高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）正弦定理和余弦定理的应用

第八节正弦定理和余弦定理的应用

■他知溟工打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

1.实际问题中的有关概念

⑴仰角和俯角：

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.

⑵方位角：

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如方点的方位角为。（如图2）.

（3）方向角：

相对于某一正方向的水平角（如图3）

①北偏东。°即由指北方向顺时针旋转。°到达目标方向.

②北偏西。°即由指北方向逆时针旋转。°到达目标方向.

③南偏西等其他方向角类似.

图3图4

⑷坡度：

①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图4,角，为坡角）.

②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图4,，为坡比）.

2.解三角形应用题的一般步骤

（1）审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；

⑵根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；

（3）选择正弦定理或余弦定理求解；

（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.

［小题能否全取］

1.从/处望夕处的仰角为。，从夕处望/处的俯角为£,贝1J。，£之间的关系是（）

A.。＞£B.。二£

C.。+£=90°D.。+£=180°

答案：B

2.若点/在点C的北偏东30。，点8在点。的南偏东60°,且北=明则点/在点8的（）

A.北偏东15°B.北偏西15°

C.北偏东10°D.北偏西10°

解析：选B如图所示，

4/3=90°,

又AC=BC、

■.ACBA=45°,

而£=30°,

a=90°-45°-30°=15°.

，点/在点6的北偏西15°.

3.（教材习题改编）如图，设/、8两点在河的两岸，一测量者在4/B的同侧，选定

一点C,测出〃的距离为50m,乙43=45°,乙。6=105。，则/、方一，二LT两点的距离为

（）-7^^

C4-------A!

A.50\^2mB.5（h/3m

C.25y［2m.25^/^小

解析：选A由正弦定理得

A/2

Af)Xa—

AC*sinAACB2

-----：—3---=­；—=5OJ2r(m)

sinB-------------v

2

4.（•上海高考）在相距2千米的/、夕两点处测量目标点C若乙。与二75°,乙烟二60°,则/、C

两点之间的距离为千米.

解析：如图所示，由题意知乙。=45°

W2

由正弦定理得sin60°=sin45°'

2

答案:.

5.（-泰州模拟）一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续

航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°,另一灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行

海里.

解析：如图，由题意知在△466'中，2ACB=15°-60°=15°,B=：.AC=

AB=8.

在入△/%中，OC=AC-sin30°=4.

4

二这艘船每小时航行=8海里.

2

答案：8

解三角形应用题常有以下两种情形

（D实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定

理求解.

（2）实际,问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些

三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程

（组）,解方程（组）得出所要求的解.

昌高频考点耍通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

测量距离问题

典题导入

［例1］郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地

上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分另U为△

ABC、&ABD,经测量皿=劭=7米，6c=5米，AC=8米，乙C=乙D.

（1）求力8的长度；

（2）若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由）

［自主解答］(1)在中，由余弦定理得

,Ad+Bd-A百82+52-AS

cosC=_2AJBC=2X8X5'①

在△/劭中，由余弦定理得

Alf+BI^-AB72+72-AB"

cosD=_2AD・BD=2X7X71②

由乙。二乙〃得cosC-cosD.

解得四二7,所以股的长度为7米.

⑵小李的设计使建造费用最低.

理由如下：

入11

易知S△板二万/〃。jS/feinD,S^ABC-~AC*BCsinC,

因为AD・BD>AC・BC,且乙。二乙〃，

所以S»AB»SRABC.

故选择△/回的形状建造环境标志费用较低.

»>一题多变

若环境标志的底座每平方米造价为5000元，试求最低造价为多少？

解：因为二初二加二7,所以△/必是等边三角形，

乙D=60°,ZC=60°.

故S△胞二，。•6小inC-10^/3,

所以所求的最低造价为5000X10-73=50000福786600元.

由题悟法

求距离问题要注意：

(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则

把未知量放在另一确定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

以题试法

L如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，—----------在河段的一岸

边选取两点人及观察对岸的点C测得乙。6=105°,乙的=45°,且/6=100m.

(1)求sin乙。8的值；<

AB

(2)求该河段的宽度.

解：(l)sin乙CAB=sin105

=sin(60°+45°)

=sin60°cos450+cos60°sin45°

症

1捶

V23

-X+-乖十木

222一_4-'

⑵因为乙"8=105°,乙的=45°,

所以4/四=180°-2CAB-乙CBA=30°.

-h,ABBC

由正弦7E理，信sin乙4C8=sin乙CAB

AB.sin105°

=50(^6+72)(m).

贝1JBC=-sin30°

如图所示，过点C作垂足为〃则切的长就是该河段的宽度.在

BDC中、

CD^BC.'sin45°=50(m+镜)X坐=50(/+1)(m).

所以该河段的宽度为50(m+l)m.

3测量高度问题

典题导入

［例2］(•九江模拟)如图，在坡度一定的山坡月处测得山顶上/C一建筑物

&D顶前进/米到

。(切所在.的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为a,从4处向山

达6后，又测得切对于山坡的斜度为£,山坡对于地平面的坡角为产1--------%0-

⑴求8c的长；

⑵若1=24,ff=15°,£=45°,6=30°,求建筑物切的高度.

