浙江省诸暨市2024届高三适应性考试（三模）数学试题含答案

诸暨市2024年5月高三适应性考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.已知抛物线C"2=y,则其焦点到准线的距离为

A.-B.-C.ID.4

42

2.若关于x的不等式卜2+蛆+"卜0的解集为且x*2},则

A./w=3»n=2B.m=-3,n=2C.m=3,n=-2D.=-3,n=-2

3.有一组样本数据：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为

A.第75百分位数B.平均数C.极差D.众数

4.在(x+l)(x+2)(x+3)(x+o)(x+b)的展开式中，含丁项的系数是10,则k)g2(a+b)=

A.0B.1C.2D.4

5.若非零向量d,5满足同=W=k+5|，则G+2b在5方向上的投影向量为

-3--1-

A.2bB.-bC.bD.-b

22

6.已知片，巴为曲线。：上+以=1(m工4)的焦点，则下列说法错误的是

4/w

A.若m=l,则曲线C的离心率e=^

2

B,若加=-1,则曲线C的离心率e=^

2

C.若曲线C上恰有两个不同的点P,使得/公尸片=90。，则,”=2

D.若”;<0,则曲线C上存在四个不同的点P,使得/与尸外=90。

7.已知函数/(x)满足；对任意实数x,y,都有/(/(x+»)=/(x)+/(y)成立，且/(0)=1,则

A./(x+1)为奇函数B./(x)+l为奇函数

C.+为偶函数D.为偶函数

8.设04qva2V…，已知%+123%(14〃499),若max{4+]-4}2恒成立，则小的取值

范围为

1124

A.m<—B.4一C.m4—D.4—

9339

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9,若空山空=1,则

2sinx-cosx

2J544

A.tanx=2B.sinx=---C.tan2A:=—D.sin2x=—

555

10.已知M,N为圆、2+y2=4上的两个动点，点且PMJ.PN,贝IJ

A.\PM\max=2+y/2

B.1MN藐=2忘正

C.△PMN外接圆圆心的轨迹方程为+=|

△PA"重心的轨迹方程为(x+

D.

6

11.已知函数/(x)="(e、+a)-x有两个零点X2,则下列说法正确的是

A.a的值可以取上B。的值可以取,

42

C.归-引的值关于a单调递减D./'(*)+/”2)>0

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若复数二满足：-+=-i=2,则复数二的虚部为.

/

13.记7；为正项数列｛4｝的前〃项积，已知?；,=_%_,则《=；T20U=.

14.若正四面体/BCO的棱长为1,以三个侧面为底面向外作三个正四面体々/SC,P2ABD,P3ACD,则

△656外接圆的半径是.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知函数/(x)=J?sin〃x+cos乃x(xeR)的所有正零点构成递增数列

(1)求函数/(x)的周期和最大值：

(2)求数列｛q｝的通项公式凡及前〃项和S”.

16.(15分)如图，在三棱锥/1-BC。中，△/比?是正三角形，平面48cl平面BCD,BD1CD,点E是

BC的中点，~AO=2OE.

(1)求证：。为三棱锥/-BCO外接球的球心：

(2)求直线4。与平面88所成角的正弦值：

(3)若NJ3CO=60。，~BG=ZBD,求平面4EG与平面4CO所成锐二面角

的余弦值最大时久的值.

17.(15分)已知双曲线I'M-己=1与直线/:y=x+l交于力、8两点(力在8左侧)，过点/的两条关

4

于/对称的直线，2分别交双曲线「于c、。两点(C在右支，。在左支).

(1)设直线/1的斜率为A1,直线4的斜率为&，求瓦的值：

(2)若直线CD与双曲线「在点B处的切线交于点P,求△ZB尸的面积.

18.(17分)如图是一个各棱长均为I米的正四棱锥S-/BC。，现有一只电子蝴蛾在棱上爬行，每次从一

个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点,已知电子岫蝴初始从顶点S出发,

再次回到顶点S时停止爬行。

(1)求电子蛾蛾爬行2米后恰好回到顶点S的概率：

(2)在电子蛾喊停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度

为求J的分布列及其数学期望E(J)：

(3)设电子蛾蝴爬行〃("22)米后恰好停止爬行(首次回到顶点S)的

概率记为2,求力(用〃表示)。

19.(17分)若函数/(x)在区间/上有定义，且Vxe/,/(x)e/,则称/是/•(、)的一个“封闭区间”.

