2024-2025学年八年级数学上册：勾股定理 全章专项练习（培优练）

专题L12勾股定理（全章专项练习）（培优练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（23-24八年级下•安徽阜阳•期末）

1.下列各数属于勾股数的是（）

A.1.5、2、2.5B.6、8、10C.3、4、6D.5。、12。、13。

（23-24八年级下•河南周口•阶段练习）

2.如图，在O8C中，/8=10,BC=9,AC=5岳,则8c边上的高为（）

4、

C.10

（20-21八年级上•江苏扬州•期末）

3.如图，在aABC中，AB=6,AC=9,AD1BC于D,M为AD上任一点，则MC2—MB?

等于（）

（17—18八年级下•内蒙古•阶段练习）

4.如图，以RtAlBC为直径分别向外作半圆，若S/=10,Sj=8,则$2=（）

c.V2D.y/6

（23-24八年级下•广东深圳•期中）

5.如图，把一张长方形纸片N5CD按所示方法进行两次折叠，得到.若3c=1,则E尸

试卷第1页，共8页

的长度为（）

A.V2-1B.C.V2D.2

2

（11-12八年级下•河南周口•期中）

6.在直线/上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是&、S?、S3、则S/+S2+S3+S4的值为（）

（23-24八年级下•安徽蚌埠•期中）

7.如图是一块长，宽，高分别是12,4,3的长方体木块，一只蚂蚁从点A出发，沿长方

体的表面爬到点B吃食物，那么它需要爬行到达点8的最短路线长为（）

A.5B.V193C.15D.7265

（23-24八年级下•北京西城•期中）

8.如图，在离水面点/高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子6c的

长为17m,此人以lm/s的速度收绳，7s后船移动到点。的位置，则船向岸边移动了（）

（假设绳子是直的）.

C.7米D.6米

试卷第2页，共8页

（23—24八年级下•河南商丘•阶段练习）

9.如图，在RtZX/BC中，//C8=90。，AB=6,分别以NC,3C为直角边作等腰直角三

角形/CD和等腰直角三角形BCE.若“CD的面积为d，ABCE的面积为S，则百+5的

A.18B.12C.36D.62

（23-24八年级上•广东深圳•期末）

10.如图，分别以。8C的三边N8,BC,4C为边向外侧作正方形/FG8,正方形

BHLG,正方形NCDE,连接£尸，GH,DL,再过A作/K_L8C于K,延长K4交E尸于

点M.①S正方必尸GB+S正方畛3=S正方形BHLG;②EN=叱；③2AM=BC；④当4B=3，BC=5，

/A4C=9O°时，S阴影部分=20.其中正确的结论共有（）个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24八年级下•四川德阳•期末）

11.若直角三角形的两条边长为。，b,且满足“2-60+9+仅-4）2=0,则该直角三角形

的斜边长为.

（2024・四川成都•模拟预测）

12.一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，左为其面

积和周长的比值.当上=2时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为；当0〈后41

试卷第3页，共8页

时，若存在“完美勾股三角形"，贝蛛=.

（23-24八年级下•广东广州•期中）

13.在2x2的方格中，小正方形的边长是1,点/、B、C都在格点上，则3C边上的高

为.

（23-24八年级下•四川德阳•阶段练习）

14.如图在中，D、E分别是2C、/C的中点，ZACB=90°,BE=4,AD=1,

则AB的长为.

（22-23九年级上•四川成都•期中）

15.定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形"，若“8C既是直

角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为。、b、c,且/C=90。，则£=.

（23-24八年级下•安徽合肥•期末）

16.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆

方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）,

如果大正方形的面积是14,小正方形的面积是2,直角三角形的较短直角边为a,较长直角

边为6,那么（。+»2的值为.

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（23-24八年级下•河南商丘•期中）

17.如图，某港口尸位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出

发，“远航”号以每小时24nmile的速度沿北偏东35。方向航行，“海天”号以每小时lOnmile的

速度沿北偏西55。方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于。，R处,贝U此时“远

航，，号与“海天，号的距离RQ为nmile.