［自主解答］(1)在中，乙ACB=8-a,

根据正弦定理得sin乙BAC=sinLACB

7sinQ

所以.二市

B-a

7sinQ24Xsin15°厂…

⑵由⑴知药sin…sin30°=12z(r#-p米.

,兀2兀\3

在△比7?中，ABDC=—+—IT=—r~,sin乙BDC=g\

根据正弦定理得sin乙BDC=sin乙CBD

所以0=24-84米.

由题悟法

求解高度问题应注意：

(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹

角；

(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；

(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.

以题试法

2.(•西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔47的高度，在C点测得塔顶/的仰角是45。，在。点

测得塔顶/的仰角是30°,并测得水平面上的485=120。，67)=40m,求电视塔的高度.

解：如图，设电视塔居高为xm,14

则在中，由乙/四=45°得在Rt△/庞中，乙ADB=30°,

则切=@B

c

在△劭C中，由余弦定理得，

初=初+5一2宛•Wcos120°,

即（小4=/+402-2••40•cos120

解得x=40,所以电视塔高为40米.

测量角度问题

典题导入

[例3](•太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12

nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每

小时14nmile的速度，沿北偏东45。+a方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方

侦察艇所需的时间和角。的正弦值.

A

［自主解答］如图，设红方侦察艇经过X小时后在C处追上蓝方的小艇,

则〃=14x,BC=10^,4W=120°.

根据余弦定理得（Mx）。=12°+（IO*）?-240xcos120°,

解得x=2.

故4C=28,BC=20.

根据正弦定理得小丁=示瑞=,

〃-20sin120°5馅

解传sina=­诋一二步

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角。的正弦值为乎.

由题悟法

1,测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义.

2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际

问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点.

以题试法

3.（•无锡模拟）如图，两座相距60m的建筑物AB、切的高度分别为20m、

50m,初为水平面，则从建筑物加的顶端/看建筑物。的张角乙CAD的大小是

解析：■.-JZ!2=602+202=4000,=602+302=4500.

在中，由余弦定理得

取+〃-5J2

cos乙CAD=—=4-,ACAD=45

乙aufltz乙

答案：45

晶解遇训练要高效抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

A级全员必做题

1.在同一平面内中，在/处测得的6点的仰角是50°,且到/的距离为2,C点的俯角为70。，且

到/的距离为3,则&。间的距离为（

A.四B.y/17

C.y[18D.y[19

解析：选DABAC^120°,AB=2,AC^3.

B（^--2AB,ACcosABAC

=4+9-2X2X3Xcos120°=19.

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正

西方向的点力测得水柱顶端的仰角为45。，沿点/向北偏东300前进100m到达点瓦在夕点测得水柱顶

端的仰角为30°,则水柱的高度是（）.

A..50mB.100m

C.120mD.150m

解析：选A设水柱高度是水柱底端为C,则在△/况'中，4=60°,AC=/i.AB^lOO,BC=/h,

根据余弦定理得，2=A2+1002-2•A•100•cos60°,即-+50力-5000=0,即--50）Q+

100）=0,即为=50,故水柱的高度是50m.

3.（•天津高考）在△/欧中，内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知86=5c,C=2B,则cos

C=（）

sinCc

解析：选A由28得sin。=sin28=2sin反os6,由正弦定理及86=5。得cos———-=—

乙sinL）乙。

4（4、7

=~,所以cosC-cos2B-2cos2B-1=2X~2-1=—

uJZu

4.（•厦门模拟）在不等边三角形/a1中，角从反。所对的边分别为/b、G,其中a为最大边，如

果sin2（6+0<sin28+sin2c则角/的取值范围为（）

jiji

JIJIJIJI

解析：选D由题意得sin2^<sin2^+sin2^

再由正弦定理得我4+c,即百+c-才>0.

B+c-a

贝IJcosA=———>0,

it

•••0〈水兀，/.0<A<—

JI

又田为最大边，「/>/■・

O

（JIJIA

因此得角A的取值范围是值，y}

5.一艘海轮从4处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达8处,

在。处有一座灯塔，海轮在/处观察灯塔，其方向是东偏南20。,在夕处观察灯塔，其方向是北偏东65°,

那么从。两点间的距离是（）

A.10^/2海里B.10^3海里

C.20^/2海里D.2Q小海里

解析：选A如图所示，由已知条件可得，AG4^3O°,AABC=105°,

-8。=45°.

^20°

又46=40义；=20（海里），5久了-

20BC5年

一由正弦7H理可得sin45。-sin300-

1

20X-

飞号=10A/^（海里）.

2

6.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的工B、,高度为海拔

18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过］min后

又看到山顶的俯角为75。，则山顶的海拔高度为（精确到0.1km）（）

A.11.4B,6.6

C.6.5D.5.6

,150000

解A析：选B-：AB=1000X1000X-=---m,

AB50000

:.BC=—.—/匚。•sin30=---m.

sin453y/2

二航线离.山顶］=5；**°Xsin75°"11.4km.

山高为18-11.4=6.6km.

