高等数学（5-8章）全册配套完整课件

高等数学（5-8章）全册配套完整课件第五章积分学不定积分定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质机动目录上页下页返回结束定积分的概念及性质

第五章一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度机动目录上页下页返回结束n

个小段过的路程为3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作机动目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动目录上页下页返回结束定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取机动目录上页下页返回结束注注目录上页下页返回结束[注]

利用得两端分别相加,得即例2.

用定积分表示下列极限:解:机动目录上页下页返回结束说明:机动目录上页下页返回结束根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动目录上页下页返回结束公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端机动目录上页下页返回结束证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是机动目录上页下页返回结束当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束6.

若在[a,b]上则证:推论1.

若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.证:即7.

设则机动目录上页下页返回结束例3.

试证:证:

设则在上,有即故即机动目录上页下页返回结束8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7目录上页下页返回结束说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动目录上页下页返回结束

积分中值定理对因例4.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度机动目录上页下页返回结束内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理机动目录上页下页返回结束矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算思考与练习1.

用定积分表示下述极限:解:或机动目录上页下页返回结束思考:如何用定积分表示下述极限提示:极限为0!机动目录上页下页返回结束2.P233题33.P233题8(2),(4)题8(4)解:设则即机动目录上页下页返回结束作业

P2332(2),46(3),(4);7(3);8(1),(5)

第二节目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第二节机动目录上页下页返回结束微积分的基本公式

第五章一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动目录上页下页返回结束二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.

若说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束例1.

求解:原式说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得例3.

证明在内为单调递增函数.证:只要证机动目录上页下页返回结束三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则例4.

计算解:例5.

计算正弦曲线的面积.解:机动目录上页下页返回结束例6.

汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:

设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束P2403;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.机动目录上页下页返回结束2.求解：的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中机动目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法第三节不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法

第五章一、定积分的换元法

定理1.

设函数单值函数满足:1)2)在上证:

所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则机动目录上页下页返回结束则说明:1)当

<

,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限机动目录上页下页返回结束例1.

计算解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且例2.

计算解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零机动目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法

定理2.

则证:机动目录上页下页返回结束例4.

计算解:原式=机动目录上页下页返回结束例5.

证明证:令

n

为偶数

n

为奇数则令则机动目录上页下页返回结束由此得递推公式于是而故所证结论成立.机动目录上页下页返回结束内容小结

基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限机动目录上页下页返回结束思考与练习1.提示:

令则2.

设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得机动目录上页下页返回结束得3.

设求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束作业P2491(4),(10),(16);6;11(4),(9),(10)习题课目录上页下页返回结束备用题1.

证明证：是以

为周期的函数.是以

为周期的周期函数.机动目录上页下页返回结束解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端机动目录上页下页返回结束二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分机动目录上页下页返回结束反常积分(广义积分)反常积分

第五章一、无穷限的反常积分引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义1.

设若存在,则称此极限为

f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛

;如果上述极限不存在,就称反常积分发散

.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:

上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表明该反常积分发散.引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束例1.

计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:

对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例2.

证明第一类p

积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1

时,反常积分收敛,其值为当p≤1

时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束例3.

计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与

x轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义2.

设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b

的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点

c

的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,机动目录上页下页返回结束间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意:

若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若

b

为瑕点,则若a

为瑕点,则若a,b

都为瑕点,则则可相消吗?机动目录上页下页返回结束下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.

计算反常积分解:

显然瑕点为

a,所以原式机动目录上页下页返回结束例5.

讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.例6.证明反常积分证:当

q=1时,当

q<1时收敛;q≥1时发散.当

q≠1时所以当

q<1

时,该广义积分收敛,其值为当

q

≥1

时,该广义积分发散

.机动目录上页下页返回结束例7.解：求的无穷间断点,故I为反常积分.机动目录上页下页返回结束内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分机动目录上页下页返回结束说明:(1)

有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)

当一题同时含两类反常积分时,机动目录上页下页返回结束应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.

