初中数学中考复习讲义练习：函数思想

函数思想

【规律总结】

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数

关系型的数学模型，从而进行研究。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应

用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生

由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以

转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

【典例分析】

例1、如图，点G是边长为1的正方形A8Q）的边上的动点，以为边长作正方形

BEFG,其中A,B,E三点在同一条直线上，连结A,G,延长AG交CE的连线于点则

AGx的最大值为.

【答案】i

4

【解析】

【分析】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的

最值，函数方程思想.掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键.

先根据正方形的性质和SAS证明△EBC=△GBA得乙BCE=乙BAG,再证明△BGA“AHGC,

设BG=x,则CG=CB-久=1一X,根据相似三角形的对应边成比例得AGXGH的函数解

析式，最后根据二次函数的最值即可解答.

【解答】

解：•・,四边形A3CO和四边形3E/G是正方形ABC，A,B,£三点在同一条直线上,

BE=BG,LEBG=Z.GBA=90°,BC=BA,

EBCGBA9

•••Z-BCE=Z.BAG,

•・•乙BGA+乙BAG=90°,4BGA=乙HGC,

・•・乙HGC+乙BCH=90°,

・•・(GHC=90°,

・••乙GHC=Z-GBA=90°,

又MGA=乙HGC,

BGAHGC9

.BG_AG

"HG-CG'

设BG=x,则CG=CB—x=1—x,

••・AGxGH=BGxCG=x(l—%)=—x2+%=—(%—+:

va=-1<0,

.•.当％时，4GxG”有最大值，最大值为

故答案为:.

4

例2、如图，已知抛物线与无轴交于点4(—1,0)，8(3,0),与y轴交于点C,直线y=-2x+3

经过点C,与x轴交于点。.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t(0<t<3).

①求团PCD的面积的最大值.

②是否存在点尸，使得回PCD是以C。为直角边的直角三角形?若存在，求点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)直线y=—2x+3与x轴、y轴的交点坐标分别为：C(0,3),

••・抛物线与x轴交于4(一1,0)、B(3,0)两点，

・••设所求抛物线的函数关系式为：y=a(x+1)(%-3),

把点C(0,3)代入，得：3=a(0+l)(0-3),

解得a=-1,.•.所求抛物线的函数关系式为：丫=一(％+1)0-3)=-/+2尤+3；

(2)①过点P作PE1y轴于点F,交DC于点E,

?+2t+3),则点E的纵坐标为—严+2t+3.

以y=-t2+2t+3代入y=-2x+3,得久=《罗

・・•点E的坐标为(《产,+2七+3),

.・.PcEl=t--七-2--2-t=-—---+-4-t

22

S^PCD=~PE-CO

=一22尸+3

3

且0<t<3,

・・・当t=2时，△PCD的面积最大值为3；

②△PCD是以C。为直角边的直角三角形分两种情况：

(I)若"8=90°,如图2,过点尸作PG1y轴于点G,

则APGCfCOD,

.•《=*,即”年£,整理得2t2_3t=0,解得ti=|,t2=0（舍去）

c.uuc/31.5z

•••点尸的坐标为(l,f)

(U)若NPDC=90。，如图3,过点尸作PH轴于点X,

X

贝lJ△PH。s△OOC

PH_PHg|j-t2+2t+3_t-1.5

''DO~CO"-L5—-3'

2

整理得4t-6t-15=0,解得tx=号l以=上咨(舍去)•

・••点P的坐标为(三等，三警).

综上所述，当△PCD是以CO为直角边的直角三角形时,点尸的坐标为(|,弓)或(土兽，三警).

【解析】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点

的坐标特征、三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角

形相似的性质和判定，善于用方程的思想求点的坐标.

(1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式；

2

(2)①如图1,作辅助线PF,设点P的坐标为(t,-t+2t+3),则点E的纵坐标为-/+2t+

3,表示PE的长，根据三角形面积公式可得S与r的关系式，配方后可得最值；

②根据等腰三角形的性质和点的坐标、勾股定理得出关于f的方程，解方程即可确定点的坐

标.

【好题演练】

一、选择题

1.如图，边长为1的正方形A8C。的对角线AC、8。相交于点。,有直角NMPN,使直角顶

点P与点。重合，直角边PM、PN分别与。4、。3重合，然后逆时针旋转NMPN,旋

转角为。(0°<9<90°),PM、PN分别交A3、BC于E、尸两点，连接所交于点G,

则下列结论中正确的是()

(1)FF=V2OF;

⑵S四边形OEBF：,正方形ABCD=1：4;

(3)BE+BF=&04;

(4)在旋转过程中，当ABEF与ACOF的面积之和最大时，AE

(5)OG-BD=AE2+CF2.

