2025年高考数学复习大题题型归纳：三角函数与三角恒等变换（原卷）

专题01三角函数与三角恒等变换

一、三角函数

1.如图，P,Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点4(1,0)出发，沿逆时针方向作匀角速

度运动，其角速度分别为(单位：弧度/秒)，M为线段PQ的中点，记经过x秒后(其中0WXW6),八支)=

\OM\

(I)求y=fO)的函数解析式；

(H)将/(久)图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到y=g(x)的图象，求函数g=g(%)的单调递减区

间.

2.设函数/(久)=4cos%sin(%—()+百，xG.R.

(I)当［0弓］时，求函数"久)的值域；

(II)已知函数y=/(久)的图象与直线：=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

3.已知tana=4，且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sin2(]+a)+sina•cos(7i—a)的值.

4.如图，某市准备在道路所的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段用C.该曲线段是函

数y=4sin(3久+芟)(力＞0,3〉0),%£[-4,0]时的图象，且图象的最高点为B(—l,2),赛道的中间部

分为长百千米的直线跑道CD,且CD〃即；赛道的后一部分是以。为圆心的一段圆弧DE.

(1)求3的值和的大小；

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路E尸上，一个顶点在半

径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时尸点的位置.

5.在△ABC中，内角力，B,C所对的边分别为a,瓦c.已知6+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值；

(II)求sin(2B+§的值.

6.已知函数/(%)=2cos23%-1+2V3sintoxcoscox(0<to<1),直线X=方是函数/(%)的图象的一条对称轴.

(1)求函数段)的单调递增区间;

(2)已知函数尸g(x)的图象是由y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移g个单位

长度得到的，若g(2a+/)=aaE(0,“，求sina的值.

7.已知函数/(%)=2sin(2cox+£)+1.

(1)若/(%D</(%)<f(%2)，kl-^21min=p求f(%)的对称中心;

(2)已知0<3<5,函数/(%)图象向右平移,个单位，得到函数g(%)的图象，x=宙是次%)的一个零点，若函

数g(%)在［加71］(771,71eR且THVn)上恰好有10个零点，求九一TH的最小值；

(3)已知函数h(%)=acos(2x-7)-2Q+3(a>0),在第(2)问条件下，若对任意％1G［。，3，存在%2E［。，台，

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使得人(%1)=g(%2)成立，求实数a的取值范围.

8.已知函数g(%)=sin(%-习，/i(x)=cosx,从条件①/(%)=g(%),/i(x)>条件②f(%)=g(%)+/i(x)这两

个条件中选择一个作为已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

(2)/(x)在区间［。,月上的最小值.

9.在A4BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且cos8=9—2.

c2c

⑴求c；

(2)若c=2a,求sinB.

10.已知函数/(%)=sin®%+0)(3>0,x='是函数/(%)的对称轴，且f(%)在区间&号)上单调.

⑴从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得/(%)的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数/(X)的图象经过点人(0,3；

条件②：厚0)是f(x)的对称中心；

条件③：管,0)是/(%)的对称中心.

(2)根据(1)中确定的"%),求函数y=/(%)(%€[。,||)的值域.

11.已知向量H=(sin居：),方=(cosx,—1).

⑴当时，求cos2%—sin2%的值；

(2)设函数/(%)=25+石)•瓦已知在△4SC中，内角/、从。的对边分别为a,b,c,若a=百/=2,sinB=

争求/(x)+4cos(24(XG[o,1)的取值范围.

12.已知4a〈兀，tanad

(1)求tana的值；

__p.sma+cosa

⑵zx求嬴大的值;

(3)求2sin2a—sinacosa—3cos2a.的值

13.已知函数/(%)=2sinx•sin(%+，).

(1)求/(%)的单调递增区间；

(2)若对任意卜,目,都有上(久)一当w字，求实数t的取值范围.

14.已知函数/(%)=sin(2%+§+cos(2%+9一2sinxcosx.

(1)求函数/(久)的最小正周期及对称轴方程;

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移堤个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,

得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在[0,2初上的单调递减区间.

15.已知函数/'(久)=b-(a+c),其中向量方=(sinx,—3cosx),b=(sinx,—cosx),c=(—cosx,sinx),xER.

(1)求f(x)的解析式及对称中心和单调减区间；

(2)不等式|/(x)-加＜3在xC[,耳上恒成立，求实数m的取值范围.

16.已知函数/(%)=2sin2(%+；)+V2cos1(sin%—cos%).

(1)求函数/(%)的对称中心及最小正周期；

(2)若会卷)，fW=p求tan。的值.

17.已知函数f(%)=4sin(3%+@)+B(4>0,3>9的部分图象如图所示.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)将函数y=/(%)图象上所有的点向右平移:个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.当xe[0,制时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根,

x1,x2,x3(x1<%2<%3)，求实数a的取值范围以及亚+2%2+%3的值.

18.已知y=/(%)为奇函数，其中/(%)=cos(2x+0),0G(O,7i).

(1)求函数y=/(%)的最小正周期和/(%)的表达式；

(2)若/停)=，a€仔,兀),求sin(a+习的值.

19.已知函数/(%)=Zsin(3%+0)(Z>0,3>0,0V0V/)同时满足下列四个条件中的三个：①/(一£)=。;

②/(。)=一1；③最大值为2；④最小正周期为兀.

(1)给出函数/(%)的解析式，并说明理由；

⑵求函数/(%)的单调递减区间.

20.已知函数/(%)=2sin(a)%+R)(to>0,\(p\<的部分图象如图所示.

⑴求f(%)的解析式，并求/(%)的单调递增区间；

⑵若对任意xe[蜀，都有I/O)/(%—£)—1|<1,求实数t的取值范围.

