2019-2020学年新教材高中数学章末综合检测三函数的概念与性质新人教A版必修第一册

PAGE1-章末综合检测（三）函数的概念与性质A卷——学业水平考试达标练(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝eq\f(1,x－1)＋eq\r(x)的定义域为()A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)解析：选C要使函数有意义，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x－1≠0，))得x≥0且x≠1.所以所求函数的定义域是[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函数是偶函数的为()A．f(x)＝|x－3| B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝x2－x D．f(x)＝eq\f(x3,x)解析：选DA、B、C选项中的定义域均为R，但f(－x)≠f(x)，所以都不是偶函数，只有选项D中f(－x)＝f(x)且定义域{x|x≠0}关于原点对称．3．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是()解析：选DA和B中y的取值范围不是[1,2]，不合题意，故A和B都不成立；C中x的取值范围不是[0,2]，y的取值范围不是[1,2]，不合题意，故C不成立；D中，0≤x≤2,1≤y≤2，且对于定义域中的每一个x值，都有唯一的y值与之对应，符合题意．4．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))的值为()A．－1 B．eq\f(3,4)C．eq\f(15,16) D．4解析：选C因为f(2)＝22＋2－2＝4，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(15,16).5．若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，则m与n的关系为()A．m>n B．m<nC．m≥n D．m≤n解析：选B因为f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，所以m<n.6．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值 B．有最小值C．是增函数 D．是减函数解析：选C画出函数f(x)＝2x－1(x<0)的图象，如图中实线部分所示．由图象可知，函数f(x)＝2x－1(x<0)是增函数，无最大值及最小值．7．已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋3，则f(3)＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋1，∴f(x)＝x2＋1(x≤－2或x≥2)，∴f(3)＝32＋1＝10.故选C.8．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，则函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有()A．1个 B．2个C．无数个 D．至多一个解析：选D当a∈[－2,3]时，由函数定义知，y＝f(x)的图象与直线x＝a只有一个交点；当a∉[－2,3]时，y＝f(x)的图象与直线x＝a没有交点．所以直线x＝a与函数y＝f(x)的图象最多只有一个交点．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)9．若函数y＝eq\f(k,x)(k>0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为__________．解析：因为k>0，所以函数y＝eq\f(k,x)在[2,4]上是减函数．所以当x＝4时，ymin＝eq\f(k,4).由题意知eq\f(k,4)＝5，解得k＝20.答案：2010．函数y＝(m－1)x为幂函数，则该函数为______．(填序号)①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．解析：由y＝(m－1)x为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案：②11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．解析：当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，所以x0<－2；当x0>0时，由eq\r(x0)>1，得x0>1.所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)12．已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，则m的值为________．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝3，所以(－2)2－2m＝3，解得m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(8分)求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<x<1，,x，1≤x≤2))的最值．解：函数f(x)的图象如图，由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．14．(10分)判断函数f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．解：设∀x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵xeq\o\al(2,1)－1<0，xeq\o\al(2,2)－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，∴eq\f(x1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是减函数；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．15．(10分)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.设x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.于是有f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．16．(12分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的值域．解：(1)函数的定义域为(0,12)，当0<x≤4时，f(x)＝eq\f(1,2)×4×x＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝eq\f(1,2)×4×4＝8；当8<x<12时，f(x)＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x.所以函数解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,24－2x，x∈8，12.))(2)作出函数图象如图所示．从图象可以看出f(x)的值域为(0,8]．B卷——高考应试能力标准练(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝eq\f(2x,x2＋2)，则f(1)的值为()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)解析：选C由f(x)＝eq\f(2x,x2＋2)，得f(1)＝eq\f(2×1,12＋2)＝eq\f(2,3).2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋7，x∈[－1，1，,2x＋6，x∈[1，2]，))则f(x)的最大、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对解析：选A当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10解析：选Af(x－1)＝x2＋4x－5⇒f(x)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x.4．已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是()A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)解析：选B由幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝eq\f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故选B.5．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2,5)))＝()A．1 B．3C．eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)解析：选B因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2,5)))＝f(1)＝3.6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,x2－2x，x≥0，))若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是()A．[－1,1] B．[－2,0]C．[0,2] D．[－2,2]解析：选D依题意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－a2＋2－a＋a2－2a≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－a2－2－a＋a2＋2a≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,202－2×0≤0，))解得－2≤a≤2.7．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上，F(x)有()A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－4解析：选D∵f(x)和g(x)都是奇函数，∴f(x)＋g(x)也是奇函数．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.8．已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集是()A．(－2，－1)∪(1,2)B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)解析：选D当x>0时，f(x)<0由图象关于原点对称，∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x<0时，f(x)>0，∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴选D.9．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)解析：选A设g(x)＝f(x)－3，则g(x)为奇函数，且在R上单调递减，又f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，即g(a)>g(2－a)，∴a<2－a，∴a<1.10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的大致图象为()解析：选A由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f(x)＝eq\f(1,2)·x·eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),12)ax，故在[0，a]上的图象为线段，故排除B；当a<x≤eq\f(3,2)a时，f(x)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－x))·eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－x))，故在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(3,2)a))上的图象为线段，故排除C、D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.答案：1212．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝eq\f(a,x)都单调递减，则a的取值范围是________．解析：由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<0，,a>0，))所以0<a<1.答案：(0,1)13．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,2]，则函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为________．解析：因为函数f(x)的定义域为[－2,2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x＋1≤2，,－2≤x－1≤2，))解得－1≤x≤1，函数y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[－1,1]．答案：[－1,1]14．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.解析：f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a答案：－16三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)记函数f(x)＝eq\r(3－x)＋eq\r(x－1)的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，求：(1)M，N；(2)M∩N，M∪N.解：(1)因为函数f(x)＝eq\r(3－x)＋eq\r(x－1)的定义域为集合M，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))故1≤x≤3，集合M＝[1,3]．因为函数g(x)＝x2－2x＋3值域为集合N，则g(x)＝x2－2x＋3≥2，集合N＝[2，＋∞)，所以M＝[1,3]，N＝[2，＋∞)．(2)M∩N＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]，M∪N＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．16．(10分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b.求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．证明：设a<x1<x2<b.∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)<g(x2)，且a<g(x1)<g(x2)<b.又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))<f(g(x2))．∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．17．(10分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足如下函数：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))其中x是仪器的产量．(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－200000≤x≤400，,－100x＋60000x>400.))(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，即当x＝300时，