《数字信号处理(第三版)》全册配套课件(二)

《数字信号处理(第三版)》全册配套课件(二)第五章学习目标理解数字滤波器结构的表示方法掌握IIR滤波器的基本结构掌握FIR滤波器的直接型、级联型、线性相位结构，理解频率抽样型结构本章作业练习

P3115.15.25.35.55.6(1)5.7（a）（d）第五章数字滤波器的基本结构

一、数字滤波器结构的表示方法

数字滤波器的系统函数：常系数线性差分方程:加法器常数乘法器单位延时基本运算单元方框图流图例：二阶数字滤波器方框图结构流图结构流图结构节点源节点支路阱节点网络节点分支节点输入支路相加器节点的值=所有输入支路的值之和输出支路支路的值=支路起点处的节点值传输系数二、IIR数字滤波器的基本结构1）系统的单位抽样相应h(n)无限长IIR数字滤波器的特点：3）存在输出到输入的反馈，递归型结构2）系统函数H(z)在有限z平面（）上有极点存在IIR数字滤波器的基本结构：直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型）级联型并联型1、直接Ⅰ型差分方程:需N+M个延时单元2、直接Ⅱ型（典范型）只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，故称典范型。（）

直接型的共同缺点：系数，对滤波器的性能控制作用不明显极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差运算的累积误差较大3、级联型将系统函数按零极点因式分解:将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。为采用相同结构的子网络，也将两个实零点/极点组合成二阶多项式当零点为奇数时：有一个当极点为奇数时：有一个各二阶基本节的排列次序有种当M=N时，二阶因子配对方式有种级联型的特点：调整系数，能单独调整滤波器的第k对零点，而不影响其它零极点

运算的累积误差较小具有最少的存储器便于调整滤波器频率响应性能调整系数，能单独调整滤波器的第k对极点，而不影响其它零极点4、并联型将因式分解的H(z)展成部分分式：当N为奇数时，有一个组合成实系数二阶多项式：并联型的特点：通过调整系数，可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高转置定理：原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。例：设IIR数字滤波器差分方程为：试用四种基本结构实现此差分方程。解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：得直接Ⅰ型结构：典范型结构：将H(z)因式分解：得级联型结构：将H(z)部分分式分解：得并联型结构：三、FIR数字滤波器的基本结构1）系统的单位抽样响应h(n)有限长，设N点

FIR数字滤波器的特点：2）系统函数H(z)在处收敛，有限z平面只有零点，全部极点在z=0处（因果系统）3）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构系统函数：z=0处是N-1阶极点有N-1个零点分布于z平面1、横截型（卷积型、直接型）差分方程:2、级联型N为偶数时，其中有一个（N-1个零点）将H(z)分解成实系数二阶因式的乘积形式:级联型的特点系数比直接型多，所需的乘法运算多每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点3、频率抽样型N个频率抽样H(k)恢复H(z)的内插公式：子系统：

是N节延时单元的梳状滤波器

在单位圆上有N个等间隔角度的零点：频率响应：单位圆上有一个极点：与第k个零点相抵消，使该频率处的频率响应等于H(k)谐振器子系统：

频率抽样型结构的优缺点调整H(k)就可以有效地调整频响特性若h(n)长度相同，则网络结构完全相同，除了各支路增益H(k)，便于标准化、模块化有限字长效应可能导致零极点不能完全对消，导致系统不稳定系数多为复数，增加了复数乘法和存储量

修正频率抽样结构将零极点移至半径为r的圆上：为使系数为实数，将共轭根合并由对称性：又h(n)为实数，则将第k个和第(N-k)个谐振器合并成一个实系数的二阶网络：当N为偶数时，还有一对实数根k=0,N/2处：N为奇数时只有一个实数根在k=0处：z=r4、快速卷积结构5、线性相位FIR滤波器的结构FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足：偶对称：或奇对称：即对称中心在(N-1)/2处则这种FIR滤波器具有严格线性相位。N为奇数时h(n)偶对称，取“+”h(n)奇对称，取“

”，且N为偶数时四、数字滤波器的格型结构格型结构的优点：1）模块化结构便于实现高速并行处理2）m阶格型滤波器可以产生1阶到m阶的m个横向

滤波器的输出性能

故广泛应用于现代谱估计、语音信号处理、自适应滤波等。3）对有限字长的舍入误差不灵敏1、全零点系统（FIR

系统）的格型结构一个M阶的FIR

滤波器的横向结构的系统函数：

系统表示M阶FIR系统的第i个系数2M次乘法，M次延迟

横向结构：M个参数，或格型结构：M个参数,称为反射系数M次乘法，M次延迟

定义：、分别是输入端到第m个基本传输单元上、下端所对应的系统函数：1)z变换，得对基本单元 (3)代入(1)得（4）(4)代入(3)得：由(1)、(2)代入(1)、(4)得代入(5)代入(6)2)3)已知，求，(1)(3)重复(2)求出全部(2)由，，，求的系数，，或由(6)得，则2、全极点系统（IIR系统）的格型结构全极点IIR滤波器的系统函数