二、三角恒等变换

cos2x

21.已知函数f(%)=

sin(%+》•

(1)如果f(a)=I，试求sin2a的值；

(2)求函数/(%)的单调区间.

22.设/(%)=sin%+cosx(xER).

⑴判断函数y=/(％+§『的奇偶性，并写出最小正周期；

(2)求函数y=/(%)/(x-在［0,月上的最大值.

23.设函数/(%)=i4sintoxcoscox+cos2a)x(A>0,a>0),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两

个作为已知，使得/(%)存在.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)当％e［。/，若函数g(%)=/(%)-m恰有两个零点，求机的取值范围.

条件①：/(%)=/(-%)；

条件②：作)的最小值为，

条件③：n>)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为］

24.已知函数/(%)=2sin3%cos0+2sin@—4sin2^ysin^(o)>0,\(p\<兀)，其图象的一条对称轴与相邻对称

中心的横坐标相差｝______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数/(%)的图象向左平移与

40

个单位长度后得到的图象关于y轴对称且/(0)<0；②函数/(%)的图象的一个对称中心为(右,0)且>0.

(1)求函数/(%)的解析式;

(2)将函数/(x)图象上所有点的横坐标变为原来的q(t>0)倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若函

数y=g(x)在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.

25.设函数/(无)=2sin2<i)x+2Vasina尤costox的图象关于直线x=兀对称，其中3为常数且o)G&1)

(1)求函数/(久)的解析式；

(2)在AABC中，已知/(4)=3,且B=2C,求cosAcosC的值.

26.已知扇形。的半径为1,4A0B=全尸是圆弧上一点(不与/,3重合)，过P作PM1Q4,PN_L。3,

M,N为垂足.

(1)若PM=g,求PN的长；

(2)设乙40P=x,PM,PN的线段之和为y,求y的取值范围.

27.设函数f(x)=苧sin2tox+cos2(ox,其中0<3<2.

(1)若f0)的最小正周期为兀，求f0)的单调增区间；

⑵若函数/(%)图像在(o司上存在对称轴，求3的取值范围.

28.在①函数y=f(%)的图像关于直线X=：对称；

②函数y=f(x)的图像关于点P《,0)对称；

③函数y=八久)的图像经过点Q(g,-2)；

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知函数/'(%)=2sin3久cosg+2cos3久sin。(3>0,\(p\<3最小正周期为兀,

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)函数人久)在，，目上的最大值和最小值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

29.已知函数f(%)=2sin3%cos0+2sinw-4sin2^sin^(3>0,\(p\<兀)，其图像的一条对称轴与相邻对

称中心的横坐标相差％,从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.

①函数f(x)的图像向左平移W个单位长度后得到的图像关于了轴对称且/(0)<0；

②函数f(x)的图像的一个对称中心为哙,0)且/。>0.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若关于x的方程外久)(2x—§=2巾有实根，求实数优的取值范围.

30.已知函数f(%)=[sin(o)x+0)-V3cos(o)x+^)]cos(o)x+cp)+[(3>0,0<0<今为奇函数,且其图

象相邻两对称轴间的距离为全

(1)求3和6

(2)当xG卜已兀］时,记方程23f(%+］=租的根为％I，%2，%3(%1V%2V,求TH•这二的范围.

%1—％3

31.已知函数f(%)=-tan%tan2%+V3(sin2x—cos2x).

tan2x-tanx

(1)求函数/(%)的定义域；

(2)若％G(。小(是),求函数/(久)的单调区间.

32.在锐角△力BC中，角力，B,C所对的边分别为a,b,c,已知百tanAtanCtanX+tanC+V3.

(1)求角B的大小；

(2)求cos/l+cosC的取值范围.

33.已知/'(无)=sinotx—V3costox,to>0.

⑴若函数/(久)图象的两条相邻对称轴之间的距离为全求/停)的值；

⑵若函数/(X)的图象关于信,0)对称，且函数/(久)在［。司上单调，求3的值.

34.已知函数/(x)=asinxcosx+cos(2久+)且

⑴求a的值和/(%)的最小正周期；

(2)求f(久)在［0,句上的单调递增区间.

35.已知方=(sinx+cosx,2cos8),b=(2sin8，sin2x).

⑴若k=(一3,4)且K=：,ee(OH)时，工与7的夹角为钝角，求cos。的取值范围;

(2)若。=三，函数/0)=2•反求f(x)的最小值.

36.在△ABC中，4B,C对应的边分别为a,hc,且力,8<泉且

2sinC+cos2i4+cos2B=2

⑴求c；

⑵若a=6=2,BC上有一动点P(异于瓦C),将△力BP沿4P折起使AP与CP夹角为:，求力B与平面ACP

所成角正弦值的范围.

37.已知函数/(x)=2V^sin3xcos3x-2sin2sx+1(0<3<2).在下面两个条件中选择其中一个，完成下

面两个问题:

条件①：在f(x)图象上相邻的两个对称中心的距离为关

条件②：/(%)的一条对称轴为x=£.

O

(1)求①；

(2)将fO)的图象向右平移汐单位(纵坐标不变)，得到函数或久)的图象，求函数g(x)在卜羽上的值域.

38.正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度

不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：U(t)=Hsin(2兀九+0),其

中V(t)表示正弦信号的瞬时大小电压修(单位：V)是关于时间f(单位：s)的函数，而4>0表示正弦信

号的幅度，/是正弦信号的频率，相应的7=当为正弦信号的周期，R为正弦信号的初相.由于正弦信号是一种

最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源(输入信号)去研

究整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有

四个电阻，电阻值分别为R2,R3,R4(单位：。)"i(t)和匕。)是两个输入信号，/⑴表示的是