高考数学一轮复习讲义-直线的方程及位置关系

第八章解析几何

第38讲直线的方程及位置关系

德教前I」夯皇固本

激活思维

L（人A选必一P54例1改）如图，直线A,h,/3的斜率分别为上,左2,fe,

则（D）

A.k\<ki<kz

B.kz<k\<ki

C.依<左2（左1

D.ki<h<ki

解析：直线/1的倾斜角Otl是钝角，故匕<0,直线A与/3的倾斜角（Z2与Ct3

均为锐角，且0t2>a3,所以0<fe<fo,因此左1<依<左2.

2.（人A选必一P57练习1改）已知直线/过点（一1,2）,且与直线2x-3y+4

=0垂直，贝IJ/的方程是（A）

A.3x+2y—1=0B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0D.2x—3y+8=0

解析：由题意可得直线/的斜率上=—|,所以/：厂2=—|（x+l）,即3%

+2y~l=0.

3.（人A选必一P77练习3改）已知点A（a,2）（a>0）到直线/：x-y+3=0的距

离为1,则。等于（C）

A.^2B.2-^2

C.72-1D.72+1

解析：由题意知」谭承=1,公0,解得。=也一L

4.（人A选必一P61例2改）（多选）若直线ax+2y—6=0与x+（tz—l）y+tz2—1

=0平行，则。的值可能是(AB)

A.2B.-1

C.—2或1D.2或1

解析：因为两直线平行，所以a(a—1)—2=0,且2(q2—1)+6(。-l)W0,即

a2—a—2=0,且屋+3a—4W0,解得。=2或。=—1.

5.(人A选必一P61例2改)已知直线h：(a+2)龙+(1—。)>—3=0与直线hi

(a-l)x+(2a+3)y+2=0,则ua=\n是“/山2”的(A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析:的充要条件是伍+2)(。-1)+(1—。)(2)+3)=0,即层—i=o,

解得a=±L显然"。=1”是"。=±1”的充分不必要条件，故"。=1”是

/2”的充分不必要条件.

基础回归

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线/_国

上方跑—之间所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定

它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线/倾斜角的取值范围是「0,而•

2.斜率公式

(1)若直线/的倾斜角aW90。，则斜率仁tana.

(2)若Pi(xi,yi),Pi(x2,")在直线/上且XI则I的斜率k=

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y—yo=k(x—xo)不含直线X=XQ

斜截式不含垂直于X轴的直线

y一"LXI

两点式—(XI7^X2,VIV2)不含直线和直线

yi~y\xi—xvx=xiy=yi

截距式a+b=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式Ax+3y+C=O(A2+32wo)平面直角坐标系内的直线都适用

4.两条直线平行与垂直的判定

(1)平行：对于两条不重合的直线11,12,其斜率分别为kl,k2,则有h//h

台kl=k2.特别地.当直线/1,/2的斜率都不存在时，与/2平行.

(2)垂直：如果两条直线/1,/2的斜率都存在，设为片,且则krk2

=—1.特别地.当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂

直.

5.三个距离公式

(1)点点距：两点P1(X1,yi),尸2。2,>2)之间的距离为\P\Pi\=

\/(X2—X1»+(V2—yi)2.

(2)点线距：平面上任意一点Po(xo,yo)到直线/：Ax+3y+C=0的距离d=

|Axo+3yo+C

Y/A2+B2

(3)线线距：两条平彳丁直线h：Ax+_8y+Ci=0,h：Ax+_8y+Q=0之间的

IC1—。2|

距离d=

-^A2+B2-'

6.常用结论

(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而

“距离”是一个非负数.

(2)“直线Aix+Biy+Ci=O,42%+比>+。2=0平行”的充要条件是“4比

且AC2WA2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1历=0”.

研题里:融合贯通

举题说法

目标n直线的方程

例1(1)已知直线I的斜率为小，在y轴上的截距为另一条直线x—2y—4

=0的斜率的倒数，则直线/的方程为(A)

A.v=^/3x+2B.y=-\[3x—2

C.y=yj3x+^D.y=-6x+2

解析：因为直线x—2y—4=0的斜率为3,所以直线/在y轴上的截距为2,

所以直线I的方程为y=yj3x+2.

（2）已知直线（加2-4）x+（冽+4）y+2机+1=0的倾斜角为135。，则根的值

是（B）

A.-4或2B.-2或4

C.4或0D.0或一2

加2—m—4QFT?1

解析：将直线方程化为斜截式方程得V=--匚丁-x—即该直线

­机十4机十4

m2—m—4m2—m-4,.„

的斜率为一---=tan35°=—1=-------------工1=加2一2加一8=0,解得加=

m+4m+4

—2或m=4.

〈总结提炼》

求直线方程的两种方法：（1）直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程

形式，直接写出直线的方程.选择直线方程的形式时，应注意各种形式的方程的

适用范围，必要时要分类讨论；（2）待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程

的某种形式，由条件建立所求参数的方程（组），解这个方程（组）求出参数，把参数

的值代人所设直线方程.