18.如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm,底面周长为12cm,在容

器内壁离容器底部7cm的/处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1

cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是—cm.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（20—21八年级下•福建南平•阶段练习）

19.在中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将A&JE沿直线DE折叠，使8落在4C

的三等分点）处，求CE的长.

试卷第5页，共8页

（23-24八年级下•河南驻马店•阶段练习）

20.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图，。/表

示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到03位置，此时过点8

作8。，。/于点。，当小球摆到OC位置时，。与OC恰好垂直（图中的48,0,C在同一

平面上），过点C作CE_LO/于点£,测得O5=17cm,BD-8cm.求。E的长.

（23—24八年级下•北京・期末）

21.在RtZi/8C中，CA=CB,NC=90。，点。在直线C4上（点。与点4点C不重

合），连接8。，过点D作的垂线交直线N8于点E,过点/作的垂线交直线DE

于点F.

⑴如图1,当点。在线段C/上时，

①求证：ZABD=ZAFD；

②用等式表示线段N8,AD,/尸之间的数量关系并证明.

（2）如图2,当点。在射线/C上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段AD,AF

之间的数量关系.

试卷第6页，共8页

(23-24七年级下•江苏扬州•阶段练习)

22.在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的

式子表示.

(1)用不同的方法计算图1的面积得到等式：_：

(2)图2是由两个边长分别为°、6、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼

成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：_(结

果为最简)；

(3)根据上面两个结论，解决下面问题：

0

①在直角。BC中，ZC=90°,三边长分别为a、b、c,已知仍=弓，c=4,求6的

值.

②如图3,四边形N8CD中，对角线/C,8。互相垂直，垂足为O,AC=BD=2,在直角

/OC中，OB=x,OC=y,若小。。的周长为2,则△/OD的面积=_.

(23-24八年级下•河北沧州•阶段练习)

23.如图，有两个长度相同的滑梯(即8C=£F),左边滑梯的高/C与右边滑梯水平方向

的长度。尸相等.

(1)求证：AABC经ADEF；

(2)若两个滑梯的长度BC=EP=10m,右边滑梯E尸的高度。£=8m,由于EF太陡，在保

持EF的长度不变的情况下，现在将点£向下移动，点尸随之向右移动.若点E向下移动的

距离为1m,求滑梯E尸底端尸向右移动的距离；

(3)在(2)的移动过程中，直接写出应)即面积的最大值为_n?.

试卷第7页，共8页

（23—24八年级下•河南新乡•期中）

24.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由

四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法,

1

一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即5仍x4+（6-a）?,

10

从而得到等式，2=5。”4+伍-a）2,化简使得结论出+k=02.这里用两种求法来表示同一

个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”.

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若螫，其中有著名的数学家，也有业余

数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的RtZUBC和RtADE/

如图2放置，其三边长分别为a,b,c,NB4C=NDE4=90°,显然

（1）请用a,b,c分别表示出四边形4aDC,梯形NEOGAEAD的面积，再探究这三个图

形面积之间的关系，证明勾股定理：/+/=c2（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等

于对角线乘积的一半）；

【方法迁移】

（2）如图3,在“3C中，工。是3c边上的高，48=4,AC=5,BC=6,求的值.

卜,/鼠A

Iyi匕/^u~b\/P*

n

/)

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】首先勾股数是正数，其次三个数满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，由

此判断即可.

本题考查的是勾股数.熟练掌握勾股数的定义是解题的关键.

【详解】解：A.因为不是整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意.

B.6、8、10都是整数，且6+8?=102,因此6、8、10是勾股数，故本选项符合题意.

C.3、4、6都是整数，但32+42#6?,因此3、4、6不是勾股数，故本选项不符合题意.

D.因为5a、12a、13。不一定是整数，所以不一定是勾股数，故本选项不符合题意.

故选：B.

2.A

【分析】本题考查了勾股定理，过点4作的延长线于点。，设=BD=y,

在RM/DC中，在RtZUBD中，利用勾股定理求出x的值即可.