(1)己知函数/(x)=x+sinx,区间/=[0,r](r>0)且〃x)的一个“封闭区间”，求r的取值集合：

(2)已知函数g(x)=ln(x+l)+/f,设集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的个数；

(ii)用6-a表示区间[a,句(a<b)的长度，设m为集合P中的最大元素.

证明：存在唯一长度为，”的闭区间。，使得。是g(x)的一个“封闭区间”

诸暨市2024年5月高三适应性考试

数学参考答案

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

题号12345678

答案BBACBCDC

二、多项选择题（每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案ADABCACD

三、填空题（每小题5分，13题2分+3分；共15分）

,,5G

12.113.2；202514.---

9

三、解答题（共77分；13分+15分+15分+17分+17分）

15.(13分)解:

(1)由题可得/(x)=J^sin;rx+cos;r;r=2sin2分

因此函数/（x）的周期T=—=2,,4分

7t

最大值〃X）a=2.6分

（2）由/（x）=0得;rx+菅=A］（AeN"）,

因此函数/（x）的所有正零点为x=Z-q（%eN'）,

8分

.'.a,=7'因此应｝是首项为:，公差为1的等差数列;

66

11分

+q)1

+—M13分

23

16.(15分)解:

1

(1)、/后为a/^^:的中线，且而=2瓦，则。为正△ZBC的中心,

.-.OA=OB=0C...........2分

又QR/VBCD中，ED=EC,

OD2=0E2+ED2=OE1+EC2=OC2...........3分

OA=OB=OC=OD,即。为三棱锥Z-SCO外接球的球心.....4分

(2)•・•△NBC是正三角形，点E是8C的中点，.•.ZEL8C.

又•.•平面4BC_1_平面BCD,平面/BCD平面BCD=BC,NEu平面力8C,

平面BCD...........5分

.•./)。与为直线2。与平面8。所成的角.....6分

又Q4E=@BC,ED=-BC，:.tanZADE=线=-Ji

22ED

即直线4。与平面BCQ所成角的正弦值为且_.....8分

2/

;A

BG/D

6GDr

X

(3)坐标法：

在平面BCD中，过点E作EH_LBD,EF工CD垂足为H,F,

设8C=4,则。尸=FC=1EA=2^3,EF=y/3.建立如图所示的空间直角坐标系E-乎，

则E(0,0,0),4。，0,26)，C(-l,V3,0),/0),...........9分

设G(l,%0),则应=(0,0,2V3),而=(1,百二2百)，丽=(2,0,0),£G=(1,^,0).

设平面物的法向量为酒=(司，凶，=1),

小何.应=0组上任小

由＜一---,得，令必一1,故〃1一(乂1,0),...........11分

巧•EG=o/1+yy\—U

设平面ACD的法向量为%=(x2,y2,z2),

2

嘘X.-c利5=0即k[2x2=倔o.2岳L0,令马"贝加_=（°2>………13分

设平面40J与平面ZC。所成锐二面角的平面角为。，

.•.cos。=卜os<[，a—=+J~~7，当歹=。时，cos，=^£,此时最大，

1'V5-V/+1V5-V/+15

即当；1=；时，平面施G与平面48所成锐二面角的余弦值最大......15分

（3）几何法：

锐二面角要最小，由最大角定理可知，ZE与面力CD所成线面角为平面血与平面NCO所成锐

二面角时，锐二面角最小（3分）；而NE4F为线面角（F为CO的中点），当NEZ厂要为面面角时

（2分），由垂面法求面面角知，面在G1面板，即几=；（2分）.（实质上：本小题条件NBCD=60°

是多余的；用传统法求解给相应步骤分）

17.(15分)解:

（1）由题意知直线/斜率为1,.•.直线/的倾斜角a=卫，.....1分

4

设直线八4的倾斜角分别为“、。2佃、026（0/）），

直线小，2关于直线/对称，・・・4+2=2a=],..........3分

sin©一⑷

_sinq

.•・2]•&=tang•tan%=tanq•tan——Z--------=1...........5分

cos4cos或)

