2024年高考数学一轮复习（新高考版） 空间直线、平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行

【考试要求】I.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明2

掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与此

判定定理平面内的一条直线平行,bUa

那么该直线与此平面平行a//b.

一条直线与一个平面平

〃〃a

行，如果过该直线的平面

性质定理

与此平面相交,那么该直

线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

a』、

如果一个平面内的两条相

buB

判定定理交直线与另一个平面平行,4rl

那么这两个平面平行Z7〃〃a

bIIa>

两个平面平行，如果另一个z£^7a〃B]

性质定理平面与这两个平面相交,那7^7aDy=ar=^a//b

么两条交线平行尸

【常用结论】

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若。，a,a^p,则a〃4

2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃夕，p//y,则a〃/

3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,b-La,则a〃匕.

4.若a〃£,aUa,则a〃0.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面.（X）

（2）若直线〃与平面a内无数条直线平行，则a〃a（X）

⑶若直线平面a,直线平面.，a//b,贝la〃4.（X）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.（X）

【教材改编题】

1.平面。〃平面少的一个充分条件是（）

A.存在一条直线〃，a//a,a〃B

B.存在一条直线a,QUQ,a//P

C.存在两条平行直线a,b,〃UQ,bu.,a〃B，b//a

D.存在两条异面直线a,b,〃Ua,bU0,a〃B，b//a

答案D

解析若a//Z,aQa,a邛,则〃〃a,a〃B，排除A；若aC\0=l,aUa,a//Z,则

a///3,排除B；若aG£=/,aUa,a///,bu0,b//1,则〃〃夕，b//a,排除C.

2.（多选）已知a,夕是两个不重合的平面，/，根是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若1〃m,I//则zn〃4或相up

B.若mUa,/u"则小〃/

C.若mA-a,l.Lm,则I//a

D.若小〃a,mU0,aCB=l,贝!〃/

答案AD

解析对于A,若/〃机，I//P，则相〃4或znup,A正确；

对于B,若a〃夕，mUa,lu§,则加〃/或/,相异面，B错误；

对于C,若机_La,l.Lm,则/〃1或/u。，C错误；

对于D,由线面平行的性质知正确.

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状

为.

答案平行四边形

解析・.・平面〃平面DCGH,

又平面EFGHC\平面ABFE=EF,

平面EFGHCi平面DCGH=HG,

：.EF////G.同理EH//FG,

四边形ER3我是平行四边形.

■探究核心题型

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCZ)为梯形，AB//CD,PD=AD=AB=2,CD

=4,E为PC的中点.

求证：BE〃平面见D.

证明方法一如图，取的中点F，连接EF,FA.

由题意知EF为△POC的中位线，

.,.EF//CD,且EF=3CZ)=2.

又,：NBHCD,AB=2,CD=4,：.AB^EF,

：.四边形ABEF为平行四边形，BE//AF.

又APU平面以。，8加平面出，

；.BE〃平面PAD.

方法二如图，延长ZM,C8相交于X,连接/W,

'."AB//CD,AB=2,0=4,

，器=器斗即2为"C的中点，

又E为PC的中点，C.BE//PH,

又B砍平面PAD,PHU平面PAD,；.BE〃平面PAD.

方法三如图，取C。的中点打，连接班/,HE,

p

为尸C的中点，C.EH//PD,

又EHC平面PAD,POU平面PAD,

〃平面PAD,

又由题意知ABg秀，四边形43小）为平行四边形，

又AOU平面以。，BHC平面必。，

...由7〃平面PAD,

又BHCEH=H,BH,EHU平面BHE,

平面BHE〃平面PAD,

又BEU平面BHE,.'BE〃平面研D.

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，四边形A2C。是平行四边形，M是PC的中点，在

DM上取一点G,过G和作平面交BD于点H.

B

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接AC交8。于点O,连接。

,/四边形ABCD是平行四边形,

是AC的中点,

又M是PC的中点,

J.PA//OM,

又OMU平面BATO,B4C平面8MZ),

.,.孙〃平面BMD,

又E4U平面R1//G,平面RW/GCl平面面WD=G8,

：.PA//GH.

