七年级数学上册-8.2解二元一次方程组 解析版

.2解二元一次方程组【考点梳理】考点一：代入消元法考点二：加减消元法考点三：二元一次方程组的特别的解法考点四：二元一次方程组的综合考点一、二元一次方程组的解法——消元（整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。考点二、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。题型一：代入消元法1．（23-24七年级下·河北邢台）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组，把①代入②得，，整理后即可得答案．熟练掌握代入法是解题的关键．【详解】把①代入②得，，整理得，，故选：B．2．（2024七年级下·全国·专题练习）利用带入消元法解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题关键，（1）利用代入消元法即可解方程求解；（2）利用代入消元法即可解方程求解即可．【详解】（1）解：，把②代入①得，解得，把代入②得，所以方程组的解为；（2）解：，由①得，把③带入②中得解得，把代入③得，解得，所以方程组的解为．3．（23-24七年级下·山东济宁·期中）解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并灵活运用是解答的关键．（1）先整理原方程组，再利用代入消元法解方程组即可；（2）先整理方程组，再利用代入消元法解方程组即可．【详解】（1）解：原方程组化为，将①代入②中，得，则，将代入①中，得，∴原方程组的解为；（2）解：原方程可为，将①代入②中，得，则，将代入①中，得，∴原方程组的解为．题型二：加减消元法4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）用加减法解方程组下列解法正确的是（

）A．，消去x． B．，消去yC．，消去x． D．，消去y【答案】D【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据等式的可加性直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，消去x，故A选项不符合题意，，消去y，故B选项不符合题意，，消去x，故C选项不符合题意，，消去y，故D选项符合题意，故选：D．5．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）解方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．（1）用加减消元法求解即可；（2）用加减消元法求解即可．【详解】（1），，得，∴，把代入①得，，∴，∴；（2），，得，∴，把代入①得，，∴，∴．6．（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键．（1）运用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：①②得，，把的值代入②得，，∴原方程组的解为；（2）解：得，，解得，，把的值代入①得，，∴原方程组的解为．题型三：二元一次方程组的特别的解法7．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于，的方程组的解是．则关于，的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查解二元一次方程组，利用换元法，得到的解为，进一步求解即可．【详解】解：可化为：，∵关于，的方程组的解是，∴的解为：；解得：．故选D．8．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案．【详解】解：对于方程组，可设，，可得，结合题意可知，解得．故选：C．9．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据加减法，可得的解，再根据解方程，可得答案，解决本题的关键是先求的解，再求的值．【详解】解：∵方程组的解是，∴方程组的解是，解得，故选：C．题型四：二元一次方程组的综合10．（23-24七年级下·甘肃天水）阅读探索（1）知识积累解方程组解：设，，原方程组可变为，解方程组，得即所以有此种解方程组的方法叫换元法．（2）拓展提高运用上述方法解方程组：【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则原方程组可变为，解方程组得到，据此求解即可．【详解】解：设，则原方程组可变为，解得，∴，∴．11．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组后，聪明的小燕在解方程组时，采用了一种“平均值换元法”，解法如下：由①可设，，即，，代入②，得，解得．所以，．所以原方程组的解为．请你模仿小燕的“平均值换元法”解方程组：．【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组及解一元一次方程，结合已知条件设得，是解题的关键．由题意设，，然后利用含的代数式分别表示出，，再将其代入第二个方程中求得的值，最后将其代入表示，的含的代数式中即可求得答案．【详解】解：，由①可设，，则，，将其代入②得：，解得：，则，，故原方程组的解为．12．（2024七年级下·全国·专题练习）用换元法解二元一次方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，观察方程组，（1）中都含有，，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键；（2）中都含，，考虑运用换元法解原方程组，理解换元的意义是正确解答的关键．【详解】（1）解：，设，，则，解这个方程组得，则，解这个方程组得，原方程组的解为．（2）解：，设，，则，解这个方程组得，则，解这个方程组得，原方程组的解为．一、单选题13．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如果与是同类项，则m、n的值分别为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可．【详解】解：∵与是同类项，∴，∴．故选：C．14．（23-24七年级下·河南洛阳·阶段练习）已知方程组，则的值为（）A． B．0 C．4 D．6【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由①②得，利用整体思想进行求解即可．【详解】解：，①②得：，，，故选：D．15．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若方程组的解也是方程的解，则k的值是（

）A． B．10 C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．【详解】解方程组得：代入，得，解得：，故选：B．16．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；③，都为自然数的解有对；④若，则．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组；①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解．【详解】解：，得，将代入②得，方程组的解为∴当时，，而，①正确；②，当时，②不正确；③∵、，为自然数，∴或或或，③正确；④，解得，④正确．故选：C17．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）解下列方程组：(1)