其中表示M阶全极点系统的第i

个系数，讨论与格型结构的关系全极点格型结构基本单元：M＝1M＝2

格型结构系数与，；

之间递推关系同全零点系数与的递推关系完全一样。3、零极点系统（IIR系统）的格型结构

在有限z平面上既有极点又有零点的IIR系统(1)当

，为N阶FIR系统的横向结构(2)当

,时，为全极点IIR格型结构上半部分对应全极点系统

下半部分对应全零点系统

按全极点系统的方法求出而上半部分对下半部分有影响，故需求令为由到之间的系统函数整个系统的系统函数由

两边同次幂系数相等，得解法一：解法二：二、IIR数字滤波器的基本结构1）系统的单位抽样相应h(n)无限长IIR数字滤波器的特点：3）存在输出到输入的反馈，递归型结构2）系统函数H(z)在有限z平面（）上有极点存在IIR数字滤波器的基本结构：直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型）级联型并联型1、直接Ⅰ型差分方程:需N+M个延时单元2、直接Ⅱ型（典范型）只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，故称典范型。（）

直接型的共同缺点：系数，对滤波器的性能控制作用不明显极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差运算的累积误差较大3、级联型将系统函数按零极点因式分解:将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。为采用相同结构的子网络，也将两个实零点/极点组合成二阶多项式当零点为奇数时：有一个当极点为奇数时：有一个各二阶基本节的排列次序有种当M=N时，二阶因子配对方式有种级联型的特点：调整系数，能单独调整滤波器的第k对零点，而不影响其它零极点

运算的累积误差较小具有最少的存储器便于调整滤波器频率响应性能调整系数，能单独调整滤波器的第k对极点，而不影响其它零极点4、并联型将因式分解的H(z)展成部分分式：当N为奇数时，有一个组合成实系数二阶多项式：并联型的特点：通过调整系数，可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高转置定理：原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。例：设IIR数字滤波器差分方程为：试用四种基本结构实现此差分方程。解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：得直接Ⅰ型结构：典范型结构：将H(z)因式分解：得级联型结构：将H(z)部分分式分解：得并联型结构：第五章习题讲解1、用直接I型及典范结构实现以下系统函数：解：根据IIR滤波器的系统函数标准式将系统函数整理为：得，，，直接I型结构：典范型结构：解：则2、用级联型结构实现以下系统函数：试问一共能构成几种级联型网络。考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下四种级联型网络：3、给出以下系统函数的并联型实现：解：对此函数进行因式分解并展成部分分式，得则则并联结构：4、用横截型结构实现以下系统函数：解：则横截型结构：6、用频率抽样结构实现以下系统函数：抽样点数，修正半径。解：由N=6，得频率抽样型结构：又则得然后求时其中其中时得频率抽样结构：7、设某FIR数字滤波器的系统函数为试画出此滤波器的线性相位结构。解：对系统函数求z反变换，得得即是偶对称，对称中心在处，N为奇数。得线性相位结构：8、设滤波器差分方程为试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方程。解：根据得直接I型结构：典范型结构：将因式分解为一阶节：得一阶节级联型结构：将分解为一阶节部分分式：得一阶节并联结构：第七章、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法7.1、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：

为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况

为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

：通带截止频率

：阻带截止频率

：通带容限

：阻带容限阻带：过渡带：通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：阻带最小衰减：其中：当时，称为3dB通带截止频率7.2、表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应

的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的H(z)的极点：单位圆内的极点相位响应相位响应：群延迟响应相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内=常数， 则为线性相位滤波器7.3、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：即为求滤波器的各系数：计算机辅助设计法

s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器7.4、常用模拟低通滤波器设计将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器巴特沃斯Butterworth滤波器切比雪夫Chebyshev

滤波器椭圆Ellipse滤波器贝塞尔Bessel滤波器1、由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数h(t)是实函数将左半平面的的极点归将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为的零点，虚轴上的零点一半归由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将因式分解，得到各零极点对比和，确定增益常数由零极点及增益常数，得例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K02、Butterworth低通逼近幅度平方函数：当称为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数为通带截止频率1）幅度函数特点：

3dB不变性

通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小

过渡带及阻带内快速单调减小当（阻带截止频率）时，衰减为阻带最小衰减Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：2）幅度平方特性的极点分布：