7.（•南通调研）“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小

12夕益75

区内的一块三角形空地上（如图，单位：m）种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/nA则购买这种草皮

需要元.

解析：三角形空地的面积S=[xi2，5><25><sin120°=225,故共需225义120=27.000元.

答案：27000

8.（•潍坊模拟）如图，一艘船上午9：30在4处测得灯塔S在它的北偏东30°的方

向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达6处，此时又测得灯^7S塔S在它的北

V

偏东75°的方向，且与它相距队作nmile.此船的航速是nmile/h.

30/

y

解析：设航速为vnmile/h,

在△/函中28=；匕BS=8y[2,ABSA=45°

1

-y

2

由正弦定理得/n则v=32.

答案:32

9.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面.上，由炮台顶部测得俯角分

别为45。和60。，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.

解析：如图，0=4aan45°=30(m),

Waan30。=^X30=10^3(m),

o

在△欣W中，由余弦定理得,N

^900+300-2X30X1073

MN=

=、300=10^3（m）.

答案：10^3

10.如图，在△/阿中，已知48=45°,〃是笈边上的一点，AD=10,AC=14,DC

=6,求48的长.

解：在中，AD=IQ,AC=14,〃。二6,

A八DG-A6

由余弦定理得COS乙49。二-2AD•DC

1

100+36-196-

220

2X10X6

ZW=60°.

在△/初中，42=10,46=45°,AADB=60°

,、q,ABAD

由正弦7E理得sin乙ADB二sinB

AD,sin乙ADB

：.AB=

sinB

lOsin600

「5季.

sin45°

11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直

弹射高度：4B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观

测点4、8两地相距100米，2BAC=60°,在/地听到弹射声音的时间比8地晚

作秒.在4地测得该仪器至最高点〃时的仰.角为30。，求该仪器的垂

直弹射高度

CH.（声音的传播速度为340米/秒）

2

解：由题意，设贝8C=x-jy><340=x-40,

在中，由余弦定理得

BCt=B/+C^-2BA-CA-cosABAC,

即（x-40）2=/+10000-100x,解得x=420.

在△/口中，AC=420,ACAH=30°,AACH=90°,

所以CH=AC•tan乙CAH=14073.

答：该仪器的垂直弹射高度CH为14附米.

12.（•兰州模拟）某单位在抗雪救灾中，需要在48两地之间架设高压电线，测

量人员在相距6km的C。两地测得心力切=45°,乙ADC=75°,乙BDC=15°,乙

颇=30°（如图，其中4B,C,〃在同一平面上），假如考虑到电线的自然下垂和

施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是48之间距离的1.2倍，问施工单位

至少应该准备多长的电线？

解：在切中，44缪=45°,CD=&,AADC=75°,

所以乙。。=60°.

___CD_________AD

因为sin乙CAD=sinLACD

亚

a\z-2t—

CDXsinAACD2

所以所=sin乙而=12一=

2

在△腼中，乙BCD=30°,CD=&,ABDC=15°

所以乙侬=135°.

___CD_________BD

因为sin乙CBD=sin/BCD'

①Xsin乙BCD

所以如二

sinZ.CBD

又因为在初中，ABDA=^BDC+AADC=90°,

所以△力如是直角三角形.

所以出3力+初=yl2762+3^22=^42

所以电线长度至少为/=1.2义相=呼^（单位：km）

0

„6^42

答：施工单位至少应该准备长度力km的电线.

5

B级重点选做题

1.某城市的电视发射塔切建在市郊的小山上，小山的高亢为35m,在地面上有一

D

点4测得4C间的距离为91m,从/观测电视发射塔切的视角（乙Q0为45°,

则这座电视发射塔的高度"为米,

解析：”二7912—352=84,

5c

1+—

BC355CD+3b12

CAB----由———=tan(45+LCAB)=-----A3,'B-y,得CD-169.

ADO41Zo40

答案：169

2.年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场,

105°

n

一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达8处发现一个生命迹象，然后向右转

135°

105°,行进10m到达。处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到

出发点，那么x=A

解析：...由题知，乙的二75。，乙夕。=45°,

.\ABAC=180°-75°-45°=60°,

x1010A/6

X-一T-m.

•'sin45°-sin60°,o

答案:呼m

3.(•泉州模拟)如图，当甲船位于2处时获悉，在其正东方向相距20海里的B

处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西

30°,相距10海里的。处的乙船.

(1)求处于，处的乙船和遇险渔船间的距离；

⑵设乙船沿直线"方向前往6处救援，其方向与。一成9角，求f(x)=sii?«sinx+坐cos?6cos

x(xER)的值域.

解：(D连接6c由余弦定理得

B(^=202+102-2X20XlOcos120°=700.

.••^=10^7,即所求距离为1队斤海里.

sin。sin120°

20.10巾

f{x)=sin2Osinx+^-cos29cosjr=ysinx+^-cosx

2#.

7S1

•."(x)的值域为-半，平]

|.师各选题|

L如图，甲船以每小时304海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线

航行.当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西105。方向的笈处，此时两船相距20

海里，当甲船航行20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的5处,

此时两船相距海里•问：乙船每小时航行多少海里？

解：如图，连接45由已知44