2025届浙江省杭州市三墩中学第二学期期末学生学业质量监测初三数学试题含解析

2025届浙江省杭州市三墩中学第二学期期末学生学业质量监测初三数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，直线MN垂直平分AB交AC于D，连接BD，则△BCD的周长等于（）A．13 B．14 C．15 D．162．实数的相反数是（）A． B． C． D．3．2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600千米的洲际量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字7600用科学记数法表示为（）A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×1024．在平面直角坐标系中，将点P（4，﹣3）绕原点旋转90°得到P1，则P1的坐标为（）A．（﹣3，﹣4）或（3，4） B．（﹣4，﹣3）C．（﹣4，﹣3）或（4，3） D．（﹣3，﹣4）5．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2018的坐标是（）A．（1，4） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1）6．下列各数中负数是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2|C．（﹣2）2D．﹣（﹣2）37．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C，B，E在y轴上，Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，若点B的坐标为（0，1），OD＝2，则这种变化可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度C．△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度8．对于反比例函数y=﹣2xA．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．图象经过点（1，﹣2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y29．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%．为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位：m1)，绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：①年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费；②年用水量不超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费；③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180m1之间；④该市居民家庭年用水量的众数约为110m1．其中合理的是()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．从，0，π，，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A． B． C． D．11．如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为A．B．C．D．12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为A．6 B． C． D．3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，圆锥底面圆心为O，半径OA＝1，顶点为P，将圆锥置于平面上，若保持顶点P位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点A恰好回到原处，则圆锥的高OP＝_____．14．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________.16．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．17．函数中自变量的取值范围是______________18．若式子有意义，则x的取值范围是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）填空并解答：某单位开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先办理”的方式服务，该窗口每2分钟服务一位顾客．已知早上8：00上班窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口工作1分钟后，又有一位“新顾客”到达，且以后每5分钟就有一位“新顾客”到达．该单位上午8：00上班，中午11：30下班．（1）问哪一位“新顾客”是第一个不需要排队的？分析：可设原有的6为顾客分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6，“新顾客”为c1、c2、c3、c4…．窗口开始工作记为0时刻．a1a2a3a4a5a6c1c2c3c4…到达窗口时刻000000161116…服务开始时刻024681012141618…每人服务时长2222222222…服务结束时刻2468101214161820…根据上述表格，则第位，“新顾客”是第一个不需要排队的．（2）若其他条件不变，若窗口每a分钟办理一个客户（a为正整数），则当a最小取什么值时，窗口排队现象不可能消失．分析：第n个“新顾客”到达窗口时刻为，第（n﹣1）个“新顾客”服务结束的时刻为．20．（6分）如图，正方形ABCD的边长为2，BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP记作l.(1)若l的解析式为y＝2x＋4，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；(2)当直线l与AD边有公共点时，求t的取值范围．21．（6分）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的距离.22．（8分）我校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．组别正确数字x人数A0≤x＜810B8≤x＜1615C16≤x＜2425D24≤x＜32mE32≤x＜40n根据以上信息解决下列问题：（1）在统计表中，m=，n=，并补全条形统计图．（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是．（3）有三位评委老师，每位老师在E组学生完成学校比赛后，出示“通过”或“淘汰”或“待定”的评定结果．学校规定：每位学生至少获得两位评委老师的“通过”才能代表学校参加鄂州市“汉字听写”比赛，请用树形图求出E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率．23．（8分）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝1．24．（10分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)25．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；（2）如图2，若∠ACP=45°，求m的值；（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．26．（12分）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．27．（12分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】

由AB的垂直平分MN交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由△CDB的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC，即可求得答案．【详解】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AB＝AC＝10，∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝10，∴△BCD的周长＝AC+BC＝10+6＝16，故选D．此题考查了线段垂直平分线的性质，比较简单，注意数形结合思想与转化思想的应用．2、D【解析】

根据相反数的定义求解即可．【详解】的相反数是-，故选D．本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．3、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：7600＝7.6×103，故选B．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、A【解析】

分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形求解即可.【详解】解：如图,分两种情形旋转可得P′(3,4),P″(−3,−4)，故选A.本题考查坐标与图形变换——旋转，解题的关键是利用空间想象能力.5、D【解析】

