2024年高考数学高考知识点二

中学数学学问点回顾

第一章-集合

（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为ACA；

②空集是任何集合的子集，记为。口人；

③空集是任何非空集合的真子集；

①〃个元素的子集有2"个.〃个元素的真子集有2"-1个.n个元素的非空真子集有2n

-2个.

［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题肯定为真.否命题。逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题肯定为真.原命题。逆否命题.

交:AB{x\xA,且xeB}

并:AI,6={尤|xeA或xeB}

2、集合运算:交、并、补.

补:CgA={犬e且xeA}

（三）简易逻辑

构成复合命题的形式:P或q（记作"pvq"）;p且q（记作"pW）;非p（记

作"［q"）o

1、"或"、"且"、"非"的真假推断

4、四种命题的形式及相互关系：

原命题：若P贝！Jq；逆命题：若q则P；

否命题：若「P贝！Jiq；逆否命题：若「q贝！Jip。

①、原命题为真，它的逆命题不肯定为真。

②、原命题为真，它的否命题不肯定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题肯定为真。

6、假如已知pnq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若p=>q且qnp,则称p是q的充要条件，记为p=q.

其次章-函数

一、函数的性质

(1)定义域：(2)值域：

(3)奇偶性：(在整个定义域内考虑)

①定义：①偶函数：/(—%)=/(%),②奇函数：/(—%)=一/(%)

②推断方法步骤：a.求出定义域；b.推断定义域是否关于原点对称；c.求f(一无);

d比较/(一%)与/'(%)或/(一%)与—/(%)的关系。

(4)函数的单调性

定义：对于函数f(X)的定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值XLX2,

⑴若当X1<X2时,都有f(xi)<f(x*则说f(x)在这个区间上是增函数;

⑵若当X1<X2时，都有f(Xi)>f(X2),则说f(x)在这个区间上是减函数.

二、指数函数与对数函数

指数函数y=a\a>0且aw1)的图象和性质

a>l0<a<l

；

图y=i

/y=i

象

(1)定义域：R

性(2)值域：(0,+8)

质(3)过定点(0,1),即x=0时，y=l

(4)x>0时,y>l;x<0时，0<y<l(4)x>0时,0<y<l;x<0时,y>l.

(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数

对数函数y=logax(a>0且aw1)的图象和性质:

⑴对数、指数运算：

log.(M•N)=logaM+log。N

log.，=log”MTog.N

rr

n(ab)〃=ab

logaM=nlogaM

⑵y)与>=108〃％(0,〃wl)互为反函数.

V=logax___________-

图

O

象

x_1'''''''''''

(1)定义域：(0,+OO)

(2)值域：R

性(3)过点(1,0),即当乂=1时，丫=0

质

(4)%£(。,1)时y<0—0,1)时y>0

%£(1,+00)时y>0XG(L+8)时y<。

(5)在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

第三章数列

1.⑴等差、等比数列：

等差数列等比数列

定义an+X-=d

=q(q/0)

an

递推公册=册7+d；；

--n—m

式a=a_+mda

nmnn=amq

通项公an=ar+(〃一l)dYl—\_

-a[q(,qw0)

式

中项公,a+b

A=--------G2=ab

2

式

前〃项na^q=1)

S=5(。]+m)

na^-qn)ai-aq

Sn=<=n

和

c,n(n-l)\-q1-q

Sn-naxH----------a

重要性〃+相=P+4则

*

质am-an=ap«q(m,n,p,qeN,m+n=p+q)

$1=%(〃=1)

a

(2)数列｛an｝的前n项和Sn与通项an的关系:n=k5>2)

第四章-三角函数

一•三角函数

1、角度与弧度的互换关系：360°=2〃;180°=^;

180〃

lrad=------O~57.30°=57°18z;1°=——*0.01745(rad)

71180

留意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

1,1..2

2、弧长公式:/=1团扇形面积公式：5扇形二不/「二亍山"