变式（1）直线/i：y=ax+b,h\y=bx+a（a,6是不相等的正数）的图象可

解析：由题意得直线/1,〃的方程为斜截式，因为斜率为正数，所以倾斜角

为锐角，又两直线在y轴上的截距均为正数，即可以判断A,B,D错误，故C

正确.

（2）倾斜角为150。，在y轴上的截距为一3的直线方程为y=~o-x~3.

解析：由直线的倾斜角为150°,知该直线的斜率为仁tanl5（T=—苧，依

据直线的斜截式方程y=kx+b,得y=一q一%一3.

目林巴两直线的位置关系

例2(1)(2022・莆田一模)若直线/：(a+l)x—y+3=0与直线相：x~{a+V)y

-3=0互相平行，则。的值为(D)

A.-1B.-2

C.-2或0D.0

解析：由题设知(a+l)2=l,解得a=0或<7=—2.当a=0时，/：%—>+3=

0,m：x—y—3=0,满足题设；当a=-2时，/：x+y—3=0,m：x+y—3=0,

不满足题设.所以。=0.

(2)(2022・辽南二模)已知直线/：ax+y+a=0,直线机：x+ay+a=0,贝U/〃

加的充要条件是(A)

A.〃=-1B.ct=1

C.。=±1D.ci=0

解析：因为直线/：ax+y+a=0,直线机：x+ay+a=0,易知当〃=0时，

两直线垂直，所以“0,所以/〃机的充要条件是卜!若，即a=-1.

〈总结提炼》

平行与垂直关系的解题策略：(1)已知两直线的斜率存在.①两直线平行台

两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直台两直线的斜率之

积等于一1.(2)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅

要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注

意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.

变式⑴设直线/i：(〃+l)x+3y+2=0,直线mx+2y+1=0,若

贝I]若则a=-7.

解析：若/1〃亿则2(〃+1)—1X3=0,解得〃=；,当〃=；时，两直线不重

合，即若U/2,贝U〃+1+3*2=0,解得〃=—7.

(2)已知过点A(—2,明和点_B(M,4)的直线为/i,直线，2：2x+y—1=0,直

线%+几y+1=0.若人〃区Z2-LZ3,求实数机+〃的值.

【解答】因为/1〃3所以而='=—2,解得加=—8.又因为/2山3,

所以1一；Jx(—2)=—1,解得“=-2,所以"?+”=—10.

目标团距离公式问题

例3(1)已知经过点P(2,2)的直线/与直线ax—y+l=0垂直，若点M(l,0)

到直线/的距离等于#,则。的值是(C)

A.12B.1

C.2D.1

解析：依题意，设直线/的方程为％+。＞+。=0,因为点尸(2,2)在/上，且点

j2+2a+c=0,

M(l,0倒直线/的距离等于小，所以1|l+c|r-消去C,得a=2.

〔诉=小，

(2)若动点A,3分别在直线/i：x+y—7=0和乱关+厂5=0上移动，则

A3的中点〃到原点的距离的最小值为(A)

A.372B.2^/2

C.3y/3D.4^2

解析：由题意知AB的中点M的集合为与直线/i：x+y—7=0的距离和与

b：x+y—5=0的距离都相等的直线，则”到原点的距离的最小值为原点到该直

线的距离.设点M所在直线的方程为/：x+y+m=0,根据平行线间的距离公式

lzn+71lzn+51

得爽=短今|加+7|=|冽+5|今加=—6,即x+y—6=0,根据点到直线的距

离公式得，点〃到原点的距离的最小值为*=3啦.

＜总结提炼》

使用距离公式时应注意：(1)点P(xo,yo)到直线x=a的距离d=|xo—a|,到

直线y=b的距离d=\y0-b\-,(2)应用两平行线间的距离公式时，要把两直线方

程中x,y的系数化为相等.

变式(1)已知直线/过点P(3,4)且与点A(—2,2),点3(4,—2)的距离相等,

则直线/的方程为2x—y—2=0或2x+3y—18=0.

解析：设所求直线的方程为y—4=左（元一3）,即依一y+4—3左=0，由已知得

|一24一2+4—34I4-+2+4—312

,所以左=2或左=一?所以所求直线/的方程

Vi+^

为2x—y—2=0或2x+3y—18=o.

（2）若两平行直线统―2>—1=0,6*+今+°=0之间的距离为噌，则中的

值为±1.

解析：由题意得?=士力看，所以「一4,cW—2,贝lj6x+ay+c=0可

化为3x-2y+f=0,所以誓=珪!，解得c=2或。=-6,所以中=一1

V13

随堂内化

1.已知直线/的倾斜角为不，直线/1经过点A（3,2）,B（a,-1）,且/i与/

垂直，直线/2：2x+0y+l=0与直线/i平行，则a+〃等于（B）

A.—4B.-2

2—(T)

解析：由已知得/的斜率为一1,则/1的斜率为1,kAB=3_a=1,所以

2

a=0.由/1〃上得一B=l,b=~2,所以a+/?=—2.

2.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离

是（D）

6m14

解析：因为,=了不二不所以m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7

两平行线之间的距禺2.

3.已知直线/i：冗+分+6=0和勿（。-2）x+3y+2〃=0平彳丁，则实数〃的

值为（B）

A.3B.11

C.1D.—1或3

id—2

解析：由得一"=