（2）联立可得.•.双曲线「在点8处的切线方程为申x-|y=l...........7分

不妨设直线CZ)为加(/+1)+〃7=1,C(x”yJ,

、T=i得.4(x+l-l)2-y2-4=0

联立<

阳(x+l)+〃y=1

〃7(X+1)+沙=1

=>4(x+l)2-8(x+l)阿x+l)+叨=0

整理得3,+8〃•上+8m一4=0,将等式看作关于上的方程:9分

(X+1)X+lX+1

3

两根之和———।———=—8〃，两根之积——----——=8加—4,

玉+1%+1%+1%+1

而其中匕•&=kAc-kAD——----——=8w—4,由（1）得％],e=1,・,.加=2.....11分

玉+1看+18

二直线CD为|■（x+l）+〃y=l,过定点

8

又•.・双曲线r在点B处的切线方程为|x—g7=i,过点（|,o）,.•.尸［|,0

13分

■'-SMBP-\'\AB\'dP-AB=~>/25-~.....15分

ZZ3721D

18.（17分）解:

（1）记事件4="电子蝴岫爬行的第i米终点为A"，耳=“电子岫蛾爬行的第i米终点为B”,

G="电子蝴蛾爬行的第，米终点为C"，2=“电子蜘1蛔爬行的第，米终点为。”，

S产“电子蝴醐爬行的第，米终点为S"，4="电子蝴始爬行i米后恰好停止爬行”，

则P（&）=P（4S2）+P（4S2）+P（CS）+尸35）=；g4=；.....4分

（2）记事件〃="电子蝴蝴停止爬行时，爬行长度不超过4米”

p（4）=P（4%S3）+尸（4。2s3）+尸（与4$3）+P（8CS3）+P（G2S3）+P（C&2s3）

+P（DiA2S3）+P（DiC2S3）=^.....5分

P（&）=P（AiB2A}S4）+P（4〈C3s4）+尸（4。24s4）+尸（4。2c3s4）+

P（44&S4）+P（542S4）+P（4GB3s4）+P（BGAS4）+

P（G82gs4）+尸（GB24s4）+P（G2Gs4）+P（a。24s4）+

4

P（〃42S4）+P（A483s4）+P（AG。3s4）+P（〃c253s4）=万.....6分

12419

.•.P（M）=P（£2）4-P（^3）+P（£4）=-4--4--=—.....7分

J的可能取值为2,3,4,根据条件概率的知识，可得J的分布列为

雄=2）=31〃）=箫检……8分

27

4

2

9

9分

尸(J=3)=P(Z阿)=箫=-6

1-9-

247149

--

27

P(EJ19O分

尸修=4)=P(E4M=1-9-

P(M)27

用表格表示J的分布列为:

4234

964

P

191919

96452

/.£(^)=2x—+3x—+4x—=—...........12分

19191919

(3)£,=?1-耳一6-……_匕)仍=0,"22)①..........14分

2+1=；。-6-2-.......一2)②

2

②一①得：P^=~Pn..........16分

M=1"，=时(》)•…••…17分

19.(17分)解：

(1)由题意，Vxe[0,r],f(x)e[0,r],

・・・f\x)=1+cosxN0恒成立，・・.在[0向上单调递增，.•・/a)的值域为[0,+sin”，

因此只需[0,r+sinr]q[0,r],..........2分

/.7-+sinr<r,EPsin/-<0(r>0),

则r的取值集合为[(2*-1)肛2说]SeN').4分(缺少女£N♦扣1分)

3

(2)(i)记函数入*)=8(、)一不二上(不+1)+^^一式3＞一1),

19214+9f(x+l)-4(x+l)9x2(x+l)-4xx(3x+4)(3x-1)

则〃口)=-----1—x-1=-------------------------------=---------------------=-----------------------(x>T)，

x+144(x+l)43+1)4(3+1)

由力(x)>0得一1<x<0或x>"；由"(3)<0得Ovxvg；

所以函数〃(x)在(-1