Xy

3、三角函数：sm"]cosa=—・tana=—

r'x

4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

sintz

5、同角三角函数的基本关系式-------=tanasin267+cos2a=1

C0S6Z

6、诱导公式:

sin(2%»+x)=sin%sin(-x)=-sinx

cosQk兀+x)=cos%cos(-x)=cosx

tan(2丘+x)=tanxtan(-x)=-tanx

cot(2左乃+%)=cot%cot(-x)二一cot%

sin(〃+%)=—sin%sin(2〃-x)=-sinxsin(»-％)=sin%

cos(»+%)=-cos%cos(2^--x)=cos%cos(»-％)=-cosx

tan(1+%)=tan%tan(2万-x)=-tanxtan(^--x)=-tanx

COt(7F+%)=cotxcot(2^--x)=-cotxcot(»—%)=-cot%

7、两角和与差公式

sin(tz±/?)=sinacos4±cos。sin/3

cos0±£)=cosacosP：Fsinasin0

,小tan6z+tan^/c、tan。一tan£

tan@+0.-----------------tan(6z一尸)=-----------

1-tanatan/?1+tanatan/

8、二倍角公式是:

sin2。=2sina-cosa

cos2cr=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a

2tanar

tan2。=；~~2-

1-tana0

协助角公式asin9+bcos0=y1a2+b2sin（0+（p）,这里协助角（p所在象限由a、b

b

的符号确定，（P角的值由tan^=LA-/确定。

9、特殊角的三角函数值:

717171713万

a0~6TT~271T

旦V3

sin。010

2V~T-1

V3j_

cosa1Vf00

~T"T2-1

V31不存在不存在

tana0VV30

不存在V3不存在

cotOfV31T00

a_b_c

10、正弦定理——G—最—2勺月为外接圆半径）•

余弦定理c2=a2+b2-2bccosC,

b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA.

面积公式：

S=—ah=—bh.=—chr=—absinC=—acsmB=—bcsinA

A2n22222

7=2几

11y=sin（（2K+9）或y=cos（6K4-°）GW。）的周期一时.

JI

12.y=sin（皿+。）的对称轴方程是％=左左+万（左金Z）,对称中心（ki,。）；

y=cos（尔+劭的对称轴方程是％=Qr（keZ）,对称中心（后r+g",。）;

y=tan（/¥+。）的对称中心（可，°）.

第五章-平面对量

Q）向量的基本要素：大小和方向.

—►

（2）向量的长度：即向量的大小，记作।a।.

d=dL=（x,_y）

（3）特殊的向量：零向量a=00|a|=o.

—►―►

单位向量。为单位向量。|a|=1.

[X]—x2

（4）相等的向量：大小相等，方向相同（xi,yi）=（X2,y2）OJ、，_、，

IX—y2

———一一—

⑸相反向量：ci=-b<^>b=-d<^>d+b=0

（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a||b.平行向量也

称为共线向量.

（7）.向量的运算

运

算

几何方法坐标方法运算性质

类

型

向

1.平行四边a+b=b+a

量

形法则a+b={xi+x2,yi+y2)(a+b)+c=a+(l?+c)

的

2.三角形法则AB+BC=AC

加

法

向

量a—b=a+(—Z?)

的三角形法则

a-b={xi-x2,yi-y2)AB=-BA,

减OB-OA=AB

法

1.2«是一^向

量满

意：

数|A,a|=|X||a|=(即)a

乘2.2>0时,(2+4)〃—Act+/Lia

ka-(Ax,Ay)

向/la与Q同2(a+Z?)-Xa+Ab

量向;％<0时，a1/boa=2b

与。异向；

X=0时，

Xa=0.