【详解】解：如图，过点/作40,C2的延长线于点。，

设/。=x,BD=y,

在RtAZOC中，

AC2=x2+（9+y）2,BPX2+/+18J/=244,

在RtAABD中，

AB2=x2+y2,BP100=x2+y2,

解得：x=6,y=8,

AD—6,

故选：A.

3.D

【分析】在RtAABD及RtAADC中可分别表示出BD2^,CD2,在RtABDM及RtACDM中

分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2,然后作差即可得出结果.

【详解】解：在RtAABD和RtAADC中，

BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

答案第1页，共18页

在RtABDM和RtACDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

•••MC2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)

=AC2-AB2

=45.

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真

观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟

练掌握.

4.A

【分析】根据勾股定理，得：4¥+屈2=心再根据圆面积公式，可以证明：邑+邑=邑.即

5,2=10-8=2.

222

【详解】■.-AB+BC=AC,Sx=--7t[—Y=；

。1(AS]2TT-AB1

c1(BC丫^--BC2

S2+S3=".AB'+"-BC2=^tAB2+BC2\-AC?=s

888''8

故S?=S/-5*3=10-8=2.

故选4

【点睛】注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：邑+邑=邑，即直角三角形中，以直角边为

直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积.

5.A

【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关

键.

根据折叠的性质，得出4D=4W=OE=1,进而得出。M=血，由第二次折叠，得出

DN=1,进而得出£。=收一1,最后利用线段的关系，即可得出结果.

【详解】解：第一次折叠，如图②，

答案第2页，共18页

•・•BC=l,

*'•AD=AM=DE=1,

•・•//=90。，

DM=垃，

由折叠的性质，NADM=NEDM=45°,

EM=1,

第二次折叠，如图③，CN=BC=1,NDNC=90。,

DN=1,

•••CD=41,

•••EC=6-1，

ADCN=45°,

■■EF=y/2-l.

故选：A.

6.C

【详解】•••Si左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义

可知

•*«Si+S2=l

.-.S2+S3=2

•••83+84=3

S1+82+83+84=4

故选c

7.B

【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可,

然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的

侧面展开分类讨论是解题的关键.

【详解】解：①如图，展开图，

答案第3页，共18页

124

AB={(12+4)2+32=；

②如图，展开图，

③如图，展开图,

综上可知：

・•・爬行到达点B的最短路线长为V193,

故选：B.

8.A

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关

键.

先在Rt△28C中运用勾股定理求得/8=15m,再运用勾股定理求得4。=6m,最后根据线

段的和差求得即可解答.

【详解】解:在RtZ\/8C中，NCAB=90°,SC=17m,AC=Sm,

•••AB=dBC?-AC。=V172-82=15m，

,・,此人以lm/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，

.-.C£>=17-lx7=10m,

答案第4页，共18页

AD=ylCD2-AC2=V100-64=6m，

AB-AD=15-6^9m,即船向岸边移动了9m.

故选A.

9.A

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形

的面积公式得出=邑=再根据勾股定理即可求

2222

解.

【详解】解：•••△NCD与ABCE都是等腰直角三角形，

.•.由题意知，5.=-AD-AC=-AC2,S,=-BEBC=-BC2,

2222

...E+S2=^AC2+^BC2=1（^C2+5C2）,

在RtZ\/8C中，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=62=36,

.•・4+y的结果为18,

故选：A.

