2024年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷及答案解析

2024年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.（5分）若复数z满足（1-z3）z=2+2i,则|z|=（）

A.V2B.2C.2V2D.4

2.（5分）已知直线/倾斜角的余弦值为-恪，且经过点（2,1）,则直线/的方程为（）

A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0C.x-2y=0D.x+2y-4=0

TTTTT

3.（5分）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则（a+b）.

4.（5分）已知圆Opx2+2x+y2-10与圆。2：x2+y2—x—3y=4交于A,B两点，则1ABi=（）

V15—广

A.——B.5C.V26D.3V3

2

5.（5分）已知△ABC的内角A,B,C的大小依次成等差数列，AB=4,BC=5,则△ABC的外接圆半径

为（）

VH「I—r-

A.—B.V7C.VnD.2V7

2

6.（5分）在。一余＞的展开式中，下列说法错误的是（）

A.二项式系数之和为64

一1

B.各项系数之和为二

64

5

C.二项式系数最大的项为-％2

2

15

D.常数项为二

16

7.（5分）已知数列｛4〃｝满足=3,6Zn+l+l=4142…即，数列｛加｝满足力九=的。2…—城—境—…—W，

则bio=（）

A.-3B.-4C.-5D.-6

8.（5分）已知函数/■（%）=0上^，g（x）="e（L1）,函数y=g（g（尤））与函数y=3的

l+xlfc|x|+1,xg（-1,1）

图象有5个不同的交点，则正实数4的取值范围是（）

A.（0,V2-1]B.（V2-1,1）C.（0,——]D.（^―2—>1）

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是

符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

（多选）9.（6分）下列论述正确的有（）

A.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强；反之，线性相关程度越弱

B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38

C.若随机变量X〜N（7,。2）,且尸（X>9）=0.12,则P（5<X<7）=0.38

D.一组样本数据XI,尤2,…，X6,其中尤1是最小值，尤6是最大值，则无2,Xi,X4,X5的标准差不小于

XI,XI,尤6的标准差

（多选）10.（6分）正弦型函数被广泛运用于信号处理领域.将不同周期的正弦型函数叠加，就可以构建

各种各样的信号.如/（尤）=sinx+sin3x就能构建一种信号，关于该函数，下列说法正确的是（）

A.2n是/（x）的一个周期

B.X=Tl是/'（X）的一条对称轴

C.f（x）在[0,2川上有5个零点

D.f（x）的最大值为百

（多选）11.（6分）已知正四面体A8CZ）的棱长为2,M,N分别是棱AD,BC的中点，过M、N作正四

面体A8CZ）的截面a.有下列结论，其中正确的是（）

71

A.异面直线8C与所成角为§

B.MN=也

C.若截面a是三角形，则一定是等腰三角形

D.截面a的面积最小值为1

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）已知集合4={加，\m\},若26A,则机=.

13.（5分）已知F是椭圆J盘+，=1（。>40）的右焦点,4为椭圆G的上顶点,双曲线。2：冬_*1

（机>0,«>0）与椭圆Q共焦点，若直线AF与双曲线C2的一条渐近线平行，Ci,C2的离心率分别

为ei,62,则ei・e2=.

14.(5分)已知/(x)是R上的偶函数且满足了'(x)+2f(x)—3ex+ex,若对VxeR,f(ax)W/(f+l)

恒成立，则实数a的取值范围为.

四、解答题(共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知数列｛珈｝的前〃项和为S”,且5„=2与一1(716W*).

(1)求数列｛砺｝的通项公式；

(2)从数列｛a”｝中剔除第1项，第4项，第7项，…，第3〃-2项后，将剩下的项保持顺序不变组成

一个新数列｛加｝,求数列｛加｝的前2〃项和Tin.

16.(15分)某商场举办摸球答题赢购物券活动，顾客在商场内消费达到一定金额即可参与.一次摸球答

题活动中，顾客在装有1个黑球和4个白球的盒子中随机摸一个球(每个球除颜色外完全相同)，若摸

到黑球，在A类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券；若摸到白球，在B类题目中任抽一个

回答，答对可获得一张购物券.假设每次摸球互不影响，且回答的题目不会重复.已知小明答对每个A

类题目的概率均为3答对每个2类题目的概率均为3

68

(1)若小明在一次活动中获得了购物券，求他在摸球时摸到的是黑球的概率；

(2)若小明连续参与三次活动共获得了X张购物券，求X的分布列及数学期望.