极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点

极点间的角度间隔为

极点不落在虚轴上

N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点3）滤波器的系统函数：为归一化系统的系统函数去归一化，得4）滤波器的设计步骤：根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：求出归一化系统函数：

或者由N，直接查表得其中技术指标给出或由下式求出：

其中极点：去归一化阻带指标有富裕或通带指标有富裕例：给定滤波器技术指标为通带内允许起伏：-1dB0

p2104rad/s

阻带衰减：-15dB

s22104rad/s求巴特沃斯滤波器的有关参数和系统函数。-1dB-3dB0dB-15dB|Ha(j

)|0

p

c

s

解(1)由给定条件和对数幅频特性写出特定频率

p、

s处的方程式，求解N、

c。取整得：N=4(2)求-3dB截止频率

c。以N=4代入幅频特性得到：

C=21.304104sad/s(3)按N=4计算得系统函数3、Chebyshev低通逼近N：滤波器的阶数幅度平方函数：

：截止频率，不一定为3dB带宽

，表示通带波纹大小，越大，波纹越大

：N阶Chebyshev多项式

1）幅度函数特点：

通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏

2）Chebyshev滤波器的三个参量：

：通带截止频率，给定

：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点分布：4）滤波器的系统函数：其中：5）滤波器的设计步骤:

归一化：确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数N及：其中：或者由N和，直接查表得其中极点由下式求出：求出归一化系统函数：去归一化 解:

有

例:导出二阶

，已知通带纹波为

，归一化截止频率为：滤波器的系统函数。

。求出

对二阶滤波器，

即有:

将

和

代入平方幅度特性有:

令

，即

，有:

有极点:

位于S平面椭圆上，虚轴对称。左半平面的极点为

，且

为偶数。

(5)切比雪夫I型低通原型滤波器的实现:

相对于截止频率

c=s/s´

归一化，有系统函数Ha(s)其具体实现和巴特沃思滤波器的实现相同。按给定条件，在s=0的低通情况下，有7.6、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：

s平面z平面

模拟系统数字系统H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，

即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的单位圆内|z|<1设计方法：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法一、冲激响应不变法数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应1、变换原理T—抽样周期2、混迭失真仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象3、模拟滤波器的数字化方法系数相同：极点：s平面

z平面稳定性不变：s平面z平面当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：4、优缺点优点：缺点：保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好二、阶跃响应不变法变换原理数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应 T—抽样周期阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。三、双线性变换法1、变换原理使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数c2、变换常数c的选择2）某一特定频率严格相对应：1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置3、逼近情况1）

s平面虚轴z平面单位圆2）左半平面单位圆内

s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上4、优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换缺点：

除了零频率附近，与之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变预畸变

给定数字滤波器的截止频率，则按设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到为截止频率的数字滤波器6、模拟滤波器的数字化方法可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于1Khz的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率不大于1.5Khz的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。采样频率为15khz。1、用冲激响应不变法设计得到数字滤波器的技术指标：由模拟滤波器的技术指标：T=1/15Ka）确定参数

用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化4）将展成部分分式形式:变换成Butterworth数字滤波器：2、用双线性变换法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数

用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化4）将变换成Butterworth数字滤波器：例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率到之间的阻带内，衰减大于15dB。1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数3）设计Chebyshev模拟低通滤波器b)求左半平面极点c)构造系统函数c’)去归一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）将变换成Chebyshev数字滤波器：将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤

通带截止频率、通带衰减

阻带截止频率、阻带衰减通带截止频率阻带截止频率通带截止频率阻带截止频率确定数字滤波器的技术指标：冲激响应不变法双线性变换法按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Butterworth低通滤波器Chebyshev低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器冲激响应不变法双线性变换法九、设计IIR滤波器的频率变换法十、模拟域频带变换法归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟域频带变换双线性变换归一化：1、模拟低通—模拟低通

当通带截止频率时，相当于去归一化2、模拟低通—模拟带通变换关系：B为通带带宽归一化变换：其中：例：设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2π

rad以下和0.5π

rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用Butterworth模拟低通滤波器、双线性变换法。解：1）确定数字带通滤波器的技术指标：2）转换为模拟带通滤波器的技术指标：（选T=1s）

归一化：3）转换为归一化模拟低通滤波器技术指标：

取小者：

又有4）设计归一化模拟低通滤波器：

查表得：5）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：6）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器：模拟低通到数字带通的直接变换：其中：3、模拟低通—模拟带阻变换关系：B为阻带带宽归一化变换：其中：模拟低通到数字带阻的直接变换：其中：4、模拟低通—模拟高通变换关系：归一化变换：其中：模拟低通到数字高通的直接变换：其中：十一、数字域频带变换法归一化模拟低通数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字域频带变换或双线性变换冲激响应不变法要求：阶数：N极点：零点：则：即：为全通函数1、数字低通—数字低通得：由2、数字低通—数字高通低通频率响应在单位圆上旋转180o，即得高通频率响应：由