（代入法）(2)（加减法）【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．（1）按照代入法的步骤解二元一次方程组即可．（2）按照加减消元法的步骤解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：由①得：，把代入②得：，解得：，∴，∴方程组的解为：．（2）由①②得：，解得，把代入①得：，解得：，∴方程组的解集为：．18．（2024七年级下·全国·专题练习）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：，，，．……，，，．……(1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处．(2)猜想第n个方程组和它的解并验证．(3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律．【答案】(1)(2)见解析(3)，它不符合（1）中的规律【分析】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数、常数与解的关系是解题的关键．（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数、常数与解的关系，确定第4个方程组，求解即可；（2）通过观察，知第n个方程组及其解，将解代入方程组验证；（3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律．【详解】（1）解：解方程组，得；（2）解：猜想第n个方程组为，解为，验证如下：把代入得，，所以成立；（3）解：将代入，解得，即方程组为，所以它不符合（1）中的规律．一：单选题19．（23-24七年级下·山东聊城）如果是方程组的解，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，代入代数式即可得到答案.【详解】解：∵是方程组的解，∴①＋②得，解得，把代入①得，解得，∴，故选：C20．（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意先求出和的值，从而可得，然后把的值代入式子中进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：，解得：，∵为整数，∴，∴，∴的平方根是，故选：D．21．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，令，则，进而根据题意得到关于s，t的方程组的解是，则，解之即可得到答案．【详解】解：令，∴，∴，∵关于x，y的方程组的解是，∴关于s，t的方程组的解是，∴，∴，故选：C．22．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若方程组的解为，则方程组的解为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组．对方程组变形，然后根据二元一次方程组解的定义，利用整体思想求解．【详解】解：∵方程组的解为，∴，∴方程组的解为，故选：C．23．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有（

）个．①，；②若，则；③若，则m、n有且仅有3组整数解；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．首先根据题意可得，求解即可判断结论①；由可得，结合即可判断结论②；由可得，整理可得，结合均为整数可知，进一步求得的值，即可判断结论③．【详解】解：根据题意，，，∴，解得，故结论①正确；∵，即，∵，∴，故结论②正确；∵，即，∵，∴，又∵均为整数，∴，∴或，∴满足条件的值为或，故结论③错误．故选：C．24．（23-24七年级上·山东滨州·期末）以下解方程组的步骤正确的是（

）A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得【答案】A【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键．利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案．【详解】解：A、代入法消去m，由①得，故符合题意；B、代入法消去n，由②得，故不符合题意；C、加减法消去n，得，故不符合题意；D、加减法消去m，得，故不符合题意；故选A．二、填空题25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果与互为相反数，则．【答案】【分析】本题考查绝对值非负性，二次根式的非负性，相反数，解二元一次方程组，根据互为相反数和为0，结合非负式子和为0它们分别等于0列方程组求解即可得到答案【详解】解：∵与互为相反数，∴，∵，，∴，解得：，∴，故答案为：．26．（2024七年级下·浙江·专题练习）若二元一次方程组的解为，则的值．【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程组的解，代数式求值是解题的关键．将代入原方程组得：，得：，然后计算求解即可．【详解】解：将代入原方程组得：，得：，∴．故答案为：1．27．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于，的方程组，（1），互为相反数时，；（2）；（3）若，满足，则．【答案】；；．【分析】（）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数即可求出的值；（）解出二元一次方程组，然后代入求值即可；（）根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算求出的值，把，代入即可求出的值；；本题考查了解二元一次方程组，幂的乘方和同底数幂的乘法，有理数的乘方，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键．【详解】（）由，解得：，∵，∴，解得：，故答案为：；（）由，解得：，∴，故答案为：；（）由，解得：，∵，∴，∴，则，解得：，∴，故答案为：．28．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知方程组的解为，则方程组的解为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出．【详解】解：变形为，∵方程组的解为，∴，∴．故答案为：29．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则，.【答案】【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论．【详解】解：得，，解得，，把代入①，得，，∴，∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，∴，，故答案为：，三、解答题30．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组；（1）先整理方程组，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解；（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．【详解】（1）解：原方程组可化为得，解得：，将代入①得，，解得：，所以方程组的解为：（2）解：得，解得：将代入①得，，解得：所以方程组的解为：31．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组：．【答案】．【分析】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用．仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．【详解】解：由①得③，即，把代入②，得，解得，把代入③得，解得．∴．32．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组：，由①，得．③把③代入②，得，解得．把代入③，得．原方程组的解为；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：．【答案】．【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可．【详解】解：由①，得．③把③代入②，得，解得．把代入③，得．原方程组的解为．33．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．（1）方程的共轭二元一次方程是________________；（2）若关于x、y的方程组为共轭方程组，则________，________；（3）若方程中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是________；x0y02（4）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为________；的解为________；的解为________．拓展：共轭方程组的解是________________．【答案】（1）；（2）1；1；（3）；（4）；；；拓展：【分析】本题主要考查了解二元一次方程组