高中立体几何知识点

第48页共48页1.空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积(1)棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和(2)圆柱的表面积(3)圆锥的表面积(4).圆台的表面积(5)球的表面S=(6).扇形的面积公式S==（二）空间几何体的体积(1).柱体的体积V=(2).锥体的体积V=(3)台体的体积(4)..球体的体积V=2.直线与平面平行的判定;简记为：线线平行，则线面平行。性质：平面与平面平行的判定;简记为：线面平行，则面面平行。性质：5.直线与平面垂直的判定，简记为：线线垂直，则线面垂直。(3)补充性质：;(4)直线与平面所成的角的范围为：6.平面与平面垂直的判定(1)二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β,平面之间二面角范围是(2)两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：，简记为：线面垂直，则面面垂直。4、线面角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了。7.直线与平面、平面与平面垂直的性质(1)定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示：补充性质：，，，(2)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号表示：，即面面垂直，则线面垂直。练习：1．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为(B)A．8eq\r(2)πB．8πC．4eq\r(2)πD．4π2.在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A、若l∥α，m⊥l，则m⊥αB、若l⊥m，m⊥n，则m∥nC、若a⊥α，a⊥b，则b∥αD、若l⊥α，l∥a，则a⊥α3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成的角为（）B、C、D、4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.5.正△ABC中，AD⊥BC,沿AD折成二面角B-AD-C后，，这时二面角B-AD-C的大小为（）A.B.C.D.6.正三角形ABC的边长为，PA⊥平面ABC,且PA=4，则点P到BC的距离为；7.将圆心角为eq\f(2π,3)，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于_________．8.如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点,直线DE与平面ABCD所成角的余弦值．9．如图，四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：（Ⅰ）∥平面；（Ⅱ）平面平面.

10.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小。7方法一：

(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点

在中，EO是中位线，。

而平面EDB且平面EDB，

所以，平面EDB。

(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

①同样由底面ABCD，得

底面ABCD是正方形，有平面PDC

而平面PDC，②………………6分

由①和②推得平面PBC而平面PBC，

又且，所以平面EFD

(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角

由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则

在中，

在中，

所以，二面角的大小为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得

底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且

。这表明。

而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(II)证明：依题意得。又故

由已知，且所以平面EFD。

(III)解：设点F的坐标为则

从而所以

由条件知，即

解得。

点F的坐标为且

即，故是二面角的平面角。

且

13．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH为四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．解：(1)因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3)，等腰梯形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).14．已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AA1＝2，AB＝BC＝1，E，F分别为A1D，CD中点．(1)求证：EF∥平面A1ACC1；(2)求证：CD⊥平面A1ACC1，并求四棱锥D—A1ACC1的体积．[证明](1)连A1C，∵E、F分别为A1D，CD中点，∴EF∥A1C，又∵A1C平面A1ACC1，EF⃘平面A1ACC1∴EF∥平面A1ACC1(2)四边形ABCD为直角梯形且AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝1，∴AC＝CD＝eq\r(2)，∴AD2＝AC2＋CD2，∴CD⊥AC，又∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥AA1，AA1平面A1ACC1.AC平面A1ACC1，∴CD⊥平面A1ACC1∴CD为四棱锥D—A1ACC1的高，∴V＝eq\f(1,3)SA1ACC1·CD＝eq\f(1,3)·eq\r(2)·2·eq\r(2)＝eq\f(4,3).【5年真题】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（=2\*ROMANII）求证AM⊥平面BDF；（=3\*ROMANIII）求二面角A—DF—B的大小；05（18）如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；（=2\*ROMANII）求直线OD与平面PBC所成角的大小．09样卷(19)如图，在矩形中，，为的中点。将沿折起，使平面平面，得到几何体。（Ⅰ）求证：平面；（=2\*ROMANII）求与平面所成角的正切值。已知线段矩形所在平面，分别是的中点。（Ⅰ）求证：平面；（=2\*ROMANII）当时，求证：平面。已知四棱锥是边长为2的正三角形，点在平面上的射影是的中点，。（Ⅰ）求证：；（=2\*ROMANII）求与平面所成角的正切值。如图，在四棱锥中，底面，，，，