)=-4,

所以(1+尤)(1+尤)“+b(1+x)+c+(1-x)^+a(1-x)~+b(1-x)+c--4,

整理得，(6+2。)x1+2a+2b+2c=-6,

所以6+2。=0,2a+2b+2c=-6,

解得a=-3,b+c=0,

所以a-6-c=-3；

(2)由(1)得，f(x)=x3-3X2-cx+c,f(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

当cW-3时，f(x)单调递增，/(I)=-/<0,/(c2)—c6-3c4-C3+C^9<?4-3c4-c3+c

=6c4-C3+C=4C4+C4-c3+c4+c>0,

此时，函数/(x)有且仅有一个零点；

当-3<c<0时，f(x)=3/-6尤-c=0有两个正根尤1<处XI+X2=2,XI无2=—1

又3xj—6xi-c=0,

故函数/(X)在(-8,XI)上单调递增，在(尤1,X2)上单调递减，在(X2,+°°)上

单调递增，

2

因为/(xi)=—3%1—(xi-1)(3xi2-6xi)=-2xi—3xi+3)<0,f(3)=

-2c>0,

故函数/(光)有且仅有一个零点；

当c=0时，f(x)=/-3/有两个零点；

当c>0时，f(x)=3/-6x-c=0有两个根xi〈0Vx2,XI+X2=2,X\X2—-1<0,

故函数/(X)在(-8,XI)上单调递增，在(XI,X2)上单调递减，在(X2,+8)上

单调递增，

所以/Gi)>f(0)=c>0,f(X2)</(1)=-2<0,

故/(x)有且仅有3个零点，

综上，c>0时，函数有3