七年级数学上册数学 2.6.2 有理数的乘法与除法-有理数的除法（五大题型）（解析版）

2.6.2有理数的乘法与除法——有理数的除法分层练习考察题型一求一个数的倒数、与倒数有关的概念辨析1．的倒数是．【详解】解：化为假分数为，故其倒数为：．故本题答案为：．2．若的相反数等于2，则的倒数是A． B． C． D．2【详解】解：的相反数等于2，，的倒数是．故本题选：．3．的倒数的相反数为．【详解】解：的倒数为：，故其相反数为：．故本题答案为：．4．下列说法中：①一定是负数；②倒数等于它本身的数是；③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个．其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：①不一定是负数，错误；②倒数等于它本身的数是，正确；③几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，不一定积为负，可能为0，错误；④几个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个，正确．故本题选：．5．下列说法正确的是A．有理数的倒数是 B．任何正数大于它的倒数 C．小于1的数的倒数一定大于1 D．若非0两数互为相反数，则这两数的商为【详解】解：、若有理数，则没有倒数，故本选项不合题意；、正数0.1的倒数是10，，故本选项不合题意；、小于1的数的倒数一定大于1错误，因为0没有倒数，故本选项不合题意；、若非0两数互为相反数，则这两数的商为，说法正确，故本选项符合题意．故本题选：．考察题型二除法相关的符号判断1．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是【详解】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负，所以两个数相除所得的商是负数．故本题选：．2．两个有理数的商是正数，那么这两个数一定A．都是负数 B．都是正数 C．至少一个是正数 D．两数同号【详解】解：两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号．故本题选：．3．在数轴上表示、两数的点如图所示，则下列判断正确的是A． B． C． D．【详解】解：，，，，，，，，不正确，正确．故本题选：．4．如图，、两点在数轴上表示的数分别为、，下列式子成立的是A． B． C． D．【详解】解：由数轴可知：，、，故不合题意；、，故不合题意；、，，，故符合题意；、，，，故不合题意．故本题选：．5．若，，且，则．【详解】解：，，，，又，当，时，；当，时，；综上，．故本题答案为：．考察题型三有理数的除法运算1．下列说法中，正确的是A．绝对值等于本身的数是正数 B．倒数等于本身的数是1 C．0除以任何一个数，其商为0 D．0乘以任何一个数，其积为0【详解】解：、绝对值等于本身的数是非负数，故原题说法错误；、倒数等于本身的数是，故原题说法错误；、0除以任何一个不为零数，其商为0，故原题说法错误；、0乘以任何一个数，其积为0，故原题说法正确．故本题选：．2．现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于1；③被减数一定大于减数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【详解】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0，不是正数、负数和0，故①错误；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于1，故②错误；③被减数不一定大于减数，如，故③错误；④绝对值等于其本身的有理数有正数和零，故④错误；⑤几个非0有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故⑤错误．故本题选：．3．如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商为零，那么，这两个有理数A．互为相反数但不等于零 B．互为倒数 C．有一个等于零 D．都等于零【详解】解：两个有理数的和除以它们的积，所得的商为零，这两个有理数的和为0，且它们的积不等于0，这两个有理数：互为相反数但不等于零．故本题选：．4．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数【详解】解：如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，这两个数一定相等或互为相反数．故本题选：．5．下列计算①；②；③；④．其中正确的个数A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【详解】解：①，故原题计算错误；②，故原题计算错误；③，故原题计算正确；④，故原题计算正确；综上，正确的计算有2个．故本题选：．6．下列各式中计算正确的有①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：①原式，故①计算不正确；②原式，故②计算不正确；③原式，故③计算正确；④原式，故④计算不正确．故本题选：．7．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．8．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．9．计算，方方同学的计算过程如下，原式．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【详解】解：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：原式．10．列式计算：（1）与的和除以，商是多少？（2）减去一个数的差等于除以的商，求这个数？【详解】解：（1）；（2）设这个数是，由题意得：，，这个数是．11．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米”问题：有3斗的粟斗升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为升．【详解】解：根据题意得：（升）．故本题答案为：18．12．已知，，则的值等于．【详解】解：，，，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；综上，的值等于8或．故本题答案为：8或．13．若，，且，异号，求的值．【详解】解：，，，，解得：或，或，又，异号，，或，，当，时，；当，时，；综上，的值为或．14．