2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

直线与圆锥曲线的综合问题

(两课时)(1)弦长公式注意：一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式(2)面积公式消元一元二次方程消y消xOABcxy(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题解题思路：中点弦问题（点差法）点差法求解问题步骤巩固提升：(1)一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为()

（A）抛物线（B）双曲线（C）双曲线的一支（D）椭圆(2)（2011·辽宁高考）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()

（A）（B）1（C）（D）CCC4.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。.xoyFABMCND

求值

范围

专项提升1：椭圆综合lmmOxyFlmm分析：作出直线l及椭圆.观察图形，可以发现，利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解：由直线L的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交（为什么？）.设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0.①②另方程②的根的判别式△=0，得③解方程③得

由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程4x-5y+25=0.直线m与直线l间的距离所以，最小距离是思考：最大的距离是多少？

方法二：椭圆的参数方程例4：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被

平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造例4

已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差例4已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，法一：例5：法二：(此处设点M为弦AB的中点)例7：法三：用弦长公式求弦AB的长度对称与变换的思想在椭圆中的应用专项提升2：双曲线综合例1：如果直线

与双曲线

仅有一个公共点，求

的取值范围．

即

解：

由

得

方程只有一解

当

时，方程只有一解当

时，应满足

解得

故

引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围解：由得(1-k2)x2+2kx-5=0(*)即方程无解y=kx-1x2-y2=4∴1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)<0引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围解：直线与双曲线有两个公共点方程(*)有两个不等的根1-k2≠0△=4k2+20(1-k2)>0拓展延伸如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围x1x2=->0解：等价于4k2+20(1-k2)>0x1+x2=-2>01-k2≠0221<k<x1x2=->0解：等价于4k2+20(1-k2)>0x1+x2=-2<01-k2≠022-<k<-1解：等价于1-k2≠04k2+20(1-k2)>0x1x2=-<02-1<k<1引申3：引申4：引申5：例2、如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。解：解：解：思考：若改变角度，问题的解决是否变化？解：变形１：解：变形２：xyo..NM例3、xyo..NMxyo..NM例4、过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。特殊：如果直线过焦点，我们可以利用

焦半径公式来求解。解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例5、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。它有两个实根，必须,分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b例6专项提升2：抛物线综合例1当b为何值时,直线y=-2x+b与抛物线(1)相交,(2)相切,(3)相离?解：由方程组{

消去y，并整理得(1)当即b>-2时，直线与抛物线相交(2)当即b=-2时，直线与抛物线相切（2）当即(3)当即b<-2时，直线与抛物线相离

例2求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.由{

得{故直线x=0与抛物线只有一个交点.

解:(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是由方程组{消去y得

(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1,x=0.故直线y=1与抛物线只有一个交点

.当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。当k=0时，x=,y=1.题型二：丛书62页12题这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.A(x1,y1)(1)|AB|＝