10.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，根

据正方形面积公式可得只有满足/笈+时，S正方形.G8+S正方形NCDE=S正方形8HLG，而

不能得到/R4C=90°,则不能得到AB2+AC2=BC2,即不能得到

S正方形.RGB+S正方形/SE=S正方形，据此可判断①；如图所示,过点/作歹。，于0’过

点E作£尸_1_41/交4"延长线于0,证明尸。之ziA4K（AAS）,得到4K=/0,

BK=AQ,同理可得/K=PE,CK—AP,则=进而证明△PME之△QV/F（AAS）,

得到月PM=QM,即可判断②；由8C=5K+CK,得到

BC=AQ+AP=AQ+AQ+QM+PM=2（AQ+QM）=2AM,即可判断③；由

△AFQ之LBAK,得到//加=S^ABK,同理可得S^APE=S^ACK,S^QFM=S^PME,贝ij

S"EF=S_BC，同理可得SAHBG=SALCB=2/BC，则S阴影=，利用勾股定理求出

AC=4,进而求出“BC的面积即可判断④.

答案第5页，共18页

【详解】解：1S正方形WGB=S正方形43=4S正方形BHLG=BC?,

22

・•・只有满足4炉+AC=BC时，S正方形AFGB+S正方形ZCQE=S正方形BHLG，

又・••并不能得到/及1。=90。，

J.不能得到AB2+AC2=BC2，即不能得到S正方形+S正方形.COE=S正方形BHLG，故①错误;

如图所示，过点尸作/。，/M于。，过点£作£尸，，〃交⑷/延长线于。，

・・.ZP=ZFQP=ZFQA=ZAKB=ZAKC=ZBAF=ZCAE=90°,

.-.ZQAF+ZQFA=90°=ZQAF+ZKAB,

:・/QFA=/KAB,

又•・•AF=BA,

・•・"FQ%BAK(AAS),

AK=AQ,BK=AQ,

同理可得/K=PE,CK=AP,

：.QF=PE,

又•:/PME=/QMF,

・・.△PMEmqMFd,

：.FM=EM,PM=QM,故②正确；

,:BC=BK+CK,

：,BC=AQ+AP=AQ+AQ+QM+PM=2(AQ+QM)=2AM,故③正确；

•・•△AFQ会4BAK,

S/XAFQ=S^ABK，

同理可得S4APE=SAACK，S工QFM~S&PME,

^/\AEF=+S丛QFM+S/^AEM=S^AQF+^AAPE=^/\ABC，

问理可得SAHBG=SALCD=S“BC'

•••S阴影=3s△/a。，

VAB=3,BC=5,ABAC=90°,

•••AC=飞BC?-AC?=4，

答案第6页，共18页

■■■S阴影=3s=3x；/c/8=18,故④错误;

故选B.

11.4或5

【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理,根据非负数的性质可得a-3=0,6-4=0,

据此求出“=3,6=4,再分当边长为6的边为直角边时，当边长为6的边为斜边时，两种

情况讨论求解即可.

【详解】解：Va2-6o+9+(/?-4)2=0,

•••’(叱3)2+仅-4)2=0,

.••。—3=0,6—4=0,

••・。=3,6=4,

当边长为b的边为直角边时，则斜边长为的2+9=j3?+42=5,

当边长为b的边为斜边时，则斜边长即为4,；

综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5,

故答案为：4或5.

12.483或1

【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用。=3,b=4,c=5的直角三角形

来研究，对三边同时扩大1,2,3,…倍数来计算，看是否满足题意即可求解.

【详解】解：设直角三角形的边长分别为a1,c,其中6为直角边，且。＜6,

1,

一cib1

由题意知：2_处_2,

a+b+c2(“+6+c)

利用特殊的勾三股四直角三角形来研究，

当a=3,b=4,c=5,上式不成立，

依次将a=3,6=4,c=5扩大相同的倍数，

答案第7页，共18页

当都扩大4倍时：0=12,6=16^=20,等式成立，

故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：48；

当0〈女W1时，当。=3,6=4,。=5时，

q+b+c2(Q+6+C)2X(3+4+5)2

当a=6,6=8,c=10时，

\abab48

k=-------------------------------=］，

Q+b+c2(a+b+c)2X(6+8+10)

故答案为：48,1■或1.

13.-V2

2

【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出的面积，再根据勾股定

理可求出3c的长，进而根据面积公式即可求得3C边上的高的长.