得：3、数字低通—数字带通得上式应取负号，即：由其中：由得4、数字低通—数字带阻得上式应取正号，即：由其中：由得5、数字低通—多通带全通函数的阶数N为[–π,

π]内通带的数目

时是通带，全通函数取“+”号

时是阻带，全通函数取“–”号

第六章几种特殊滤波器及

简单一、二阶数字滤波器设计

6.1

数字滤波器的基本概念

6.2

全通滤波器

6.4

陷波器

6.6梳状滤波器

6.7

波形发生器滤波：通过某种运算（变换）得到或者增强所需信号，而滤除不需要的信号、噪声或者干扰。表示方法：1、线性差分方程2、系统函数3、单位抽样响应4、线性信号流图实现：计算机软件、专用数字滤波器的硬件、专用或通用的数字信号处理器来实现。6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的分类1、按照冲激响应分：IIR和FIR2、按照滤波器的幅度响应分：低通、高通、带通、带阻、全通等3、按照相位响应分：线性相位和非线性相位4、按照特殊要求分：梳状滤波器、陷波器、谐振器、最小相位滞后滤波器、波形发生器等。π2π0π2π0π2π03ππ02ππ2π0低通高通带通带阻全通频率变量是以数字频率ω来表示，因此数字域的抽样频率为2π。根据抽样定理，频率特性只能限于|ω|<ωs/2=πH(z)的零极点配置对系统幅度响应的影响：1、零点影响幅度响应的谷值，若零点在单位圆上，此处幅度响应为零；2、极点影响幅度响应的峰值，极点越靠近单位圆，则对峰值的影响越大；3、为保证h(n)为实序列，则系统函数的零极点只能是实数或者以共轭复数出现。4、如果是因果稳定系统，则极点必须在单位圆内。6.2全通系统定义：是指系统频率响应的幅度在所有频率ω下均为1或某一常数的系统。满足简单一阶全通系统函数

a1/a1-1jIm[z]Re[z]

高阶有理全通系统由一串一阶系统组成，可以包含实零点－实极点系统；还可以包括复数零点－复数极点系统；多个这两类系统的级联就组成一个高阶全通网络系统。复数零点－复数极点的全通节的系统函数

a1/a*1-1jIm[z]Re[z]N阶数字全通系统的系统函数频率响应的模都为1。证明：N阶全通系统函数为式中当时，满足所以有全通滤波器的极点要在单位圆内，零点在单位圆外极点的镜像位置上，零极点成对出现，如果是复数，应以共轭对形式出现。全通系统应用（1）任何一个因果稳定的非最小相位延时系统的H(z)都可以表示为全通系统和最小相位延时系统的级联。

它们频率响应的幅度相同，相位不同。即

证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为

由于，所以是最小相位延时，是全通级联。所以可表示为（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。例：原滤波器有一对极点在单位圆外级联一个全通系统则可将单位圆外极点抵消，但不改变系统幅度特性。（3）可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用，来得到线性相位，但不改变幅度特性。IIR滤波器其相位特性为非线性的，因而群延时不为常数，而在视频信号的传输中希望系统具有线性相位。设全通滤波器为，系统为级联后H(z)即相位关系按得当通带中满足是常数则逼近误差的平方值利用均方误差最小的准则就可以求得均衡器有关的参数。6.4陷波器jIm[z]Re[z]ACB1-1r010.7070.5陷波器：将零极点配合构成数字滤波器，以滤除某些单频或宽带干扰，它的幅度特性在处为零。零极点配置图幅度响应二阶系统的系统函数为K为常数，由幅度响应的具体要求来确定设,取圆上一点C，其幅角为C点的幅度响应为陷波器幅度响应衰减3dB处的通带宽度为1、在处，，完全陷波；2、当增加，由于零矢、极矢逐渐近似相等，使得幅度响应很快变成1，达到最大值；3、当极点越靠近单位圆上的零点时，陷波器在3dB处带宽越窄，陷波效果越好。例：有一个低频信号占据频带宽度0~200Hz，混入了50Hz频率的市电干扰。试设计一个陷波器滤除掉此50Hz干扰，要求陷波器3dB频带宽度为4Hz.解：1、确定抽样频率fs,取fs=1000Hz；2、将临界频率转换为数字频率陷波器中心频率陷波器3dB频带宽度