向a•〃是一个数

a・b=b・a

量1.

a^b=xix2+y^y2(Aa)*b--l(a•b)

的a—0或Z?=0

G"=忖,卜0591wO力H0,0<^<180j

(a+〃)・c=a・c-\-b»c

数时，a・b二。

2>2

a=|a|即|a|二J%'■+y

量awO且BwdB寸

|a“区|a||B|

积a»b=\a\\b\cos\(a,b)

(8)两个向量平行的充要条件

--------_-a=Ab

W或芭y2-兀2M=0

(9)两个向量垂直的充要条件

—►——►—

a±b<=>ab=ou>x[x2+yry2=0

a-bXjX2+yxy2

QO)两向量的夹角公式：cose=j

。卜|b|=Jx；+y；¥

0<0<180°,

附：三角形的四个"心"；

1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、重心：中线的交点

4、垂心：高的交点

(llVABC的判定:

。2=。2+万204/60为直角402人+NB=；

乙

2

C<〃2+力204/60为钝角AQNA+zB<y

兀

C2>。2+/04/跋为锐角—"+zB>—

(11)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

第六章-不等式

L几个重要不等式

（1）aER,a2>0,|a|>0当且仅当。=0,取“="，（a-b）220（a、beR）

（2）a,bE凡贝Ija?+b~>2ab

（3）。，方6尺+,则〃+Z?214ab-

22

a~+b/。+6、2

（4）^^（▽）；

⑸若a、b£R+,,则”2+匕2>（—）2（Q/tR）

2、解不等式

（1）一元一次不等式ax>b（aw0）

\b„fb

①a>U,jxx>—>②a<0,q％%<—>

'一[a.la>

2

（2）一元二次不等式ax+Z?x+c>0,（<2>0）

第七章-直线和圆的方程

一、解析几何中的基本公式

L两点间距离：若A（XI,y）B（X2，y2）,则|A同=）区—再>-

2.平行线间距离：若L：Ax+By+C\=0,12:Ax+By+C2=0

lay

则：d=

7A2+B2

留意：X,y对应项系数应相等。

3.点到直线的距离：P（x。，y。），1:Ax+By+C=0

|Ax+Byo+C|

则P到I的距离为：d=­/

A/A-+B~

y——kx+b

消y：ax2+bx+c^0,务必留

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：,_n

意A>0.若I与曲线交于A（%1,71）,3（九2，%）则:

,耳=取1+左2）氏一再）2

X.+

X=-----

2

5.若A（%i，%）,5（%2，y2），P（x,y）,P为AB中点，则<

丁=二+为

I2

6.直线的倾斜角（0°<«<180°）、斜率:k=tana

7.过两点片（%1，%），心（X2，为）的直线的斜率公式：^=—~—(玉f)

8.直线k与直线12的的平行与垂直

(1)若11,12均存在斜率且不重合：①Il〃l2=ki=k2②11口2=klk2=-1

(2)若4：Axx+Bxy+Q=0,12:A2x+B2y+Co=0

若Ai、A2、Bi、B2都不为零

①11//12。劣=旦。旦；

②Zz_L〃OA1A2+B1B2=O;

4B2C2

9.直线方程的五种形式

名称方程

斜截式:y=kx+b

点斜式:y一丁。=左（%一%。）

yf=％一.

两点式:—————（X1HX2）

方一必X2~X\

xy.

截距式：—+'=1

-------ab

一般式:Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）

10.圆的方程

(1)标准方程：+(y—b)2=厂2,Mb)一一圆心，/•一一半径。

2222

(2)一般方程■.x+y+Dx+Ey+F=0t(D+E-4F>0)

，DE、同、A/D2+E2-4F

（-----）—圆心，半径r=

2

222

特例：圆心在坐标原点，半径为，的圆的方程是：X+y=r_

x=a+rcos3

注：圆的参数方程：jy=8+厂sine（。为参数）•

特殊地，以（0,0）为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

0%=rcos'、,.

厂9+y=9厂（8为参数x）

y=rsm0

（3）点和圆的位置关系：给定点Af（%o，yo）及圆C：（%-a）2+（y-户.

①M在圆。内o（%0-。）2+（丁0-〃）2Y/

②M在圆C上=（%。-。尸+⑶。-加2=户

③〃在圆C外=（与-。）2+（丁0-〃）2f2

（4）直线和圆的位置关系：

设圆圆C：（尤一。）2+（4--）2=户（＞。）；

直线/：Ax+By+C=0（A2+B2^0）；

|Aiz+Bb+c|

圆心C（a,切到直线/的距离d=4+旌-

①^二厂时，/与C相切；

②dY厂时，/与C相交；

③d上厂时，/与C相离.