思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(Ma,bUa,a//b^a//a).

③利用面面平行的性质(a〃人a^a=^a//P).

④利用面面平行的性质(a〃£,a(t/3,a〃a=>a〃£).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

跟踪训练1如图，四边形ABC。为长方形，PD=AB=2,AO=4,点E,尸分别为A。，PC

的中点.设平面PDCC平面PBE=/.证明：

(1)。尸〃平面PBE；

⑵DF〃I.

证明(1)取尸8中点G,连接EG,EG,

因为点尸为PC的中点，

所以尸G〃BC,FG=gBC,

因为四边形4BCD为长方形，所以8C〃A。，ABC=AD,

所以DE〃/G,DE=FG,所以四边形。EGB为平行四边形，

所以DF〃GE,因为。FC平面PBE,GEU平面PBE,所以。尸〃平面P8E；

⑵由⑴知DP〃平面PBE,

又。尸u平面PDC,平面POCn平面PBE=l,

所以DF//1.

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图，四棱柱ABC。-45GA的底面ABC。是正方形.

(1)证明：平面48。〃平面CDiS.

(2)若平面ABCDC平面CZ)iBi=/,证明：BiDi/Zl.

证明⑴由题设知881〃。£>1且8以=。。1,

所以四边形BBDD是平行四边形，

所以BD//BiDi.

又BZK平面CDiBi,8Q1U平面。11,

所以BD〃平面CDiBi.

因为AQi〃BiCi〃8C且AiZ)i=BiCi=BC,

所以四边形AiBCA是平行四边形，

所以AiB〃Z)iC.

又AiB。平面CAS,ACU平面CAS.

所以48〃平面CDiBi.

又因为BD,AiBU平面AiBD,

所以平面A\BD//平面CDiBi，

(2)由(1)知平面A/Z)〃平面CAB1,

又平面ABCDn平面CDiBx^l,

平面A2C£>ri平面A1BD=BD,

所以1//BD,

又BW/BD,所以

思维升华(1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/_La,1100a〃/J).

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃£,P〃了

=>ot//y).

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的

交线.

跟踪训练2如图所示,在三棱柱ABC—4BC1中，过BC的平面与上底面AiBiQ交于GH(GH

与B1G不重合).

⑴求证：BC//GH；

(2)若E,F,G分别是AB,AC,小巴的中点，求证：平面E曲/平面BCHG.

证明⑴：在三棱柱ABC—AiBG中，

/.平面ABC//平面A\B\C\,

又•平面BCHGC平面ABC=2C,

且平面8cHGC平面AiBiCi=HG,

：.由面面平行的性质定理得BC//GH.

(2Y：E,C分别为AB,AC的中点，J.EF//BC,

•.,ER：平面BCHG,BCU平面8cHG,

〃平面BCHG.

又G,E分别为AS,4B的中点，AiB^^AB,

：.AiG^EB,

：.四边形AiEBG是平行四边形，

.".AiEZ/GB.

：平面BCHG,GBu平面BCHG,

；.AiE〃平面BCHG.

又：AiEnEF=E,AiE,Epu平面£以1,

平面跳Ai〃平面BCHG.

题型三平行关系的综合应用

例4如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱底面ABCD,在

侧面P8C内，有BE_LPC于E,且8后=孕,试在48上找一点尸，使EF〃平面山。.

解如图，在平面PCD内，过点E作EG〃C£＞交尸。于点G,连接AG,

在AB上取点F,使AF^EG,

因为EG〃C£)〃AE,EG^AF,

所以四边形FEGA为平行四边形，所以E尸〃AG

又AGU平面E4。，理过平面RW,所以所〃平面B4D

所以点F即为所求的点.

又平面4BC。，所以抬_L8C,

XBC±AB,PAHAB=A,所以8c_L平面朋A所以尸8_L8C.

所以PC2=BC2+PB2^BC2+AB2+R^.

设PA=x,贝1PC川2a2+f,由PB.BC=PCBE,得7a2+~口=72a?+x2坐a,

所以x=a,即B4=a,所以PC=,a.