3、求陷波器系统函数中的r4、利用在处频率响应的幅度为1来求常数K。5、将r和K代入H(z)中6.6梳状滤波器梳状滤波器用来抑制周期性的噪声或增强周期性信号分量。系统函数FIR滤波器N个零点都在单位圆上，极点则在Z=0处，为N阶极点。Re[z]Im[z]1-10N=62缺点：幅度特性过渡带较为平缓，不够陡峭，对周期性信号陷波作用不明显，在其他频率处产生信号失真。1、梳状陷波器对周期性的干扰信号加以陷波（抑制）N个零点均匀分布在单位圆上，N个极点均匀分布在|z|=r(r<1)上，。Re[z]Im[z]1r10幅频响应的最大值在两个相邻的零点间的居中点处，即在

之处，令i=0,得到r越接近1，幅度响应在两个零点之间越平坦，从而陷波的效果越好。r=0时，信号失真最大，就是梳状滤波器的系统函数。

6.7波形发生器若要产生正弦波、余弦波、周期性方波或一般周期序列的常用序列，通常将单位抽样函数输入到一个“滤波器”上来产生，此时滤波器器不是起到滤波的作用，而是产生“振荡”，此时系统函数的极点一定要在单位圆上。6.7.1正弦波及余弦波发生器当输入为,网络输出为单频的正弦、余弦序列。例双音多频(DTMF)的数字电话系统的发生器与接收器中，DTMF信号是用于电话与程控交换机之间的一种用户指令，用它来完成自动长途呼叫。电话的拨号键盘是4×3矩阵，矩阵的每一行有一个低频正弦信号，分别为697Hz，770Hz，852Hz，941Hz；

每一列有一个高频正弦信号，分别为1209Hz，1336Hz，1477Hz。故称之为“多频”每按动一个键就发送一个高频信号和一个低频信号的组合，

故称为“双音”。1209Hz1336Hz1477Hz697Hz770Hz852Hz941Hz123456789＊0﹟Z-1Z-1Z-1Z-1-1-1低通(LP)滤波器高通(HP)滤波器带通(BP)697Hz滤波器带通(BP)770Hz滤波器带通(BP)852Hz滤波器带通(BP)941Hz滤波器带通(BP)697Hz滤波器带通(BP)770Hz滤波器带通(BP)852Hz滤波器0010001数字键盘信号“9”6.7.2周期性方波发生器周期性方波如图所示……n0102030z-1z-N/2-1若此系统的输入为单位抽样序列，则输入一定是占空比为1：1，周期为N的的周期序列。周期性方波的幅度大小可以任意设定。6.7.3任意周期序列的发生器设任意一个周期为N的周期性序列，其主值序列为x(n)用单位抽样序列作为输入信号，可以在某一系统的输出

端得到周期序列系统函数为z-1z-1z-1z-1a0a1a2aN-2aN-1第六章习题讲解解：冲激响应不变法：1．用冲激响应不变法将以下变换为抽样周期为T。，（1）将部分分式分解：经冲激响应不变法变换后得：3．设有一模拟滤波器抽样周期，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数解：由变换公式及，，可得4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：则将代入，得出截止频率为的模拟原型为经双线性变换得数字滤波器的系统函数：5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。设解：由幅度平方函数：令，则有各极点满足下式则时，所得的即为的极点由以上两个极点构成的系统函数为代入时

，可得，所以6．试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带波纹为2dB，截止频率为（试用不同于书本的解法解答）。解：由，得则因为截止频率为，则则，其中，因为是偶数，故时，有可求得17．图P6-17表示一个数字滤波器的频率响应。1）用冲激响应不变法，求原型模拟滤波器频率响应。2）用双线性变换法，求原型模拟滤波器频率响应。解：由图可得又由，则有（1） 冲激响应不变法因为大于折叠频率时为零，故用此法无失真。（2） 双线性变换法根据双线性变换公式：得：第七章学习目标掌握线性相位FIR数字滤波器的特点掌握窗函数设计法理解IIR与FIR数字滤波器的比较本章作业练习

P560:

8.18.5(1)8.7第七章FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器：

可以利用模拟滤波器设计

但相位非线性FIR数字滤波器：

可以严格线性相位，又可任意幅度特性

因果稳定系统

可用FFT计算

但阶次比IIR滤波器要高得多一、线性相位FIR滤波器的特点FIR滤波器的单位冲激响应：系统函数：在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点

h(n)为实序列时，其频率响应：1、线性相位条件即群延时是常数

第二类线性相位：

第一类线性相位：线性相位是指

是

的线性函数

第一类线性相位：第一类线性相位的充要条件：

n=(N–1)/2为h(n)的偶对称中心第二类线性相位的充要条件：

n=(N–1)/2为h(n)的奇对称中心2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点系统函数：由频率响应：1）h(n)偶对称

