2025版高考数学全程一轮复习课前预备案第十章计数原理概率随机变量及其分布列第六节离散型随机变量的分布列均值期望与方差

第六节离散型随机变量的分布列、均值(期望)与方差必备知识1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列常用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn3.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi________0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值称E(X)＝________________＝________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________________为随机变量X的方差，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X(3)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝________________．(a，b为常数)②D(aX＋b)＝________________．(a，b为常数)【常用结论】均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．夯实基础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)测量全校所有同学的身高，在170cm～175cm之间的人数是离散型随机变量．()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)离散型随机变量分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．()2．(教材改编)已知X的分布列为X－101P111设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A．73C．－1D．13．(教材改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．4．(易错)袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数5．(易错)已知离散型随机变量X的分布列为：X012P0.51－2qq2则常数q＝________．第六节离散型随机变量的分布列、均值(期望)与方差必备知识3．（1）≥（2）14．略夯实基础1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝7答案：A3．解析：根据出现废品数分别是两个随机变量X、Y的分布列，得到甲生产废品期望是1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生产废品期望是1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵甲生产废品期望大于乙生产废品期望，∴甲、乙两人中技术较好的是乙．答案：乙4．解析：选项A，B是随机事件；