17.(15分)如图.已知平行六面体ABC。-AiBiGDi的底面是菱形，ZABC^ZABBi=ZCBBi=60°,

CD=CC[=2y/3.

(1)求证：ACLBDi；

(2)求点Di到平面BiAC的距离.

18.(17分)已知A,3分别是椭圆C：噂+与=1(0Vb<2夜)的左、右顶点，R为椭圆C上异于A,B

°b

的一点，且满足心R-kBR=一不

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点M(2,1),过点N(4,0)的直线交椭圆C于。，E两点，直线。M,分别交直线x

=4于尸(xp,泗)，Q(回，泗)两点，探究切+泗是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值,

请说明理由.

19.(17分)帕德近似(Padeapproximation)是法国数学家帕德(Pade)于19世纪末提出的，其基本思想

是将一个给定的函数表示成两个多项式之比的形式，具体是：给定两个正整数〃2,n,函数/(x)在x

=0处的加，利帕德近似为R(x)=粤黑法二黑;，其中R(0)=/(0),R'(0)=/(0),R"

(0)=f"(0),R(m+n>(0)=/<m+n)(0)(x)为/联1>(x)的导数).己知函数/(%)=仅

(x+1)在x=0处的［1,1］阶帕德近似为RQ)=偌彳

(1)求实数a,b的值；

11QQ

(2)证明：当x>0时，f(x)27?(%)；并比较一cos一与伍丽的大小.

9999V。

2024年贵州省贵阳市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.（5分）若复数z满足（1-z3）z=2+2i,则|z|=（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【解答】解：由题意，（1+z）z=2+2z,解得z=4詈=2,则|z|=2.

故选：B.

2.（5分）已知直线/倾斜角的余弦值为-恪，且经过点（2,1）,则直线/的方程为（）

A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0C.x-2y=0D.x+2y-4=0

【解答】解：已知直线/倾斜角的余弦值为一。，即cos。=—咯，故sM8=竽，

所以领”黑=-2,

由于直线经过点（2,1）,

故直线的方程为丁-1=-2（%-2）,整理得2x+y-5=0.

故选：A.

TTTTT

3.（5分）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则（a+b）•

【解答】解：建立如图所示坐标系，

ICT-»

则a=(1,1),b=(1/—1),c=(2/1),

,->-->

则(a+b)-c=(2,0).(2,1)=4.

故选：D.

y

4.（5分）已知圆Oj/+2%+y2=io与圆。2：%2+丫2_%_3y=4交于A,B两点，则|A8|=（）

V15—广

A.——B.5C.V26D.3V3

2

【解答】解：圆01：7+『+2%-10=0与圆02：%2+/-l-3厂4=0与圆交于43两点，

两圆相减得3x+3y-6=0,即x+y-2=0,

又圆01：（x+1）2+y2=ll,

利用圆心（-1,0）到直线x+y-2=0的距离d==今,

所以|AB|=2]11-（壹）2=V26.

故选：C.

5.（5分）己知△ABC的内角A,B,C的大小依次成等差数列，AB=4,BC=5,则△ABC的外接圆半径

为（）

广I—r-

A.——B.V7C.VHD.2V7

2

【解答】解：:△ABC的内角A,B,C的大小依次成等差数列，

：.2B=A+C,

又•.・A+3+C=m

-''B=T

由余弦定理可得AC2=A32+BC2-2AB«BC«cosB

=42+52-2X4X5x1

=21,

：.AC=V21,

设△ABC外接圆的比较为R,

则由正弦定理可得2R=芸=景,

LILJLJV3

T

：.R=y/7.

故选：B.

6.(5分)在(x-去＞的展开式中，下列说法错误的是()

A.二项式系数之和为64

B.各项系数之和为77

64

53

C.二项式系数最大的项为二％2

2

15

D.常数项为77

【解答】解：(尤—点)6的展开式中，二项式系数之和为26=64,故A正确；

令x=l,可得各项系数之和为(1-1)6=卷故8正确；

根据二项式系数的性质，可得当厂=3时，展开式中二项式系数最大，

即展开式的第4项的二项式系数最大，74=盘久3.(一金)3=_|我故c错误；

根据通项公式为Tr+1=Cl-x6~r-(-2^)r=Cg-(-1)r-x6-2r,令6-|r=0,求得r=4,

可得展开式中常数项为乃=盘(-》4=||,故。正确.