(3)

有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为P256题1(1),(2),(7),(8)机动目录上页下页返回结束常积分收敛.注意:

主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习P2561(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五节目录上页下页返回结束提示:P256题2求其最大值.作业备用题

试证,并求其值.解:令机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束反常积分的审敛法

函数

第五章一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数机动目录上页下页返回结束证:根据极限收敛准则知存在,定理2.

(比较审敛原理)且对充,则机动目录上页下页返回结束证:

不失一般性,因此单调递增有上界函数,机动目录上页下页返回结束说明:

已知得下列比较审敛法.极限存在,定理3.(比较审敛法1)机动目录上页下页返回结束例1.

判别反常积分解:的敛散性.机动目录上页下页返回结束由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:

讨论反常积分的敛散性.提示:

当x≥1时,利用可知原积分发散.定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束则有:1)当2)当证:根据极限定义,对取定的当x

充分大时,必有,即满足当机动目录上页下页返回结束可取必有即注意:此极限的大小刻画了例2.

判别反常积分的敛散性.解:机动目录上页下页返回结束根据极限审敛法1,该积分收敛.例3.

判别反常积分的敛散性.

解:根据极限审敛法1,该积分发散.定理5.机动目录上页下页返回结束证：则而定义.

设反常积分机动目录上页下页返回结束则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.

判断反常积分的敛散性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.定理6.(比较审敛法2)定理3目录上页下页返回结束瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的

x(x>a).定理7.(极限审敛法2)定理4目录上页下页返回结束则有:1)当2)当例5.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束散性.解:由于的敛根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:机动目录上页下页返回结束例7.

判别反常积分的敛散性.解:称为绝对收敛.故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分三、函数1.定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在内收敛.令机动目录上页下页返回结束综上所述,2.性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:(2)机动目录上页下页返回结束证:(3)余元公式:(证明略)(4)机动目录上页下页返回结束得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,内容小结1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法

.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课目录上页下页返回结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.

函数的定义及性质.思考与练习P263题1(1),(2),(6),(7)P264题5(1),(2)作业P2631(3),(4),(5),(8)2;3习题课一、与定积分概念有关的问题的解法机动目录上页下页返回结束二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题

第五章一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动目录上页下页返回结束例1.求解:

因为时,所以利用夹逼准则得因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理原式不对!机动目录上页下页返回结束说明:2)

此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.

如,P265题4解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知(考研98)例2.

求机动目录上页下页返回结束思考:提示:由上题机动目录上页下页返回结束故练习:

1.求极限解：原式2.

求极限提示：原式左边=右边机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分值解:

因为∴即机动目录上页下页返回结束例4.

证明证:

令则令得故机动目录上页下页返回结束例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.机动目录上页下页返回结束明对于任何例6.解：且由方程确定y

是x

的函数,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得机动目录上页下页返回结束故例7.求可微函数f(x)使满足解:

等式两边对

x

求导,得不妨设f(x)≠0,则机动目录上页下页返回结束注意f(0)=0,得机动目录上页下页返回结束例8.

求多项式f(x)

使它满足方程解:

令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①

式比较同次幂系数,得故①机动目录上页下页返回结束再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:

下列作法是否正确?机动目录上页下页返回结束例9.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束例10.

求解:机动目录上页下页返回结束例11.

选择一个常数

c,使解:

令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.机动目录上页下页返回结束例12.

设解:

机动目录上页下页返回结束例13.若解:

令试证:则机动目录上页下页返回结束因为对右端第二个积分令综上所述机动目录上页下页返回结束例14.

证明恒等式证:

令则因此又故所证等式成立.机动目录上页下页返回结束例15.试证使分析:要证即故作辅助函数机动目录上页下页返回结束至少存在一点证明:

令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动目录上页下页返回结束故由罗尔定理知,存在一点思考:

本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数例15目录上页下页返回结束例16.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内

f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点

,使

(3)在(a,b)内存在与

相异的点

,

使(03考研)机动目录上页下页返回结束证:

(1)

由f(x)在[a,b]上连续,知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)

设满足柯西中值定理条件,于是存在机动目录上页下页返回结束即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得机动目录上页下页返回结束例17.设证:

设且试证:则故

F(x)单调不减,即②成立.②机动目录上页下页返回结束作业(总习题五)P2642(3),(5);4;5(1);7(2),(5);10第四节目录上页下页返回结束第六章利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用第一节机动目录上页下页返回结束定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?