为第一类线性相位相位函数：频率响应：2）h(n)奇对称相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数幅度函数：

其中：

其中：适合设计各种选频滤波器2）h(n)偶对称，N为偶数幅度函数：

其中：

其中：

故不能设计成高通、带阻滤波器

3）h(n)奇对称，N为奇数幅度函数：其中：其中：

不能设计4）h(n)奇对称，N为偶数幅度函数：

其中：

其中：

h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时4、零点位置得：由1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对

线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对1）零点：2），即零点在单位圆上零点：3），即零点在实轴上零点：4） 即零点既在实轴上，又在单位圆上零点：二、窗函数设计法1、设计方法w(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：其理想单位抽样响应：中心点为α的偶对称无限长非因果序列

取矩形窗：则FIR滤波器的单位抽样响应：按第一类线性相位条件，得

加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积而矩形窗的频率响应：理想滤波器的频率响应：其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应：

幅度函数：加窗函数的影响：不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应2、各种窗函数窗函数的要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹矩形窗主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大窗谱：幅度函数：三角形（Bartlett）窗主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小窗谱：幅度函数：汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度小幅度函数：海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小幅度函数：布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗）主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小幅度函数：凯泽（Kaiser）窗

：第一类变形零阶 贝塞尔函数窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关3、窗函数法的设计步骤给定理想的频率响应函数 及技术指标求出理想的单位抽样响应根据阻带衰减选择窗函数计算频率响应，验算指标是否满足要求根据过渡带宽度确定N值求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：IFFT法：计算其IFFT，得：

对M点等间隔抽样：4、线性相位FIR低通滤波器的设计解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率为，

通带截止频率为，

阻带起始频率为，

阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)4）确定N值3）选择窗函数：由确定海明窗（-53dB）5）确定FIR滤波器的h(n)6）求，验证若不满足，则改变N或窗形状重新设计5、线性相位FIR高通滤波器的设计其单位抽样响应：理想高通的频响：6、线性相位FIR带通滤波器的设计其单位抽样响应：理想带通的频响：7、线性相位FIR带阻滤波器的设计其单位抽样响应：理想带阻的频响：三、频率抽样设计法1、设计方法

对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值窗函数设计法：内插公式：抽样点上，频率响应严格相等抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加

变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小1、线性相位的约束1）h(n)偶对称，N为奇数幅度偶对称：相位函数：2）h(n)偶对称，N为偶数幅度奇对称：相位函数：2、频率抽样的两种方法1）第一种频率抽样系统函数：频率响应：2）第二种频率抽样系统函数：频率响应：3、线性相位第一种频率抽样h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称又线性相位：即：对称中心：

当N为奇数时：

当N为偶数时：

当N为奇数时：

当N为偶数时：频率响应：

当N为奇数时：

当N为偶数时：4、线性相位第二种频率抽样h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称又线性相位：即：对称中心：

当N为奇数时：

当N为偶数时：

当N为奇数时：

当N为偶数时：频率响应：

当N为奇数时：当N为偶数时：增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减5、过渡带抽样的优化设计不加过渡抽样点：加一点：加两点：加三点：增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量优点：频域直接设计缺点：抽样频率只能是或的整数倍， 截止频率不能任意取值例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5π，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。解：按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点得线性相位FIR滤波器的频率响应：过渡带宽：阻带衰减：-20dB增加一点过渡带抽样点

令H(9)=0.5

过渡带宽：

阻带衰减：-40dB增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为N=65

令H(17)=0.5886

H(18)=0.1065

过渡带宽：

阻带衰减：-60dB四、设计FIR滤波器的最优化方法1、均方误差最小准则频率响应误差：实际频响理想频响均方误差：当时即相当于矩形窗∴矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则2、最大误差最小化准则

（加权chebyshev等波纹逼近）

当

为偶/奇对称，N为奇/偶数的四种情况其频响

为偶对称时

N为奇数：

N为偶数：

N为奇数：利用三角恒等式将表示成两项相乘形式

为奇对称时

N为偶数：N为奇数

N为偶数

1N为奇数

奇对称

N为偶数

偶对称

其中：

由下而上由求加权chebyshev等波纹逼近：求一组系数使各频带上的最大绝对值最小

加权逼近误差函数：逼近函数

加权函数A—各通带和阻带交错定理：若是r个余弦函数的线性组合。即A是内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)，是A上的一个连续函数,则是的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分必要条件是：加权逼近误差函数在A中至少有个极值点，即A中至少有个点，且使得且

