江苏省无锡市积余教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省无锡市积余教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下面几组数，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．1.5，2，2.5 B．3，4，5 C．6，8，12 D．30，40，503．（3分）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，要说明△ABC≌△DEF，需要添加的条件不能是（）A．∠ABC＝∠DEF B．AC⊥DE C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF4．（3分）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，AC＝5，BC＝9 B．∠A＝90°，AB＝5 C．∠A＝75°，∠B＝35°，AB＝5 D．AB＝7，BC＝5，∠A＝45°5．（3分）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．（3分）下列说法中，说法正确的有（）（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l是该线段的垂直平分线；（2）两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧；（3）到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上；（4）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3分）如图，△ABC中，△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，D、E是BC边上的两点，且∠ADE＝2∠DAE＝72°，则图中等腰三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．78．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，点D是BC边上的动点（点D与点B、C不重合），设点O为线段AD中点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接OC、OE．若∠BAC＝40°，则在点E运动过程中∠COE的大小为（）A．70° B．80° C．90° D．100°9．（3分）如图，AD是△ACD的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和41，则△EDF的面积为（）A．19 B．13.5 C．9.5 D．510．（3分）如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点F，BD交CE于点G，交AE于点O．下列结论中，正确的有（）（1）DB＝AE；（2）∠AFC＝∠DGC；（3）∠AOB＝120°；（4）DG＝AF；（5）△CFG是等边三角形．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）11．（3分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是．12．（3分）如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABC≌△ABD，需再添加一个条件是．13．（3分）直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．15．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是．16．（3分）如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为．17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A、B关于直线DE对称，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠BEF＝．18．（3分）如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、BC，连接DE、DF、CE、CF，DF交CE于点G，已知DE＝CE，DE⊥CE，BF＝BC＝5，AD＝15．如果△DEG的面积为S1，△CFG的面积为S2，则S1﹣S2＝．三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19．（8分）如图，AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC，求证：BC＝DE．20．（8分）如图，点C、F在线段BE上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC．判断AC和DF的关系，并说明理由．21．（10分）如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．①求证：AD＝BC；②若∠DAB＝80°，求∠ECB的度数．22．（10分）如图，AD、BC相交于点O，OA＝OB，∠C＝∠D．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若∠C＝90°，∠ABC＝25°，求∠CAO的度数．23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，CE＝BD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．24．（10分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，BE，DC相交于点F，连接DE．①求证：BE＝DC；②求∠BFD的度数；③若CD⊥AB，CD＝12，AB＝5，求DE的长．25．（10分）如图1，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝BD＝4，DC＝1，过点E作AE⊥BC于点E，交BD于点F．①求线段DF的长度；②连接DE，求证：∠DEF＝45°；③如图2，若点P为AB的中点，点M为线段BD延长线上一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交线段DA延长线于点N，则S△BPM﹣S△APN的值是否发生改变？若改变，请直接写出S△BPM﹣S△APN的变化范围；若不改变，请直接写出S△BPM﹣S△APN的值．

2023-2024学年江苏省无锡市积余教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）1．（3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下面几组数，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．1.5，2，2.5 B．3，4，5 C．6，8，12 D．30，40，50【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，不符合题意；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，不符合题意；C、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度，符合题意；D、302+402＝502，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．（3分）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，要说明△ABC≌△DEF，需要添加的条件不能是（）A．∠ABC＝∠DEF B．AC⊥DE C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF【分析】根据全等三角形的判定逐一判断即可．【解答】解：A．由∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，∠A＝∠D，可依据“ASA”判定△ABC≌△DEF，此选项不符合题意；B．由AC⊥DE无法证明△ABC≌△DEF，此选项符合题意；C．由∠ACB＝∠DFE，∠A＝∠D，AB＝DE，可依据“AAS”判定△ABC≌△DEF，此选项不符合题意；D．由AC＝DF，结合AB＝DE，∠A＝∠D可依据“SAS”判定△ABC≌△DEF，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．4．（3分）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，AC＝5，BC＝9 B．∠A＝90°，AB＝5 C．