故选：C.

7.(5分)已知数列｛即｝满足〃1=3,即+1+1=〃也2…斯，数列｛加｝满足bn=的四…-忧一)-----成，

则bio=()

A.-3B.-4C.-5D.-6

【解答】解：由劭+1+1=4142…即，

可得an+l=aia2-anif〃22,

上面两式相除可得an=等界，

即斯+1=磷+an-1,

即有忌=an+l~斯+1,

贝！JQ亥+02+…+欣=42-41+43-42+...+〃〃+1-即+"=。〃+1-41+〃，

即有力九=。1@2…an~al~a2-----an=〃〃+1+1一(4〃+1-。1+〃)=1+〃1-

则从0=1+3-10=-6.

故选：D.

8.(5分)已知函数/(%)=仞0(%)=["")’'''LD,函数y=g(g(%))与函数y=3的

1+xkk\x\+2/xg(—1/1)

图象有5个不同的交点，则正实数％的取值范围是()

A.(0,V2-1]B.(V2-1/1)C.(0,—^――]D.(―^――/1)

函数y=g(g(%))与函数y=3的图象有5个不同的交点，

即g(g(x))=3有5个不同零点，

令g(x)=t,

则g⑺=3,

又g(1)=k+2,

当H2>3时，g⑺=3有唯一的怎(-1,0),

即g(x)=/仅有一个零点，不合题意；

当攵+2=3时，g⑺=3有三个零点九=-1,Z2G(-1,0),13=1,

相应的g(x)=/只有3个零点，不合题意；

当什2V3时，g(%)=3有三个零点力E(-8,一1),/2C(-1,0),£36(1,+8

所以g(x)="有1个零点，

g(x)=/2有1个零点，

则g(X)=/3有3个零点，

又比3+2=3,

所以力3=p

,1

则丁>fc+2,

k

解得一1-aW/CW/一1,

又k>0,

所以k6（0/V2—1].

综上，正实数4的取值范围是（0,V2-1].

故选：A.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是

符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

（多选）9.（6分）下列论述正确的有（）

A.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强；反之，线性相关程度越弱

B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38

C.若随机变量X〜N（7,。2）,且尸（X>9）=0.12,则P（5<X<7）=0.38

D.一组样本数据XI,X2,X6,其中XI是最小值，X6是最大值，则X2,X3,X4,X5的标准差不小于

XI,XI,X6的标准差

【解答】解：对于A,样本相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关程度越强；反之，线性相关

程度越弱，故A错误；

对于8,数据从小到大排列为：21,29,30,32,38,49,50,65,

因为8X60%=4.8,

所以第60百分位数为38,故8正确；

对于C,若随机变量X〜N（7,。2）,且P（X>9）=0.12,

所以P（7<X<9）=0.5-P（X>9）=0.38,

所以尸（5<X<7）=P（7<X<9）=0.38,故C正确；

对于D数据XI,X2,无6,其中xi是最小值，X6是最大值，去掉最大值和最小值，则标准差变小，

则X2,尤3,X4,尤5的标准差不大于XI,XI,X6的标准差，故。错误.

故选：BC.

（多选）10.（6分）正弦型函数被广泛运用于信号处理领域.将不同周期的正弦型函数叠加，就可以构建

各种各样的信号.如/（X）=sinx+sin3x就能构建一种信号，关于该函数，下列说法正确的是（）

A.2TT是/（无）的一个周期

B.X=Tl是/'（X）的一条对称轴

C.f（x）在[0,上有5个零点

D.f（无）的最大值为日

【解答】解：对于A,因为/(x+2n)=sin(X+2JT)+sin3(x+2n)=sinx+sin3x=/(%),

所以2n是函数的周期，故A正确；

对于5,因为/(-x+2n)=sin(-x+2n)+sin3(-x+2n)=sin(-x)+sin(-3x)=-(sinx+sin3x)

=~f(%)，

所以/(x)关于(m0)对称，故5错误；

对于C,D,因为/(-X+TT)=sin(-x+n)+sin3(-x+n)=sinx+sin3x=/(x),

所以/(%)关于％对称，由对称性和周期性，只需研究/(%)在[0,刍上的单调性，

f(x)=sinx+sin3x=siiix+sin(x+2x)=sinx+sinxcos2x+cosxsin2x=sinx+sinx(1-2sin2x)+2sinxcos2x