第六章表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义机动目录上页下页返回结束一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法

(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用

第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及

x

轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:

由得交点机动目录上页下页返回结束例2.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束例4.求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束对应

从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2

所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停

尖点:

面积:

弧长:参数的几何意义例7.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束例8.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机动目录上页下页返回结束答案:二、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(P168)机动目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)机动目录上页下页返回结束例9.

两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:机动目录上页下页返回结束下垂悬链线方程为例10.

求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束例11.

计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页下页返回结束例12.

求阿基米德螺线相应于0≤

≤2

一段的弧长.解:(P349公式39)小结目录上页下页返回结束三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例13.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例14.

计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x

轴,y

轴旋转而成的立体体积.解:

绕x

轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束绕

y

轴旋转而成的体积为注意上下限!注注目录上页下页返回结束分部积分注(利用“偶倍奇零”)柱壳体积说明:

柱面面积机动目录上页下页返回结束偶函数奇函数机动目录上页下页返回结束例15.

设在

x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t

旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故例16.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束思考:

可否选择y

作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动目录上页下页返回结束垂直x

轴的截面是椭圆例17.

计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当

a=b=c

时就是球体体积.机动目录上页下页返回结束的体积.例18.

求曲线与x

轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解:

利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积

(补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的机动目录上页下页返回结束注意:侧面积为例19.

计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:

对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式机动目录上页下页返回结束例20.

求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:

利用对称性绕

x

轴旋转星形线目录上页下页返回结束星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径

R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小机动目录上页下页返回结束3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕

x

轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)绕

y

轴:(柱壳法)机动目录上页下页返回结束思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A

及边界长s.提示:

交点为弧线段部分直线段部分机动目录上页下页返回结束以x

为积分变量,则要分两段积分,故以

y为积分变量.2.试用定积分求圆绕x

轴上半圆为下求体积:提示:方法1

利用对称性机动目录上页下页返回结束旋转而成的环体体积

V

及表面积S.方法2

用柱壳法说明:上式可变形为机动目录上页下页返回结束上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).求侧面积:利用对称性机动目录上页下页返回结束上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法.作业P2792(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30第三节目录上页下页返回结束面积及弧长部分：

体积及表面积部分：P27913;14;15(1),(4);17;18补充题:

设有曲线过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x

轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.备用题解：1.

求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.机动目录上页下页返回结束又故在区域分析曲线特点2.

解:与x

轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.

为何值才能使与x

轴围成的面积等机动目录上页下页返回结束故3.求曲线图形的公共部分的面积.解：与所围成得所围区域的面积为机动目录上页下页返回结束设平面图形A

由与所确定,求图形A绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.旋转体的体积为4.机动目录上页下页返回结束若选y为积分变量,则第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题四、转动惯量(补充)机动目录上页下页返回结束定积分在物理学上的应用

第六章一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力

F(x)作用下沿x

轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为机动目录上页下页返回结束例1.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r

时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:机动目录上页下页返回结束位正电荷沿直线从距离点电荷

a

处移动到b处(a<b),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,例2.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a

处移动到点b

处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强

p

与体积V

成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动目录上页下页返回结束力为在底面积为S

的圆柱形容器中盛有一定量的气例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ

)设水的密度为机动目录上页下页返回结束(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,面积为A的平板二、液体侧压力设液体密度为

深为h

处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.机动目录上页下页返回结束平板一侧所受的压力为••小窄条上各点的压强例4.