∠A＝75°，∠B＝35°，AB＝5 D．AB＝7，BC＝5，∠A＝45°【分析】A根据三角形的三边关系判断即可，B、C、D根据全等三角形的判定方法判定即可．【解答】解：A、3+5＝8＜9，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意；B、根据∠A＝90°，AB＝5，只有一个角和一条边不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；C、根据∠A＝75°，∠B＝35°，AB＝5，由ASA能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；D、根据AB＝7，BC＝5，∠A＝45°，由SSA不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5．（3分）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【分析】根据全等三角形的性质得到BE＝AC＝7，BC＝DE＝3，结合图形根据线段的和差计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，∴BE＝AC＝7，BC＝DE＝3，∴CE＝BE﹣BC＝7﹣3＝4，故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．6．（3分）下列说法中，说法正确的有（）（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l是该线段的垂直平分线；（2）两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧；（3）到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上；（4）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别依据轴对称的性质角平分线的性质以及全等三角形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l不一定是该线段的垂直平分线，原说法错误；（2）轴对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，原说法错误；（3）在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原说法错误；（4）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，说法正确；所以说法正确的有1个．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．本题还考查了全等三角形的判定，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．7．（3分）如图，△ABC中，△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，D、E是BC边上的两点，且∠ADE＝2∠DAE＝72°，则图中等腰三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：∵△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，∴AB＝AC，AD＝AE，∴△ABC，△ADE是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝36°，∴∠BAC＝108°，∵∠ADE＝2∠DAE＝72°，∴∠DAE＝36°，∵∠ABC+∠DAB＝∠ADE＝72°，∴∠DAB＝36°，∴AD＝AB，∴△ABD是等腰三角形；同理可得，△ACE是等腰三角形；∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝36°+36°＝72°，∴∠BAE＝∠AED，∴△BAE是等腰三角形；同理，△ACD是等腰三角形，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，点D是BC边上的动点（点D与点B、C不重合），设点O为线段AD中点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接OC、OE．若∠BAC＝40°，则在点E运动过程中∠COE的大小为（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OA＝OC＝OD，OA＝OE＝OD，得到OA＝OE＝OC＝OD，即可判定点A、C、D、E在以点O为圆心的同一个圆上，根据圆周角定理得到结论．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝24，BC＝10，AB＝26，∴∠ACB＝90°，∵点O为线段AD中点，∴OC＝OA，即OA＝OC＝OD，∵DE⊥AB，点O为线段AD中点，∴OE＝OA，即OA＝OE＝OD，∴OA＝OE＝OC＝OD，∴点A、C、D、E在以点O为圆心的同一个圆上，∴∠COE＝2∠BAC，∵∠BAC＝40°，∴∠COE＝80°，故选：B．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．9．（3分）如图，AD是△ACD的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和41，则△EDF的面积为（）A．19 B．13.5 C．9.5 D．5【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设△EDF的面积为S，同理：Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH，即41+S＝60﹣S，解得：S＝9.5，即△EDF的面积为9.5．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．10．（3分）如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点F，BD交CE于点G，交AE于点O．下列结论中，正确的有（）（1）DB＝AE；（2）∠AFC＝∠DGC；（3）∠AOB＝120°；（4）DG＝AF；（5）△CFG是等边三角形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意，利用全等全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质逐项判断分析即可．【解答】解：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，CE＝CB，∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB，∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴DB＝AE，∠EAC＝∠BDC，故（1）正确；∵∠AFC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACD＝180°﹣∠EAC﹣60°＝120°﹣∠EAC，∠DGC＝180°﹣∠BDC﹣∠DCE＝180°﹣∠BDC﹣60°＝120°﹣∠BDC，∴∠AFC＝∠DGC，故（2）正确；∵∠AOB＝180°﹣∠EAC﹣∠CBD＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝∠DCB，∠DCB＝180°﹣∠ACD＝120°，∴∠AOB＝120°，故（3）正确；在△ACF和△DCG中，，∴△ACF≌△DCG（ASA），∴AF＝DG，故（4）正确；由△ACF≌△DCG，得CF＝CG，∵∠FCG＝60°，∴△CFG是等边三角形，故（5）正确．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）11．（3分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是15：01．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，故答案为：15：01．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．12．（3分）如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABC≌△ABD，需再添加一个条件是∠ABC＝∠ABD．【分析】由于∠BAC＝∠BAD，加上AB为公共边，所以当添加∠ABC＝∠ABD时，依据“ASA”可判断△ABC≌△ABD．【解答】解：∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，∴当添加∠ABC＝∠ABD时，△ABC≌△ABD（ASA）．故答案为：∠ABC＝∠ABD．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．