设要求滤波器频率响应：

寻找一个 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近参数：

，，，，N若

最佳一致逼近则

在通、阻带内具等波纹性故又称等波纹逼近

根据交错定理：最大极值点数

的极值点数＋

单有极点根据

知

的极值点数为：

偶对称

N为奇数

N为偶数

奇对称

N为奇数

N为偶数

单有的极值点是除

外的频带端点处如低通有2个，带通有4个

极值点数目最优线性相位FIR滤波器的设计步骤6）用Remez算法，求逼近问解的解7）计算滤波器的单位抽样响应

2）根据类型和的长度N，确定的个数r4）计算各格点频率上的和函数值1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型加权逼近误差：

将，表示成，5）用公式表示逼近问题3）在频率区间，用密集的格点表示离散频率设误差函数值为δ，则Remez算法1）按等间隔设定个极值点频率的初始值其中：

，，未知数：和δ，但求解困难可求2）用解析法求其中：3）求值其中：利用重心形式的拉格朗日内插公式得4）求5）判断是否所有频率上皆有若是，结束计算若否，作为新的一组交错点组频率，返回步骤2）重新计算值，，误差曲线每个格点频率上(r+1)个极值点频率处，且正负交错。为最佳逼近，误差曲线的个局部极值频率点求前后两次迭代的值相等，终止条件：即收敛于其上限、已知N、，求最佳，通、阻带加权误差相同若、已知，则可规定加权函数则经Remez解法迭代得若、已知，则固定，改变值，重复迭代使、满足要求加权函数及其它参数的确定：计算滤波器的单位抽样响应由求的L点IDFT即得对频域抽样得P(k)，L点时不混叠）（偶对称，N为奇数时如由可求得h(n)偶对称，N为偶数时如五、IIR和FIR数字滤波器的比较IIR滤波器FIR滤波器h(n)无限长h(n)有限长极点位于z平面任意位置滤波器阶次低非线性相位递归结构不能用FFT计算可用模拟滤波器设计用于设计规格化的选频滤波器极点固定在原点滤波器阶次高得多可严格的线性相位一般采用非递归结构可用FFT计算设计借助于计算机可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器第七章习题讲解解：线性相位理想低通滤波器1．用矩形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知，。求出并画出曲线。其单位抽样响应：其中用矩形窗截断得FIR滤波器：其中是窗函数。低通滤波器的幅频响应曲线：则FIR滤波器的频率响应：7．试用频率抽样法设计一个FIR线性相位数字低通滤波器，已知。，解：根据题意有按第一种频率抽样，得则FIR滤波器的频率响应：按第二种频率抽样，得是偶对称序列9．已知图P7-9-1中的，圆周移位（移位）图P7-9-2中的是后的序列。设成立否？与有（1） 问什么关系？（2） ，各构成一个低通滤波器，试问它们是否是线性相位的？延时是多少？解：（1）根据题意可知则由上式可以看出（2）各构成低通滤波器时，，由于都满足偶对称，因此都是线性相位的。延时为10．请选择合适的窗函数及N来设计一个线性相位低通滤波器要求其最小阻带减为－45dB，过渡带宽为求出并画出曲线（设）解：根据低通滤波器的最小阻减为－45dB，查表，应选择海明窗：得过渡带宽应满足：又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为：其中：线性相位FIR低通滤波器：用海明窗设计得到FIR滤波器的幅频响应：第八章学习目标掌握线性相位FIR数字滤波器的特点掌握窗函数设计法理解IIR与FIR数字滤波器的比较本章作业练习

P370:

110(1)第八章FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器：

可以利用模拟滤波器设计

但相位非线性FIR数字滤波器：

可以严格线性相位，又可任意幅度特性

因果稳定系统

可用FFT计算

但阶次比IIR滤波器要高得多一、线性相位FIR滤波器的特点FIR滤波器的单位冲激响应：系统函数：在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点

h(n)为实序列时，其频率响应：1、线性相位条件即群延时是常数

第二类线性相位：

第一类线性相位：线性相位是指

是

的线性函数

第一类线性相位：第一类线性相位的充要条件：

n=(N–1)/2为h(n)的偶对称中心第二类线性相位的充要条件：

n=(N–1)/2为h(n)的奇对称中心2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点系统函数：由频率响应：1）h(n)偶对称

为第一类线性相位相位函数：频率响应：2）h(n)奇对称相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数幅度函数：

其中：

其中：适合设计各种选频滤波器2）h(n)偶对称，N为偶数幅度函数：

其中：

其中：

故不能设计成高通、带阻滤波器

3）h(n)奇对称，N为奇数幅度函数：其中：其中：

不能设计4）h(n)奇对称，N为偶数幅度函数：

其中：

其中：

h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时4、零点位置得：由1）若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对

