人教版八年级数学下册《平行四边形（第4课时）》示范教学设计

平行四边形（第4课时）教学目标1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路．2．掌握平行四边形的三个判定定理，熟练运用平行四边形的判定定理进行推理论证．教学重点平行四边形判定定理的探究与应用．教学难点通过研究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想．教学过程新课导入如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．（1）已知AB＝5，求DC的长；（2）已知∠DAB＝120°，求∠BCD的度数；（3）已知AC＝5，BD＝8.6，求CO和BO的长．【师生活动】学生独立思考回答，教师补充．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，∴DC＝AB＝5．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝120°，∴∠BCD＝∠DAB＝120°．（3）∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝5，BD＝8.6，∴CO＝AC＝2.5，BO＝BD＝4.3．【追问】平行四边形的性质有哪些？【师生活动】学生独立思考后回答：平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分．【追问】我们学习了平行四边形的定义和平行四边形的性质．根据以往几何学习的经验，接下来我们应该研究什么呢？【师生活动】学生自由发言，得出答案：平行四边形的判定．【追问】怎样判定一个四边形是平行四边形呢？【师生活动】直接找学生回答：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形．教师总结．【总结】两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【设计意图】通过对已有知识的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形的判定问题．复习平行四边形的定义和性质，巩固基础，为学习“平行四边形的判定定理”做准备．新知探究一、探究学习【问题】根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形．除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方法呢？【师生活动】教师引导学生回忆学过的一些图形判定定理的内容，如平行线的判定、等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理等．教师以等腰三角形为例，将等腰三角形的判定与等腰三角形的性质进行对比．学生根据对比，小组讨论，得到启发：可以尝试从平行四边形的性质定理的逆命题出发研究平行四边形的判定．教师给出表格，学生由平行四边形的性质定理，逆向思考，写出它们的逆命题．平行四边形的性质逆命题平行四边形的对边相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形的对角相等两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形【追问】原命题正确，逆命题一定正确吗？【师生活动】学生回答不一定．教师将得到的逆命题总结后形成猜想，并提出得到的猜想是否正确必须经过逻辑推理才能确定．【猜想】1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3．对角线互相平分的四边形是平行四边形．【设计意图】从对命题的结构分析中提出猜想；在对原命题正确，而逆命题不一定正确的反思中体会证明的必要性．【问题】你能根据平行四边形的定义证明这些猜想吗？【师生活动】教师引导学生画出图形，写出已知、求证，学生小组讨论，完成证明，教师指导、总结．【答案】猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：如图，连接BD．∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB（SSS）．∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：在四边形ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°．∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）．∴∠OAD＝∠OCB．∴AD∥BC．同理AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【归纳】通过推理论证的真命题可以成为定理．我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理，加上平行四边形的定义，我们一共有四种判定平行四边形的方法．【设计意图】引导学生从定义出发，证明上述逆命题为真．理解平行四边形的性质和判定都是从定义出发经过推理得到的真命题．【新知】平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．二、典例精讲【例题】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AC上的两点，并且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【师生活动】教师引导学生分析：从条件出发，你能够联想到的结论有哪些？从要证明的结论出发，证明一个四边形是平行四边形可以有哪些方法？启发学生形成思路，完成作答．【答案】证明（方法1）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO．∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF．∴EO＝FO．∵BO＝DO，∴四边形BFDE是平行四边形．【追问】你还有其他证明方法吗？【答案】证明（方法2）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴∠DAC＝∠BCA．∵AE＝CF，∴△AED≌△CFB（SAS）．∴ED＝FB．同理BE＝DF．∴四边形BFDE是平行四边形．【归纳】在证明平行四边形时，若条件集中在对角线上，运用与对角线有关的判定定理解决问题相对简便，分析问题条件的特点，选择适当的判定定理，可以帮助我们获得简便的解题方法．【设计意图】通过具体的问题，考查学