【详解】解：由题意可得S./Bc=2x2-gx2xlx2-gxlxl=1.5,

BC=Vl2+12=41，

^ABC中3c边上的高长=后=［也-

故答案为：1V2.

14.2713

【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据RtABCE和RtA/OC求出

EC、DC的长度是解题的关键.

^EC=x,DC=y,根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出x2+4y2=16,

4X2+J?=49,解方程组可求得x、了，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平

方即可求解.

【详解】解：设£C=x,DC=y,ZACB=90。,

在RLBCE中，CE~+BC1=x2+4y2=8炉=16,

在RM/QC中，AC"+CD2=4x2+y2=AD2=49,

答案第8页，共18页

x2+4/=16

即

4x2+y2=49

x=2^/3

解得：g

在中，AB=,x2+4y2=卮=25,

故答案为：2岳.

15.叵或叵

2

【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可.

【详解】解：在Rt“8C中，ZC=90°,

・〃

••2+,2=c2,

当C>6〉Q时，

•••2c2>b2+a2,2a2<b2-be2,

・・・Rt是“和美三角形”，

2b2=a2+c2,

2b2=a2+a2+b2,

<'•b2=2a1，

—（负值已舍去），

b2

当c>a>b,

2222

•，•2c2>b+a,2b2<a+c,

・・・RtOBC是“和美三角形”，

2a2=b2+c2,

•••2a2=/+/+/,

2

<4'a=2b2，

•-4=72（负值舍去），

故q=正或血，

b2

故答案为：叵或也.

2

【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

答案第9页，共18页

16.26

【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得02,利用

勾股定理可以得到/+/=’2,然后求得直角三角形的面积即可求得成的值，根据

(a+b)2=a2+b2+2ab即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.

【详解】解：•••大正方形的面积是14,

c2=149

a2+b1=c2=14,

•・,小正方形的面积是2,

14-2

・・・直角三角形的面积为一^二3,

4

又・•・直角三角形的面积为:仍=3,

ab=6,

(a+-a2+b2+2ab=14+2x6=26,

故答案为：26.

17.26

【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得/尺尸。=55。+35。=90。，利

用路程=速度x时间，分别算出尸。，网的长度，在直角△尸及。中，利用勾股定理计算出

RQ.

【详解】解：由题意可得，/及尸。=55。+35。=90。，

PQ=24x1=24nmile,PR=10x1=lOnmile,

RQ=^PQ2+PR2=V242+102=26nmile

故答案为：26.

18.675

【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理

进行计算是解题的关键.

本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，

作出3关于E尸的对称点夕，根据两点之间线段最短可知/夕的长度即为所求，在

孔△/"。中，根据勾股定理即可求出/夕的长度.

【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出B关于E尸的对称点夕，过B，作BDLBB'交4E

答案第10页，共18页

的延长线于n

根据题意可得：四边形9CEQ是矩形，

ED=B'C=BC=\,CE=B'D,

连接则/"即为最短距离，

•.•高为18cm,底面周长为12cm,

,.,^£•=18-7=11,BC=l,EC=6,AD^AE+DE=12,

在。中，AB'=NAD?+B'D?="2?+6?=6#(cm),

故答案为：6^/5.

19.CE的长度为:或3

4

【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出AB'CE的三边

的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设CE=x,则

BE=BC-CE=8-x,再根据翻折的性质可得"E=BE,然后分两种情况求出8'C,再利

用勾股定理列出方程求解即可.

【详解】解：设CE=x,则8E=8C-CE=8-x,

ABDC沿直线DE折叠B落在夕处，

B'E=BE=8—x,

••・点8,为/C的三等分点，AC=6,

.,.8'C=2或5'C=4,

当3'C=2时，在RMBCE中，

B'C2+CE2=B'E2,BP22+x2=（8-x）2,

解得：x=丁；

4

当5'C=4时，在RtABCE中，

B'C2+CE2=B'E2,BP42+X2=（8-X）2,

答案第11页，共18页

解得：x=3,

综上所述，CE的长度为1或3.

4

20.DE-7cm

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形对

应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方.