第八章-圆锥曲线方程

一、椭圆

1.定义工:若F1,F2是两定点，P为动点，且|尸£|+户段=2"＞闺工|（a为常数）

则P点的轨迹是椭圆。

x2y2y2一

2.标准方程：方+万=1（。＞＞〉0）二+Q=l（a＞"°）

abab

a1

长轴长=2a,短轴长=2b焦距：2c准线方程：％=±—,

c

离心率:e=:（°YeY1）焦点：（-C,O）（C,O）或（0,-C）（0,C）.

二、双曲线

1、定义：若Fi,F2是两定点，II尸片H尸闾|=2。<|片工|(a为常数)，则动点P的

轨迹是双曲线。

2.性质

x2y2y2x2_

(1)方程：―一R=1(a>0,b7>0)—=1(a>0,b>0)

abab

_a2

实轴长=2a,虚轴长=2b焦距：2c准线方程：*=±三

_c2a22b2

离心率《=7.准线距—-(两准线的距离)；通径——.

L-t-CC4-

22i2C

参数关系c=a+b'€=7.

%2y2b1

(2)若双曲线方程为二一百=1=渐近线方程：y=±一%

aba

222

⑶等轴双曲线：双曲线％一y=±”称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±%,

离心率e=41

三、抛物线

L定义：到定点尸与定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点尸的距离与到定直线/的距离之比是常数e(e=l)。

焦点：(g°),通径|Aq二22；

P1

准线：%=一万；离心率6=1

第九章-立体几何

一、判定两线平行的方法

1、平行于同始终线的两条直线相互平行

2、垂直于同一平面的两条直线相互平行

3、假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条

直线就和交线平行

4、假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

二.判定线面平行的方法

a）据定义：假如一条直线和一个平面没有公共点

b）假如平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平

行

c）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

d）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

e）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

⑴由定义知："两平行平面没有公共点"。

⑵由定义推得："两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理："假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们

的交线平行"。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任始终线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、定义：假如一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

2、假如一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法

1、定义：成90°角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任始终线垂直

3、一条直线假如和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：两面成直二面角很!]两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性质

1、二面角的平面角为90°

2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围

1、异面直线所成的角的取值范围是：。°<e«90。（0°,90°]

2、直线与平面所成的角的取值范围是：0°<8<90°[0°,90°]

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0。<，<90。（0°,90°]

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0°<eV180。（0°,180°]

十、面积和体积

1.S直棱柱侧=ch

S斜棱柱侧=C为直截面周长）

s圆柱侧=c，=27irh

2、S正棱锥侧=3C"S圆锥侧二W"=""

?43

3、球的表面积公式：S=4成•球的体积公式：V球=耳就二

4、圆柱体积：嗫柱二乃（厂为半径，力为高）

圆锥体积：》锥二*=±sh（/为半径，为高）

17_17

锥体体积：M棱锥二（S为底面积，力为高）

5、面积比是相像比的平方，体积比是相像比的立方

第十章-概率与统计

L必定事务P（A）=1,不行能事务P（A）=0，随机事务的定义0<P（A）<l。

两条基本性质①Pi之°（，=12...）;②P1+P2+...=1。

2.等可能事务的概率：（古典概率）P（A）=„理解这里m、n的意义。

3.总体分布的估计：用样本估计总体，是探讨统计问题的一个基本思想方法，一般地,

样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；

（1）平均数设数据占，入2，％3，・一，则

（2）方差：衡量数据波动大小

a-J

（较小）

心------标准差

4.了解三种抽样的意义

（1）简洁随机抽样：设一个总体的个数为N。假如通过逐个抽取的方法从中抽取一

个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简洁随机抽样。实

现简洁随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

（2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后根据预

先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所须要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也

称为机械抽样）0

系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将完全的编号进行分段；

（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。

（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然

后根据各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。

第十一章导数

1.导数的几何意义：

函数y=/（%）在点无。处的导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点（出，/（%））处

的切线的斜率也就是说，曲线y=/（%）在点，/（%）