先根据反射角等于入射角先找出前几个点，直至出现规律，然后再根据规律进行求解.【详解】由分析可得p(0,1）、、、、、、等，故该坐标的循环周期为7则有则有，故是第2018次碰到正方形的点的坐标为（4，1）.本题主要考察规律的探索，注意观察规律是解题的关键.6、B【解析】

首先利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简，进一步利用负数的意义判定即可．【详解】A、-（-2）=2，是正数；B、-|-2|=-2，是负数；C、（-2）2=4，是正数；D、-（-2）3=8，是正数．故选B．此题考查负数的意义，利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简是解决问题的关键．7、C【解析】

Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE,应先旋转然后平移即可【详解】∵Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，点B的坐标为（0，1），OD＝2，∴DO＝BC＝2，CO＝3，∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE；或将△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE；故选：C．本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化8、D【解析】

根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B.k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵-2D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0<x2,则y2<y1，故本选项错误.故选:D.考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.9、B【解析】

利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案．【详解】①由条形统计图可得：年用水量不超过180m1的该市居民家庭一共有（0.25+0.75+1.5+1.0+0.5）=4（万），

×100%=80%，故年用水量不超过180m1的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②∵年用水量超过240m1的该市居民家庭有（0.15+0.15+0.05）=0.15（万），

∴×100%=7%≠5%，故年用水量超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费，故此选项错误；

③∵5万个数据的中间是第25000和25001的平均数，

∴该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；

④该市居民家庭年用水量为110m1有1.5万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110m1，因此正确，

故选B．此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键．10、C【解析】

根据有理数的定义可找出在从，0，π，，6这5个数中只有0、、6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．【详解】∵在，0，π，，6这5个数中有理数只有0、、6这3个数，∴抽到有理数的概率是，故选C．本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键．11、B【解析】分析：分析y随x的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1。∴当点M位于点A处时，x=0，y=1。①当动点M从A点出发到AM=的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等，故排除A、C。故选B。12、D【解析】

解：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD，，所以在Rt△AEC中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=AB=,所以CD=2CE=3，故选D.本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、2【解析】

先利用圆的周长公式计算出PA的长，然后利用勾股定理计算PO的长．【详解】解：根据题意得2π×PA＝3×2π×1，所以PA＝3，所以圆锥的高OP＝PA故答案为22本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14、3.6【解析】分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．设乙的速度为xkm/h4.5×6+2.5x=36解得x=3.6故答案为3.6点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．15、.【解析】

根据判别式的意义得到，然后解不等式即可.【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，故答案为：.此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根.16、6或2或12【解析】

首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算．【详解】由方程，得=2或1．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是1，1，1时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，1时，2+2=1，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三角形的三边是1，1，2时，则三角形的周长是1+1+2=2．综上所述此三角形的周长是6或12或2．17、x≤2且x≠1【解析】

解：根据题意得：且x−1≠0，解得：且故答案为且18、x＞．【解析】解：依题意得：2x+3＞1．解得x＞．故答案为x＞．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）5；（2）5n﹣4，na+6a．【解析】

(1)第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第11位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；(2)由表格中信息可得，“新顾客”到达时间为1，6，11，16，…，则第n个“新顾客”到达窗口时刻为5n﹣4，由表格可知，“新顾客”服务开始的时间为6a，7a，8a，…，第n﹣1个“新顾客”服务开始的时间为(6+n﹣1)a=(5+n)a，第n﹣1个“新顾客”服务结束的时间为(5+n)a+a=na+6a．【详解】(1)第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第11位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；故答案为：5；(2)由表格中信息可得，“新顾客”到达时间为1，6，11，16，…，∴第n个“新顾客”到达窗口时刻为5n﹣4，由表格可知，“新顾客”服务开始的时间为6a，7a，8a，…，∴第n个“新顾客”服务开始的时间为(6+n)a，∴第n﹣1个“新顾客”服务开始的时间为(6+n﹣1)a=(5+n)a，∵每a分钟办理一个客户，∴第n﹣1个“新顾客”服务结束的时间为(5+n)a+a=na+6a，故答案为：5n﹣4，na+6a．本题考查了列代数式，用代数式表示数的规律，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，寻找规律，列出代数式．20、(1)点A在直线l上，理由见解析；(2)≤t≤4.【解析】