的液体,

求桶的一个端面所受的侧压力.解:

建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为机动目录上页下页返回结束方程为一水平横放的半径为R

的圆桶,内盛半桶密度为说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数(P350公式67)机动目录上页下页返回结束三、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.机动目录上页下页返回结束例5.设有一长度为l,线密度为

的均匀细直棒,其中垂线上距a

单位处有一质量为

m

的质点

M,该棒对质点的引力.解:

建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为机动目录上页下页返回结束在试计算利用对称性棒对质点引力的水平分力机动目录上页下页返回结束故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为说明:2)

若考虑质点克服引力沿y

轴从a

处1)

当细棒很长时,可视

l

为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b

(a<b)处时克服引力作的功,机动目录上页下页返回结束则有引力大小为机动目录上页下页返回结束注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,四、转动惯量(补充)质量为m

的质点关于轴

l

的转动惯量为的质点系若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决.机动目录上页下页返回结束关于轴

l

的转动惯量为例6.⑴

求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;⑵

求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:

⑴建立坐标系如图.设圆盘面密度为

.小圆环质量对应于的小圆环对轴l

的转动惯量为故圆盘对轴l

的转动惯量为机动目录上页下页返回结束设有一个半径为R,质量为M

的均匀圆盘,平行y轴的细条关于y

轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y

轴的转动惯量为机动目录上页下页返回结束⑵取旋转轴为

y

轴,建立坐标系如图.内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量

Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q

的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.机动目录上页下页返回结束条、段、环、带、(99考研)思考与练习提示:

作x轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由机动目录上页下页返回结束抓起污x

提升dx

所作的功为米重50N,提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至x

处所需时间:机动目录上页下页返回结束克服抓斗自重:2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:

如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动目录上页下页返回结束同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的习题课目录上页下页返回结束引力大小为作业:

P2872,3,5,9,12锐角

取多大时,薄板所受的压力P

最大.备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解:

选取坐标系如图.设斜边长为l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为问斜边与水面交成的机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束故得唯一驻点故此唯一驻点即为所求.由实际意义可知最大值存在,即习题课1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.机动目录上页下页返回结束定积分的应用

第六章例1.

求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:

设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y

轴的交点分别为所指面积机动目录上页下页返回结束且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点机动目录上页下页返回结束例2.

设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)

a

为何值时,所围图形绕x

轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得机动目录上页下页返回结束又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V

取最小值.机动目录上页下页返回结束例3.

证明曲边扇形绕极轴证:

先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为机动目录上页下页返回结束故所求旋转体体积为例4.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:

曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则机动目录上页下页返回结束例5.

半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度机动目录上页下页返回结束因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束例6.

设有半径为R

的半球形容器如图.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0<h<R)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?

解:

过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t

秒容器内水深为h,机动目录上页下页返回结束(1)求由题设,经过t

秒后容器内的水量为而高为

h

的球缺的体积为半球可看作半圆绕y

轴旋转而成体积元素:故有两边对t

求导,得at

(升)

,机动目录上页下页返回结束(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于微元体积:微元的重力:薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.机动目录上页下页返回结束作业P2882;3;6;7;9机动目录上页下页返回结束数量关系

—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—

点,

线,

面基本方法

—

坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

的模相同,但方向相反的向量称为a

的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;机动目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式机动目录上页下页返回结束3.向量与数的乘法

是一个数,规定:可见

与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此机动目录上页下页返回结束定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数

的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b

与

a

同向,设又有b＝

a,机动目录上页下页返回结束“”则例1.

设M

为解:ABCD对角线的交点,已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b机动目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量

r

的坐标分解式

,任意向量r

可用向径OM

表示.机动目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得机动目录上页下页返回结束例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束例4.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称

=∠AOB(0≤

≤

)

为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角

,

,

为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作机动目录上页下页返回结束方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量机动目录上页下页返回结束例8.设点A

位于第一卦限,解:已知作业

P3003,5,13,14,15,18,19角依次为求点A

的坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

的坐标为向径OA

与x

轴y轴的夹第二节目录上页下页返回结束备用题解:

因1.

设求向量在x

轴上的投影及在y轴上的分向量.在y

轴上的分向量为故在x

轴上的投影为机动目录上页下页返回结束2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为

对角线的长为解：为边的平机动目录上页下页返回结束*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积机动目录上页下页返回结束数量积向量积*混合积

第七章一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为

,称

记作数量积(点积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为机动目录上页下页返回结束记作故2.性质为两个非零向量,则有

机动目录上页下页返回结束3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动目录上页下页返回结束例1.

证明三角形余弦定理证:则如图.设机动目录上页下页返回结束4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束例2.

已知三点

AMB.解:则求故机动目录上页下页返回结束为

).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.

设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F