A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(3)(4)(5)C.(2)(3)(4)(5)D.(1)(2)(3)(4)

【答案】A

【解析】

【分析】

此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是

解此题的关键.

(1)由四边形ABC。是正方形，2LE0F=90°,SOE=ACOF{ASA),则可证得结论;

(2)由(1)易证得S丝兹形0EBF-S&BOC=%S正方形ABCD，则可证得结论；

(3)由BE=CF,可得BE+8F=BC,然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=®OA;

(4)首先设2E=x,则BE=CF=l—x,BF=x,继而表示出ABEF与△COF的面积之和，

然后利用二次函数的最值问题，求得答案；

(5)易证得△OEGsA。8凡然后由相似三角形的对应边成比例，证得0G・08=0£2,再利

用。8与8。的关系，OE与跖的关系，即可证得结论.

【解答】

解：(1)••・四边形ABC。是正方形，

•••OB=OC,/.OBE=ZOCF=45°,乙BOC=90°,

•••乙BOF+Z.COF=90°,

乙EOF=90°,

・•・乙BOF+乙BOE=9。。,

•••乙BOE=Z-COF,

在△BOE和△COF中，

(ZBOE-ZCOF

\OB-OC.

IZOBE-ZOCF

•••△BOEwZkCOFQ4s4),

・•.OE=OF,BE=CF,

：.EF=五OE;

故(1)符合题意；

(2)S四边形OEBF—SABOE+S4BOF=^ABOF+S&COF=S^BOC=正方形ABCD，

'S四边形OEBF：S正方形ABCD=、：4；

故(2)符合题意；

(3)­.•△BOE=ACOF,

BE+BF=BF+CF=BC=V2OX;

故(3)符合题意；

(4)过点。作。HLBC,

设2E=x,贝UBE=CF=1—x,BF=x,

••・S^BEF+S^COF=1BE-BF+^CF-OH=^%(1一%)+*1-/)X[=-之(%一乎十强

・•・当％=1时,S^BEF+S^COF最大;

即在旋转过程中，当48”与ACOF的面积之和最大时，AE=^

4

故(4)不符合题意；

(5)vNEOG=乙BOE,乙OEG=乙OBE=45°,

•••△OEG—AQBE,

OE：OB=OG：OE,

：.0G•OB=OE2,

OB--BD,0E=—EF>

22

•••OGBD=EF2,

•.•在ABEF中，EF2=BE2+BF2,

：.EF2=AE2+CF2,

：.OGBD=4产+CF2.

故(5)符合题意.

故选：A.

二、填空题

2.如图，边长为4的正方形ABC。中，尸是BC边上一动点（不含8、C点）.将AABP沿直

线AP翻折，点8落在点E处；在C。上有一点M,使得将aCMP沿直线翻折后，

点C落在直线PE上的点尸处，直线PE交。于点M连接AM,M4.则以下结论中正

确的有—（写出所有正确结论的序号）.

①NM4P=45°；

②当尸为BC中点时，AE为线段NP的中垂线;

③四边形的面积最大值为10；

④线段AM的最小值为2b；

⑤当AABP三AADN时，BP=4V2-4.

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的

性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助

线，属于中考压轴题.

①正确，△APE^Rt△APB,即可得出结论；

②错误，设ND=NE=y,在RtAPCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题；

③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；

④错误，作MG1AB于G,因为=溟不称=71^47/，所以AG最小时AM最

小，构建二次函数，求得AG的最小值为3,AM的最小值为5；

⑤正确，在上取一点K使得4K=PK,列出关于的方程即可解决问题.