先证明△50。三△OCE(AAS),得出OE=3。=8cm,再根据勾股定理得出

OD=y]OB2-BD2=15cm，最后根据。£=。。一,即可解答.

【详解】解：vBD1OA,CE1OA.OB±OC,

/.ZODB=ZOEC=ZBOC=90°,

ZB+ZBOD=ZBOD+ZCOE=90°,

/./B=ZCOE,

在△50。与△OCE中，

'/B=/COE

<ZODB=/CEO,

OB=OC

,△500之△OCE(AAS),

OE=BD=8cm,

在RtABDO中，OD=4OB1-BD1=A/172-82=15cm，

又，:OE=BD=8cm,

DE=OD-OE=15-8=7cm.

21.⑴①见解析；②AB=jD-AF;

Q)ABMAD-AF;

【分析】(1)本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定

理，等腰三角形的性质，①先根据CN=C8,/C=90。得到

180。-90。

乙4BC=ABAC=--——=45°,根据BDVDF,AB1AF得到ZADF+ZBDC=90°,

ZCBD+NBDC=90°ZAFD=180°-90°-45°=45°,即可得到证明；②在CB上截取

CG=CD,证明A8DG0AZ)E4,结合勾股定理即可得到答案；

答案第12页，共18页

(2)本题考查三角形全等的判定与性质，过。作。//〃8C,先证明△4。尸名△印加，得到

AF=DH,即可得到答案；

【详解】(1)①证明：・・・。=。5,ZC=90°,

・•・/ABC=ABAC=1800-90。=4§o,

2

•:BD工CF,ABLAF,

・・"ADF+/BDC=90。,ZCBD+ZBDC=90°,

・•・4CBD=/ADF,

/AFD+NADF=180°-90°-45°=45°,

•・・/CBD+乙4BD=45。,

・•・/ABD=ZAFD；

②解：在CB上截取CG=CZ),

图1

:・GB=DA,/CGD=NCDG=45。,

vZC=90°,NBAF=90。,

:"BGD=ZDAF=90°+45°=135°,

在小BDG与八DFA中，

ZGBD=ZADF

ABGD=ZDAF,

GB=DA

・・・"DG咨ADFA(ASA),

・・.BG=AF,

在RtACZ)G与RtA^C中，

AB?=2AC?,AF2=DG2=2CD2,

•：AD=AC—CD,

答案第13页，共18页

••AB=42AD-AF;

(2)解：图形如图所示，AB=41AD-AF,理由如下,

过。作/〃

,:CA=CB,CG=CD,

.••GB=DA,ZCGD=ZCDG=45°,

H

-DH//BC,

：,/DHB=/ABC=45。,ZADH=ZACB=90°,

・•.ADAH=ZAHD=45°,

・•.AD=DH,

••AH=41AD，

/FDB=/ADB=90。,

・•・ZADF=/BDH,

在AADF与AHDB中,

ZFAD=ZDHB=45°

v<AD=DH

ZADF=ZBDH

.・.AADF^HDB(ASA),

・•・AF=BH,

•••AH=y/2AD=AB+BH=AB=AF,

••AB=41AD-AF.

22.(1)(tz+Z>)2=tz2+lab+b1

⑵a2+b2=c2

答案第14页，共18页

(3)①a+6=5；②1

【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积

公式以及整式的运算法则是解题的关键.

(1)根据图形列出代数式即可；

(2)图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即

可得到答案；

(3)①利用(2)的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可.

【详解】(1)解：图1的面积为大正方形的面积，即(4+6)2,

图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即/+2必+/,

故可得等式(。+6)2=/+2ab+b2-

(2)解：图2的面积为直角梯形的面积，即;(a+6)(a+6)=；(a+6)2

图2的面积也可以看作3个直角三角形的面积和，即+=+

故可得到等式g(a+6)2=,

故/+〃=。2；

911

2

(3)解：(T)ab=—,c=4f5(Q+b)2=ab+—c

/.(a+b)2=lab+c2