山东省聊城市莘县第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年度62级高三开学考试题数学注意事项：本试卷共4页.满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A. B. C.1 D.22.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（）A.2 B.4 C.8 D.124.若，则（）A. B. C. D.5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（）A. B. C. D.16.已知，，则（）A. B. C. D.7.记A，B为随机事件，已知，，，则（）A. B. C. D.8.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，17，18，20，32，则（）A.该组数据的极差为25B.该组数据的75%分位数为19C.该组数据的平均数为17D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等10.已知数列满足，，记数列的前项积为，前项和为，则（）A. B.C. D.11.已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记的边AC上的高为，则（）A.B.函数在定义域内单调递减C.点可能在以AC为直径的圆上D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_________.13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式：_________.①不是常函数②的最小正周期为2③不存在对称中心14.已知直线与椭圆交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线的方程为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆过点和.（1）求的离心率；（2）若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程.16.（15分）已知在中，，.（1）求；（2）设，求AB边上的高.17.（15分）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求二面角的余弦值.18.（17分）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数.19.（17分）（新题型）若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为.（1）若，，求集合；（2）若，，求集合；（3）设为大于1的常数，若，，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列.2024—2025学年度62级高三开学考试题数学参考答案选择题答案：1.D2.A3.C4.C5.D6.A7.D8.A9.ACD10.AD11.ABD1.D解：因为，所以，所以即，故.2.A解：因为，，且注意到，从而.故选：A.3.C解：因为该圆台的侧面积为，母线长，所以，解得，.4.C解：因为，所以.故选：C.5.D解：由正弦定理得，即，或.若，结合有，故舍去，，，，故答案选D.6.A解：因为，所以，而，所以，故，即，从而，故，故选：A.7.D解：记，由全概率公式有，代入数据有，解得，.8.A解：因为对任意，，都有成立，可得在R上是单调递减的，则，解得.9.ACD解：对于A项，极差等于，故A正确；对于B项，，故分位数为20，故B错误；对于C项，平均数等于，故C正确；对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确，故答案选ACD.10.AD解：已知数列满足，，则，，，所以数列是以3为一个周期的周期数列.对于A项，，A项正确；对于B项，，B项错误；对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误；对于D项，，，所以，D项正确.故选：AD.11.ABD解：对于A选项，由是偶函数有，则，得，故A正确；对于B选项，，由复合函数单调性判断有为减函数.故B正确；对于C选项，由B知，即.由对称性，可设，则.若点在以AC为直径的圆上，则有，代入即，即.若，则，不满足题意；若，.而，，故不可能在以AC为直径的圆上.故C错误；对于D选项，过点作轴的垂线交AC于点，则（当且仅当时取等），而，记，则，当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等，故的最大值为，故D正确.故答案选ABD.12.【答案】28解：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.13.【答案】（满足题意即可）14.【答案】解：设点，，点为弦AB的中点，有，将A，B两点代入椭圆方程，得，两式作差得，整理得.得直线的斜率为，直线的方程为，即.经检验符合题意.故答案为：.15.解：（1）由题意得，从而可得，的离心率.（2）联立，得，由，得，直线的一般式方程为：.16.解：（1），，即，又，，，.即，所以，.（2）由（1）知，，.由，由正弦定理，，可得，，.17（1）证明：取AB的中点，因为为棱BC的中点，所以，，又，，为的中点，所以，，所以四边形是平行四边形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，（3）取AC的中点，连接EG，因为为AB的中点，所以，又，所以，又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值为.18.解：（1）因为，，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以，.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有3个极值点.19.解：（1），当且仅当时，在R上取得最大值，故；（2）定义域为R，，令，则，令得，-0+极小值其中，故，，可以看出，，故有且仅有2个零点，分别为1和2，令得或1或2，12＋0－0＋0－极大值极小值极大值其中，故当或2时，取得最大值，故；（3），，，，，，令得，，