（1）由题意得点B、A坐标，把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4得出y的值，即可得出点A在直线l上；（2）当直线l经过点D时，设l的解析式代入数值解出即可【详解】(1)此时点A在直线l上．∵BC＝AB＝2，点O为BC中点，∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4，得y＝2，等于点A的纵坐标2，∴此时点A在直线l上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l经过点D时，设l的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，∴解得由(1)知，当直线l经过点A时，t＝4.∴当直线l与AD边有公共点时，t的取值范围是≤t≤4.本题考查的知识点是一次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握一次函数综合题.21、1.5千米【解析】

先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN,再利用相似三角形的性质解答即可【详解】在△ABC与△AMN中，，，∴，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，即，解得MN=1.5(千米)，因此，M、N两点之间的直线距离是1.5千米.此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握运算法则22、（1）m=30，n=20，图详见解析；（2）90°；（3）.【解析】分析：(1)、根据B的人数和百分比得出总人数，从而根据总人数分别求出m和n的值；(2)、根据C的人数和总人数的比值得出扇形的圆心角度数；(3)、首先根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出答案．详解：（1）∵总人数为15÷15%=100（人），∴D组人数m=100×30%=30，E组人数n=100×20%=20，补全条形图如下：（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是360°×=90°，（3）记通过为A、淘汰为B、待定为C，画树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中获得两位评委老师的“通过”有7种情况，∴E组学生王云参加鄂州市“汉字听写”比赛的概率为．点睛：本题主要考查的就是扇形统计图、条形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型．解决这个问题，我们一定要明白样本容量=频数÷频率，根据这个公式即可进行求解．23、(x﹣y)2；2.【解析】

首先利用多项式的乘法法则以及多项式与单项式的除法法则计算，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．【详解】原式=x2﹣4y2+4xy(5y2-2xy)÷4xy＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2，＝(x﹣y)2，当x＝2028，y＝2时，原式＝(2028﹣2)2＝(﹣2)2＝2．本题考查的是整式的混合运算，正确利用多项式的乘法法则以及合并同类项法则是解题的关键.24、(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+40)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(﹣)]千米．【解析】

（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【详解】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40(千米)，AC＝(千米)，AC+BC＝80+(千米)，答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+)千米；(2)∵cos30°＝，BC＝80(千米)，∴BD＝BC•cos30°＝80×(千米)，∵tan45°＝，CD＝40(千米)，∴AD＝(千米)，∴AB＝AD+BD＝40+(千米)，∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+﹣40﹣＝40+40(千米)．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40]千米．本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．25、（1）y=x2﹣3x+1；tan∠ACB=；（2）m=；（3）四边形ADMQ是平行四边形；理由见解析.【解析】

（1）由点A、B坐标利用待定系数法求解可得抛物线解析式为y=x2-3x+1，作BG⊥CA，交CA的延长线于点G，证△GAB∽△OAC得=，据此知BG=2AG．在Rt△ABG中根据BG2+AG2=AB2，可求得AG=．继而可得BG=，CG=AC+AG=，根据正切函数定义可得答案；（2）作BH⊥CD于点H，交CP于点K，连接AK，易得四边形OBHC是正方形，应用“全角夹半角”可得AK=OA+HK，设K（1，h），则BK=h，HK=HB-KB=1-h，AK=OA+HK=2+（1-h）=6-h．在Rt△ABK中，由勾股定理求得h=，据此求得点K（1，）．待定系数法求出直线CK的解析式为y=-x+1．设点P的坐标为（x，y）知x是方程x2-3x+1=-x+1的一个解．解之求得x的值即可得出答案；（3）先求出点D坐标为（6，1），设P（m，m2-3m+1）知M（m，1），H（m，0）．及PH=m2-3m+1），OH=m，AH=m-2，MH=1．①当1＜m＜6时，由△OAN∽△HAP知=．据此得ON=m-1．再证△ONQ∽△HMQ得=．据此求得OQ=m-1．从而得出AQ=DM=6-m．结合AQ∥DM可得答案．②当m＞6时，同理可得．【详解】解：（1）将点A（2，0）和点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+1，得，解得：；∴该抛物线的解析式为y=x2﹣3x+1，过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于点G（如图1所示），则∠G=90°．∵∠COA=∠G=90°，∠CAO=∠BAG，∴△GAB∽△OAC．∴=2．∴BG=2AG，在Rt△ABG