=sirtr+sinx-2sin3x+2sinx(1-sin2x)=4sinr-4sin\,

令才=sinx,re[0,1],则y=4/-4p,y'=4-12?,

y'>0,得tW(0,圣,y=4/-4户单调递增，令寸<0,得tW怎,1),y=4/-4户单调递减，

当上=.时，fWmax=4X学—4X虎1故£)错误；

又设sin%。=孚/=sinx在久E[0,刍上单调递增，

所以了(%)在(0,xo)上单调递增，在(乙,今上单调递减，且/(0)=/6)=0,

7137r

根据/(x)的对称性可得/(x)在[0,2川上有5个零点，分别是0,TT,y.2TT,故C正确.

故选：AC.

(多选)11.(6分)已知正四面体ABC。的棱长为2,M,N分别是棱AD,BC的中点，过M、N作正四

面体A3。的截面a.有下列结论，其中正确的是()

一71

A.异面直线BC与所成角为.

B.MN=42

C.若截面a是三角形，则一定是等腰三角形

D.截面a的面积最小值为1

【解答】解：对于A,连接AN、DN,则AN_LBC,DN1BC,且ANCDN=N,所以BC_L平面AND,

71

所以8CLAD,异面直线BC与AD所成的角为了选项A错误；

对于8,由选项A知，AN=DN=V3,所以MN=J(V3)2-12=V2,选项2正确；

对于C,由正四面体的对称性知，过所的截面为三角形时，只有AAND与LMBC,它们都是等腰三角

形，选项C正确；

对于。，取正四面体ABC。的棱A3、CD的中点E和R连接EM、EN和FM、FN,

则EM〃AC,EM=|AC,DN//AC,DN=|AC,所以EM〃DN,且EM=DN,

所以四边形EMBN是平行四边形，也是正方形，此时截面面积最小，为1,选项。正确.

故选：BCD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.（5分）已知集合4=｛如\m\],若26A,则m=-2.

【解答】解：由题意，m=2或者防|=2,解得m=2或-2,

当机=2时，不符合集合元素的互异性，

故m=-2.

故答案为：-2.

13.（5分）已知产是椭圆G：鸟+4=1（。>6>0）的右焦点,A为椭圆C1的上顶点,双曲线。2：鸟—4=1

於bn乙

（m>0,〃>0）与椭圆。共焦点，若直线Ab与双曲线C2的一条渐近线平行，Ci,Q的离心率分别

为ei,62,则即"2=1.

【解答】解：由题意可得ei=1一吗,ei=Jl+鸟,

由题意可得履F=Y=—M

bn“bn

即一=一,令一=—=t,

cmcm

所以4=。,可得〃2=廿+1=（1+/2）c2,

62=V1+t2?

1_____

所以・2

d£2=而।*Vl+t=1.

故答案为：1.

14.(5分)已知/(x)是R上的偶函数且满足，(x)+2f(x)=3炭+e，，若对VxER,f(ax)W/(/+l)

恒成立，则实数〃的取值范围为「-2,2].

【解答】解：因为/G)是R上的偶函数，

所以/(-x)=f(X),

求导得(-x)=f(X),

所以/G)为R上奇函数，

又因为/(x)+2f(x)=3F+-%,

所以/(-x)+2/(-x)=3e—,

即-f(%)+2f(x)=3/%+/,

所以V(%)=4F+4e),

所以/(x)=^+e%="+正，

所以/(x)="--%=产一/,

所以当%>0时，f(x)>0,f(x)单调递增；

当xVO时，ff(x)<0,f(x)单调递减；

又因为对VxER,f(ax)W/lf+l)恒成立，

所以-(f+1)

即20且--"+120在R上恒成立，

所以A=〃2-4W0,

解得-2WaW2.

故答案为：[-2,2].

四、解答题(共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知数列｛劭｝的前〃项和为且5n=2a九一1(TIEN*).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)从数列｛即｝中剔除第1项，第4项，第7项，…，第3〃-2项后，将剩下的项保持顺序不变组成

一个新数列｛加｝,求数列｛加｝的前2〃项和及〃.