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，如何抽取？最小值是多少？答：我抽取的2张卡片是、，和的最小值为．（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？答：我抽取的2张卡片是、，差的最大值为．（3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？答：我抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为．（4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？答：我抽取的2张卡片是、，商的最小值为．【详解】解：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，应该取和，，即和的最小值为，故本题答案为：；；；（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，应该取和4，，即差的最大值是9，故本题答案为：；4；9；（3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，应该取和，，即乘积的最大值为15，故本题答案为：；；15；（4）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，应该取和3，．即商的最小值为，故本题答案为：；3；．15．数学活动课上，小明遇到这样一个问题：一个数乘2后减去8，然后除以4，再减去这个数的，则结果为多少？他让小组内5成员分别取这个数为、3、、6、2，发现计算后的结果一样．（1）请从上述5个数中任取一个数，计算出这个结果；（2）小明产生了这样的猜想：无论这个数是几，其计算结果都一样，这个猜想对吗？请说明理由．【详解】解：（1）取时，；（2）对，理由如下：设这个数为，根据题意得：．16．有两个整数，，且，把大于等于且小于等于的所有数记作，．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作，．若整数在，内，整数在，内，那么的一切值中属于整数的个数为A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【详解】解：在，内，在，内，，，，即，的一切值中属于整数的有，，，，，共5个．故本题选：．考察题型四乘除法混合运算1．计算：（1）；（2）的结果是．【详解】解：（1）原式；（2）原式．故本题答案为：；．2．阅读下面解题过程并解答问题：计算：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）（1）上面解题过程有两处错误：第一处是第步，错误原因是；第二处是第步，错误原因是；（2）请写出正确的结果．【详解】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算；第二处是第三步，错误原因是符号弄错；（2）原式．故本题答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算；二，符号弄错；（2）．3．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．4．计算：（1）；（2）；（3）；（4）；【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．考察题型五简便运算1．用简便方法计算：．【详解】解：．2．计算：．【详解】解：原式．3．请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是：，故原式，再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．【详解】解：原式的倒数是：，故原式．1．已知有理数，满足，，，则的值为．【详解】解：有理数，满足，，或，，①当，时，，，，整理得：，；②当，时，，，，整理得：，此时不符合，舍去．故本题答案为：．2．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为．【详解】解：如图，利用倒推法可得：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2；由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4；由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8；由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16；由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32；①由第1次计算后得5，可得原数为10；②由第1次计算后32，可得原数为64．故本题答案为：10或64．3．小颖认为“对于任意的一个三位数，把三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除”．她想探寻其中的道理，选择了一个特殊的三位数123进行了如下尝试：因为能被3整除，所以是整数，所以123能被3整除．（1）在373，456，511，728中，能被3整除的数是．（2）小颖的观点正确吗？请说明理由．（3）满足什么条件的三位数一定能被9整除？请说明理由．【详解】解：（1）不是3的倍数，不能被3整除，是3的倍数，能被3整除，不是3的倍数，不能被3整除，故本题答案为：456；（2）正确，理由如下：设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则，当能被3整除时，该三位数就能被3整除；（3）当三位数的各个位数上的数字的和能被9整除时，这个三位数就能被9整除，理由如下：设这个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则，当能被9整除时，该三位数就能被9整除．4．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于类，例如3，6，9等．（1）2023属于类（填，或）；（2）①从类数中任取两个数，则它们的和属于类（填，或）；②从类数中任意取出15个数，从类数中任意取出16个数，从类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填，或）；（3）从类数中任意取出个数，从类数中任意取出个数，把它们都加起来，若最后的结果属于类，则下列关于，的叙述中正确的是（填序号）．①属于类；②属于类；③属于类，属于类；④，属于同一