人教版八年级数学下册《平行四边形（第1课时）》示范教学设计

平行四边形（第1课时）教学目标1．结合图形认识平行四边形，理解平行四边形的定义及表示方法．2．经历从猜想到论证推导平行四边形性质的过程，掌握平行四边形的性质，能应用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，初步体会几何研究的一般思路与方法．3．理解两条平行线之间的距离的概念，知道两条平行线之间的距离处处相等．教学重点1．探究平行四边形的性质，应用平行四边形的性质进行计算和证明．2．理解两条平行线之间的距离的概念，知道两条平行线之间的距离处处相等．教学难点证明平行四边形的性质．教学过程新课导入前面我们已经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法，本节开始，我们继续研究生活中的常见图形．观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？【师生活动】学生积极踊跃发言，教师用电脑演示从实物中抽象出平行四边形的过程．【设计意图】通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型，进而从实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为图形的过程，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的内容．新知探究一、探究学习【问题】你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？【师生活动】学生回顾小学所学习过的平行四边形的知识，师生一起讨论．【新知】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．判定：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．性质：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．【思考】我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形，对于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？【师生活动】学生自由发言，教师总结．【新知】平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．注意：当表示一个平行四边形时，字母要按照一定的顺序排列，顺时针、逆时针排列均可．平行四边形的基本元素：如图，AB和AD，AD和CD，CD和BC，BC和AB是▱ABCD的四组邻边．AB和CD，AD和BC是▱ABCD的两组对边．∠B和∠A，∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B是▱ABCD的四组邻角．∠B和∠D，∠A和∠C是▱ABCD的两组对角．【设计意图】结合图形给出定义，强调定义的作用，让学生初步理解平行四边形的定义及表示方法．【问题】由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？【师生活动】学生先独立动手画出平行四边形，再通过观察、度量，发现：AB＝CD，AD＝BC；∠B＝∠D，∠A＝∠C．教师引导学生提出猜想．【猜想】平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．【追问】你能证明这些猜想吗？【师生活动】教师引导学生分析：猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．学生根据分析，小组讨论，完成证明．【答案】已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．证明：如图，连接BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB．即∠ABC＝∠ADC．又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB（ASA）．∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．【设计意图】通过引导学生证明猜想，让学生体会证明思路中的分析方法及数学问题的转化思想．【思考】不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？【师生活动】学生独立思考作答，教师巡查纠错并讲解．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．∴∠B＝∠D．同理可证明∠A＝∠C．【设计意图】让学生用多种方法进行证明，培养学生的探索意识，开拓学生的视野．【新知】平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．二、典例精讲【例1】如图，在▱ABCD中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD的周长为24，求其余三条边的长度．【师生活动】学生独立思考作答，请两名学生代表板演，教师讲评．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD．∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD．∵▱ABCD的周长为24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．【归纳】在平行四边形中，可“知一求三”：在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．【设计意图】通过例1，考查学生能否应用平行四边形的性质进行简单的计算，巩固学生对平行四边形的性质的掌握．【例2】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C“∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∴△AED≌△CFB（AAS）．∴AE＝CF．【设计意图】通过例2，考查学生能否应用平行四边形的性质进行简单的证明，进一步巩固学生对平行四边形的性质的掌握．三、探究学习【追问】例2中DE＝BF吗？【师生活动】学生回顾例2的解题过程，根据△AED≌△CFB得DE＝BF．【设计意图】结合例题的进一步追问，引出下面要学习的两条平行线之间的距离．【问题】如图，直线a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，AB和CD相等吗？为什么？【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．【答案】相等，理由如下：∵AB∥CD，AC∥BD，∴四边形ABDC是平行四边形（平行四边形的定义）．∴AB＝CD（平行四边形的性质）．【归纳】两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．【思考】如图，如果直线a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等吗？【师生活动】学生独立思考完成作答．∵c⊥b，d⊥b，∴c∥d，即AB∥CD．∵AC∥BD，∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得AB＝CD．教师引导学生复习点到直线的距离的概念，总结结论：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．【新知】两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．【设计意图】结合具体题目，让学生初步理解两条平行线之间的距离的概念，知道两条平行线之间的距离处处相等．【思考】两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？【师生活动】学生自由发言，教师总结．【归纳】点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．【设计意图】让学生知道点与点之间的距离是点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，加深对两条平行线之间的距离的理解．四、典例精讲【例3】如图，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC＝EF．求证S△ABC＝S△DEF．【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师指导．【答案】证明：如图，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点G，H．则S△ABC＝BC·AG，S△DEF＝EF·DH．∵a∥b，AG⊥b，DH⊥a，∴AG＝DH．又∵BC＝EF，∴S△ABC＝S△DEF．【归纳