【解答】解：(1)由%=2a九一1(几€N*),可得〃I=SI=2QI-1,解得〃1=1,

当n22日寸，(In~~Sn-Sn-1~-1-2aH-1+1,

化为Cln—2dn-1，

则数列｛劭｝是首项为1,公比为2的等比数列，可得劭=2〃-1；

(2)由数列｛金｝中第1项，第4项，第7项，…，第3〃-2项，构成首项为1,公比为8的等比数列,

其和设为Un,且U"=、二等=(8〃-1),

1—O/

3九

则数列｛加｝的前2〃项和4=的〃-〃=号刍--，(8n-1)=|(8n-1).

16.(15分)某商场举办摸球答题赢购物券活动，顾客在商场内消费达到一定金额即可参与.一次摸球答

题活动中，顾客在装有1个黑球和4个白球的盒子中随机摸一个球(每个球除颜色外完全相同)，若摸

到黑球，在A类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券；若摸到白球，在B类题目中任抽一个

回答，答对可获得一张购物券.假设每次摸球互不影响，且回答的题目不会重复.已知小明答对每个A

类题目的概率均为3答对每个8类题目的概率均为±

68

(1)若小明在一次活动中获得了购物券，求他在摸球时摸到的是黑球的概率；

(2)若小明连续参与三次活动共获得了X张购物券，求X的分布列及数学期望.

【解答】解：(1)设事件4小明在摸球时摸到的是黑球，事件8：小明获得购物券，

1q_AtK

贝I」PQ4)=(,P(B⑷屋，P(4)=*=

所以尸(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|4)=|x|+^x|=j,

故所求概率为PQ4|B)=号罂=堂=/；

29

(2)由(1)小明在一次活动中获得购物券的概率为3则X〜8(3,1),

所以P(X=k)=以令气33-k,左=0,1,2,3,

则X的分布列为：

X0123

p1248

279927

7

则E(X)=np=3x|=2.

17.(15分)如图.已知平行六面体A8CQ-AiBiQDi的底面是菱形，ZABC^ZABBi=ZCBBi=60°,

CD=CCr=2V3.

(1)求证：AC±B£)i；

(2)求点Di到平面81AC的距离.

【解答】解：（1）证明：：平行六面体ABCD-ALBICLDI的底面是菱形，

又NABC=/ABBi=/CBBi=60°,CD=CCr=2百，

.♦.△ABBi,△ABC,△BCBi均为正三角形，

.\BD1=BC+CD+DDi=BC+BA+BB»AC=BC-BA,

—>—>—>—>—>—»—>

：.AC-B=（BC+BA+BB〉（BC-BA）

T—>T—T—>

22

=BC-BA+BB「BC-BB1-BA

11

=12-12+2遮x2V3x*-2V3x2遮x*=0,

T—>

：.AC±BD1,

：.AC±BDi；

（2）由（1）ACLBDi,同理可证3iC_L8Di,

XAcnsiC=c,

平面BiAC,

又BD]=BC+BA+BBlt

T2T—>—>2TT—>-»T—>

22

：.BD1=BC+BA+BB1+2BC-BAr+2BC-BB1+2BA-BB1

=12+12+12+2x2V3X2百x|x3=72,6也

由（1）可知四面体BiABC为棱长为2百的正四面体，

：.B到平面B1AC的距离为J（2遮产-22=2V2,

/.点D到平面B1AC的距离为6/-2V2=4V2.

18.（17分）已知A,8分别是椭圆C：需+4=l（0Vb<2烟的左、右顶点，E为椭圆C上异于A,B

0b

的一点，且满足%R-kBR=--T.

（1）求椭圆C的标准方程;

(2)已知点M(2,1),过点N(4,0)的直线交椭圆C于。，E两点，直线。M,分别交直线x

=4于P(功，yp),Q(xq,%)两点，探究型+网是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值,

请说明理由.

【解答】解：(1)设RQo,%),X(-2V2,0),S(2V2,0),

贝=—l，kpR=—‘°/—，

ARx+2y[2

0BRXQ-2^2

•kAR.kBR=_________S=2L=_工

kBR4

叱%o+2V2x0-2V2蜉-8

又胃+曾=1'得一S=—I解得”=2,

汽2y2

所以椭圆c的标准方程为+—=1.

82

(2)力+为为定值0,理由如下：

由题设直线。E的方程为y=Z(x-4),D(xi,yi),E(x2,>2),

(y=k(x—4)

联立\x2y2,消去y整理得(1+49)323+64后-8=0,

lT+T=1

由A=(-32话)2-4(1+4炉)(64A2-8)>0,解得AV),

4

.32/64/C2-8

所以久，厂，

1+%2=-1---+--加----2%1