13．（3分）直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边为13．【分析】直接根据勾股定理进行计算．【解答】解：根据勾股定理，得斜边＝＝13．【点评】此题考查了勾股定理．熟记勾股数：5、12、13．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝35°．【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，即可求得∠C的度数．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，∴∠C＝35°．故答案为：35°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是6．【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到×4×8+×4×AC＝28，然后解一次方程即可．【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4，∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴×4×8+×4×AC＝28，∴AC＝6．故答案为6．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．16．（3分）如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为32．【分析】先利用等角的余角相等得到∠A＝∠C，则可根据“ASA”判断△ABF≌△CBD，所以BF＝BD＝8，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积．【解答】解：∵CB⊥AD，AE⊥CD，∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°，∵∠AFB＝∠EFC，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD，∵BF＝BC﹣CF＝16﹣8＝8，∴BD＝8，∴图中阴影部分面积＝•FC•BD＝×8×8＝32．故答案为：32．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A、B关于直线DE对称，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠BEF＝22.5°．【分析】根据轴对称的性质得出BE＝AE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．【解答】解：∵AB＝AC，点A、B关于直线DE对称，∴BE＝AE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝，∴∠EBF＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AF⊥BC，AB＝AC，∴BF＝FC，∴BF＝EF＝FC，∴∠BEF＝∠EBF＝22.5°，故答案为：22.5°．【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质得出BE＝AE解答．18．（3分）如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、BC，连接DE、DF、CE、CF，DF交CE于点G，已知DE＝CE，DE⊥CE，BF＝BC＝5，AD＝15．如果△DEG的面积为S1，△CFG的面积为S2，则S1﹣S2＝50．【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BEC，可得S△DAE＝S△CBE，AE＝BC＝5，AD＝BE＝15，由面积和差关系可求解．【解答】解：∵DE⊥CE，∴∠DEC＝90°＝∠A＝∠B，∴∠DEA+∠BEC＝90°＝∠DEA+∠ADE，∴∠ADE＝∠BEC，在△ADE和△BEC中，，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴S△DAE＝S△CBE，AE＝BC＝5，AD＝BE＝15，∴EF＝10，∵S1﹣S2＝S△DEF﹣S△EFC，∴S1﹣S2＝×10×15﹣×10×5＝50，故答案为：50．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）19．（8分）如图，AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC，求证：BC＝DE．【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，根据SAS证明△ABC≌△ADE，即可证出BC＝DE．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．20．（8分）如图，点C、F在线段BE上，∠A＝∠D，AB∥DE，BF＝EC．判断AC和DF的关系，并说明理由．【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得AC∥DF．【解答】解：AC＝DF，AC∥DF，理由如下：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．21．（10分）如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．①求证：AD＝BC；②若∠DAB＝80°，求∠ECB的度数．【分析】①证△ABC≌△EAD（SAS），即可得出结论；②由全等三角形的性质得∠CBA＝∠DAE，再证∠DAE+∠CAB＝∠CBA+∠CAB＝80°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】①证明：∵AB∥DE，∴∠E＝∠CAB，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴AD＝BC；②解：∵∠DAB＝80°，∴∠DAE+∠CAB＝80°，由①可知，△ABC≌△EAD，∴∠CBA＝∠DAE，∴∠DAE+∠CAB＝∠CBA+∠CAB＝80°，∴∠ECB＝∠CBA+∠CAB＝80°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．22．（10分）如图，AD、BC相交于点O，OA＝OB，∠C＝∠D．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若∠C＝90°，∠ABC＝25°，求∠CAO的度数．【分析】（1）利用AAS证明△ABC≌△BAD即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠CAB＝65°，根据全等三角形的性质得出∠DAB＝25°，根据角的和差求解即可．【解答】（1）证明∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（AAS）；②解：∵∠C＝90°，∠ABC＝25°∴∠CAB＝65°，∵∠DAB＝∠ABC，∠ABC＝25°，∴∠DAB＝25°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠DAB＝40°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△BAD是解题的关键．23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，CE＝BD．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，∵CE平分∠ACD，∴，∴∠B＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：△ADE是等边三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明△ABD≌△ACE是解此题的关键．24．（10分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，BE，DC相交于点F，连接DE．①求证：BE＝DC；②求∠BFD的度数；③若CD⊥AB，CD＝12，AB＝5，求DE的长．【分析】①由等边三角形的性质得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，则∠BAE＝∠DAC＝60°+∠BAC，即可证明△BAE≌△DAC，得BE＝DC；②设AB交CD于点G，由全等三角形的性质得∠ABE＝∠ADC，则∠BFD＝∠AGF﹣∠ABE＝∠AGF﹣∠ADC＝∠BAD＝60°；③因为△ABD是等边三角形，CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝∠ADB＝30°，则∠ABE＝∠ADC＝30°，所以∠BDE＝∠ABD+∠ABE＝90°，而BD＝AB