线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对1）零点：2），即零点在单位圆上零点：3），即零点在实轴上零点：4） 即零点既在实轴上，又在单位圆上零点：二、窗函数设计法1、设计方法w(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：其理想单位抽样响应：中心点为α的偶对称无限长非因果序列

取矩形窗：则FIR滤波器的单位抽样响应：按第一类线性相位条件，得

加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积而矩形窗的频率响应：理想滤波器的频率响应：其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应：

幅度函数：加窗函数的影响：不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应2、各种窗函数窗函数的要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度 以减小肩峰和波纹矩形窗主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大窗谱：幅度函数：三角形（Bartlett）窗主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小窗谱：幅度函数：汉宁（Hanning）窗 （升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度小幅度函数：海明（Hamming）窗 （改进的升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小幅度函数：布莱克曼（Blackman）窗 （二阶升余弦窗）主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小幅度函数：凯泽（Kaiser）窗

：第一类变形零阶 贝塞尔函数窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关3、窗函数法的设计步骤给定理想的频率响应函数 及技术指标求出理想的单位抽样响应根据阻带衰减选择窗函数计算频率响应，验算指标是否满足要求根据过渡带宽度确定N值求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：IFFT法：计算其IFFT，得：

对M点等间隔抽样：4、线性相位FIR低通滤波器的设计解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率为，

通带截止频率为，

阻带起始频率为，

阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)4）确定N值3）选择窗函数：由确定海明窗（-53dB）5）确定FIR滤波器的h(n)6）求，验证若不满足，则改变N或窗形状重新设计5、线性相位FIR高通滤波器的设计其单位抽样响应：理想高通的频响：6、线性相位FIR带通滤波器的设计其单位抽样响应：理想带通的频响：7、线性相位FIR带阻滤波器的设计其单位抽样响应：理想带阻的频响：三、频率抽样设计法1、设计方法

对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值窗函数设计法：内插公式：抽样点上，频率响应严格相等抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加

变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小1、线性相位的约束1）h(n)偶对称，N为奇数幅度偶对称：相位函数：2）h(n)偶对称，N为偶数幅度奇对称：相位函数：2、频率抽样的两种方法1）第一种频率抽样系统函数：频率响应：2）第二种频率抽样系统函数：频率响应：3、线性相位第一种频率抽样h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称又线性相位：即：对称中心：

当N为奇数时：

当N为偶数时：

当N为奇数时：

当N为偶数时：频率响应：

当N为奇数时：

当N为偶数时：4、线性相位第二种频率抽样h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称又线性相位：即：对称中心：

当N为奇数时：

当N为偶数时：

当N为奇数时：

当N为偶数时：频率响应：

当N为奇数时：当N为偶数时：增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减5、过渡带抽样的优化设计不加过渡抽样点：加一点：加两点：加三点：增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量优点：频域直接设计缺点：抽样频率只能是或的整数倍， 截止频率不能任意取值例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5π，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。解：按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点得线性相位FIR滤波器的频率响应：过渡带宽：阻带衰减：-20dB增加一点过渡带抽样点

令H(9)=0.5

过渡带宽：

阻带衰减：-40dB增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为N=65

令H(17)=0.5886

H(18)=0.1065

过渡带宽：

阻带衰减：-60dB四、设计FIR滤波器的最优化方法1、均方误差最小准则频率响应误差：实际频响理想频响均方误差：当时即相当于矩形窗∴矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则2、最大误差最小化准则

（加权chebyshev等波纹逼近）

当

为偶/奇对称，N为奇/偶数的四种情况其频响

为偶对称时

N为奇数：

N为偶数：

N为奇数：利用三角恒等式将表示成两项相乘形式

为奇对称时

N为偶数：N为奇数

N为偶数

1N为奇数

奇对称

N为偶数

偶对称

其中：

由下而上由求加权chebyshev等波纹逼近：求一组系数使各频带上的最大绝对值最小

加权逼近误差函数：逼近函数

加权函数A—各通带和阻带交错定理：若是r个余弦函数的线性组合。即A是内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)，是A上的一个连续函数,则是的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分必要条件是：加权逼近误差函数在A中至少有个极值点，即A中至少有个点，且使得且

设要求滤波器频率响应：

寻找一个 使其在通带和阻带内最佳地一致逼近参数：

，，，，N若

最佳一致逼近则

在通、阻带内具等波纹性故又称等波纹逼近

根据交错定理：最大极值点数

的极值点数＋

单有极点根据

知

的极值点数为：

偶对称

N为奇数

N为偶数

奇对称

N为奇数

N为偶数

单有的极值点是除

外的频带端点处如低通有2个，带通有4