【解答】

解：••・四边形ABC。是正方形，

•••乙D=Z.B=Z-BAD=90°,AD=AB,

由折叠知，(AEN=Z,B=90°,AE=AB,

・・.AD=AB=AE,乙D=乙AEN=90°,

在Rt△力DN和RtAAEN中，

^AD=AE

・•・Rt2ADN三RtAAEN,

・••乙DAN=乙EAN,

(sp_AP

1£Rt△APE^RtAAPB,{?r[

IAE-ALf

・•・RtLAPE^RtLAPB,

・•.Z.EAP=乙BAP,

•・•乙DAN=乙EAN,乙BAD=90°,

・•.Z.PAN=45°,

故①正确；

当PB=PC=PE=2时，

由折叠知，ND=NE,

设ND=NE=y,

在RtAPCN中，(y+2)2=(4-y)2+22,

解得y=p

：.NE手EP,故②错误；

设PB=x,贝!]CP=4-x,

•••△CMP-ABPA,

PB_AB

••CM-PCf

•••CM=i%(4-%),

X4

S四边形AMCB=|[4+；(-x)]x4=-|x2+2x+8=-|(x-2)2+10,

x=2时，四边形AMCB面积最大值为10,故③正确；

作MG14B于G,

•••AM=y/MG2+AG2=y/16+AG2,

•••4G最小时AA1最小，

•••4G=4B-BG=AB-CM=4—qx(4-x)=:(x—2)2+3,

x=2时，AG最小值=3,

AM的最小值=V16+9=5,故④错误；

,­,AABP=LADN时，

•••NPAB=4DAN=22.5°,在AB上取一点K使得AK=PK,

•••NKPA=Z.KAP=22.5°

•••乙PKB=/.KPA+4KAp=45°,

•••ABPK=乙BKP=45°,

PB=BK,AK=PK=正PB,

：.PB+V2PB=4,

PB=4V2-4,故⑤正确.

故答案为：①③⑤.

3.如图，在2L4BC,Z.BAC=45",^ACB=60°,BC=473-4,。是8c边上异于点

B,C的一动点，将回48。沿A3翻折得到回ABE,将回4CD沿AC翻折得到回2CF,连

接EF,则四边形EBC尸面积的最大值是.

【答案】18-8V3

【解析】

【分析】

本题主要考查翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的定义、二次函

数的综合应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；解题时设CD=x,贝”0=4次-

4-x,由将AABD沿翻折得至IjElABE,将回4CD沿AC翻折得至旭ACF,可知回ABE三回

ABD,团ACF=^\ACD,由止匕可得BE=BD,CF=CD,然后分另U过点E、F做EN1BC于点

N,FMJ.BC于点、M,由三角形内角和定理、邻补角的定义易得4EBN=30。，Z.FCM=60°,

进而可得硒、BN、CM、MW的大小，最后由四边形EBCF面积等于梯形EMWF的面积减

去AEBN,再减去Z1CFM的面积得出关于x的函数，由二次函数函数的性质求解即可；

【解答】

解设CD=x,则BD=4'\/3—4—x»

•.・将△4BD沿AB翻折得至!]△ABE,将44CD沿AC翻折得至!!△ACF,

•••△ABEmAABD,△ACF^AACD,

•••4ABE=UBD,/.ACF=z4CZ)=60°,

BE=BD=4V3-4-x,CF=CD=x,

如图，分别过点E、尸做EN1BC于点N,FMLBC于点M,

ACI；,^\(II"I,

^ABC=75°,AEBN=30°,AFCM=60°,

EN=：BE,BN=yBF,

CM=^CF,MF=~CF,

■■NM=NB+BC+CM,

NM=—BE+BC+-CF

22

:.s四腐£犷。1S“A£\.”F―必£6A-S^CMr

111

=5(EN+FM)•NM--BN-EN--CM-FM

1]]

Voz/—、2

=——(4^/3—4—x)H——x,———4一汽)+4A/3—4+—X———(^4v3—4—xj

乙乙乙乙乙8

_V32

8x

1L

=-7+2%+16-8\3

1

=--(X-2)2+18-8V3

.•.当x=2时，四边形E8CP的面积最大，为18-8g，

故答案为18-8V3.

4.如图，矩形A3。中，AB=6,AO=8,点E在边AD上，CE.ED

与BD相交于点E设DE=x,BF=y,当0<x<8时，y关于x的

函数解析式为一.

【答案】，=提

【解析】解：在矩形中，AD//BC,

DEF~ABCF,

.DE_DF

''BC~BF9

•・•BD=ylBC2+CD2=10，BF=y,DE=%,

.・.DF=10—y,

xIQ-y曰80

=h，化间得：y=—.

••.y关于x的函数解析式为：y=E

X+o

故答案为：y=^-.

根据题干条件可证得△DEfsABCG从而得到£=£,由线段比例关系即可求出函数解析

BCBF

式.

本题主要考查的是相似三角形的判定与性质定理，难度不大，熟练掌握性质和判定定理是解

得本题的关键，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用.

三、解答题

5.如图，已知抛物线与x轴交于4(一1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,直线y=-2乂+3

经过点C,与无轴交于点D

(1)求该抛物线所对应的函数关系式；

(2)点尸是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t(0<t<3).求4PCD的面

积的最大值；

(3)在(2)的条件下是否存在点P,使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在,

求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)直线y=-2%+3与x轴、y轴的交点坐标分别为：C(0,3),。(|,0),

•.・抛物线与无轴交于4(一1,0)、B(3,0)两点，

•••设所求抛物线的函数关系式为：y=a(x+l)(x-3),

把点C(0,3)代入，得：3=a(0+l)(0-3),

解得a=-1,.•.所求抛物线的函数关系式为：y=+-3)=—M+2x+3；

(2)过点P作PE1y轴于点F,交£>C于点E,

由题意，设点尸的坐标为(t,—t2+2t+3),则点E的纵坐标为一t2+2t+3.

以y=-t2+2t+3代入y=-2x+3,得x=

.・•点E的坐标为(与4,一/+2t+3),

cl八t2-2t-t2+4t

PE=t------=------

22

1

S“CD=^PE'CO

1-t2+4t3

=-x-----x3

22

2

=-2(t-2)+3

va=——<0,且0VtV3,

4

当t=2时，△PCD的面积最大值为3.

(3)△PCD是以CO为直角边的直角三角形分两种情况：

(I)若NPCD=90。，如图2,过点P作PG轴于点G,

则4PGCfCOD,

.噌=需，即(=*£,整理得2产-3t=0,解得h=

3

2

,t2=0(舍去)

・••点P的坐标为(

3

2

15

4

)

（□）若NPOC=90。，如图3,过点尸作P”l%轴于点H,

贝以「“。〜△00C

PH

DO

DH

CO

,即

—力2+2t+3

1.5

t-1.5

3

整理得4t2-6力-15=0,解得匕=

3+

V69

4

二点P的坐标为（9咨,%竺）.

综上所述，当△PC。是以CO为直角边的直角三角形时，点尸的坐标为（

3

2

15

4

\或/-3+V69-3+V69.

(4'8J

【解析】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点

的坐标特征、三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角

形相似的性质和判定，善于用方程的思想求点的坐标.

(1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式；

(2)如图1,作辅助线PF,设点P的坐标为(t,-产+2t+3),则点E的纵坐标为-/+2t+3,

表示PE的长，根据三角形面积公式可得S与r的关系式，配方后可得最值；

(3)根据等腰三角形的性质和点的坐标、勾股定理得出关于f的方程，解方程即可确定点的

坐标.

6.如图，O4=OB=50cni,0c是一条射线，0cl4B,甲小虫由点A以2cm/s的速度

向点8爬行，同时乙小虫由点。以3cm/s的速度沿0C爬行，当甲小虫到达点8时两只

小虫同时停止爬行.

CC

备用图

(1)设小虫运动的时间为XS,两小虫所在位置与点。组成的三角形的面积为四m2(不妨

设甲小虫到达点。时，y=0),求y与x之间的函数关系式.

(2)当小虫运动的时间为多少时，两小虫所在位置与点O组成的三角形的面积等于

450cm2?

(3)请直接说明y随x的变化而变化的情况.

【答案】解：(1)当甲小虫位于点。左侧，即0Wx<25时，y=*50-2x)-3x=—3x2+

75%；当甲小虫位于点。右侧，即25<xW50时，丫="2%-50)-3刀=3/-75%，

—3x2+75x(04工v5)

综上，y与X之间的函数关系式为y-IHr25)；

3x*—75x(25<]£50)

(2)当0<x<25时，令—3/+75%=450,

解得x=10或15,

当25<x<50时，令3--75X=450,

解得x=30或一5(不合题意，舍去)，

故当小虫运动的时间为10s,15s或30s时，两小虫所在位置与点。组成的三角形的面积等

JF450cm2；

⑶当0<%<12,5时，y随x的增大而增大；当12.5<x<25时，随x的增大而减小；当25<

xW50时，y随x的增大而增大.

【解析】本题主要考查二次函数的综合题，一元二次方程的应用，注意分类讨论.

(1)可分三种情况列函数关系式：当甲小虫位于点。左侧；当甲小虫位于点。右侧；当甲小

虫位于点。时；

(2)可分两种情况：当0W%<25时；当