又CE;产漏*。，所以第/所以若=洛多

222

即GE=]CZ)=ia,所以AF=1a.

故点尸是A8上靠近B点的一个三等分点.

思维升华解决面面平行问题的关键点

(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面

平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具

体条件而定，绝不可过于“模式化”.

(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思

想方法.

跟踪训练3如图，在斜三棱柱ABC—AiBiG中，D,A分别为AC,4G上的点.

⑴当爵1等于何值时，BG〃平面AS。？

"1L1

(2)若平面BC。〃平面ABiDi,求第的值.

解⑴当给=1时,8Q〃平面.加

如图，连接A1B交AB1于点。，连接05.

由棱柱的性质知，四边形A1A8B1为平行四边形，

.•.点。为4B的中点.

在中，O,d分别为48,AG的中点，

：.0D\//BCi.

又0D1U平面ABiOi,BC双平面AB1A,...BCi〃平面48口.

二当誓誓=1时，8cl〃平面ABQi.

(2)由已知，平面5c1。〃平面ABiPi,且平面AJ5GG平面BCiD=BCi,平面AIGA平面

AB\D\=OD\.

因此5G〃0Di,同理ADi〃Z)G.

,Aid_A。_DC

^DiCi=~OB9DiCi=AD-

小.区=1即也=1

入OB'AD'1DC

课时精练

立基础保分练

1.如图，已知尸为四边形ABC。外一点，E,尸分别为8£),尸。上的点，若所〃平面P8C,

则()

A.EF//PA

B.EF//PB

C.EF//PC

D.以上均有可能

答案B

解析由线面平行的性质定理可知EF〃尸A

2.己知三条互不相同的直线/,m,〃和三个互不相同的平面a,P，y,现给出下列三个命题：

①若/与机为异面直线，lUa,tnU/3,则a〃'；

②若a〃0,/Ua,inU。,贝U/〃，“；

③若aC/=/,yC£=机，yC\a=n,l//y,则机〃

其中真命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

答案C

解析对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①

错误；

对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；

对于③，因为/〃-lua,a^y=n,所以由线面平行的性质定理可得/〃以同理/〃加，所以

m//n,故③正确，

因此真命题的个数为1.

3.在如图所示的三棱柱48c—AiBiCi中，过481的平面与平面ABC交于。E,贝ij£）E与

的位置关系是（）

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

答案B

解析在三棱柱ABC—AiBiCi中，

平面ABC,AS。平面ABC,.•.4由1〃平面ABC,

过AiBi的平面与平面ABC交于DE.：.DE//AiBi,：.DE//AB.

4.设a,6y为三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，在命题"aCB=m,联口,且

,则相〃中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.

①a〃y,“u夕；@m//y,n///3；③"〃夕，mUy.

可以填入的条件有（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

答案C

解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当“〃夕，根Uy时，〃和机在同一平面内，且

没有公共点，所以平行，③正确.

5.（多选）（2022•济宁模拟汝口图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，D,E,F

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线A8与平面。EF平行的是（）

答案AC

解析对于A,AB//DE,A困平面DEF,

DEU平面DEF,

直线与平面。EF平行，故A正确;

对于B,如图1,作平面。EF交正方体的棱于点G,连接尸G并延长，交的延长线于点H,

则AB与平面DEF相交于点X,故B错误;

对于C,AB//DF,ABC平面。EF,u平面。EF,

，直线A8与平面。EF平行，故C正确;

对于D,如图2,连接AC,取AC的中点。，连接。。,

又。为8C的中点，J.AB//OD,

,：OD与平面OEF相交，

直线AB与平面。EF相交，故D错误.

6.（2023•广州模拟）如图，在三棱柱ABC-AiBCi中，AM=2MAi，BN=2NBi,过MV作一平

面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,F,则（）

A.MF//EB

B.AiB\〃NE

C.四边形MNEF为平行四边形

D.四边形MNEF为梯形

答案D

解析由于8,E,F三点共面，FG平面8ER

M（平面故MF,为异面直线，

故A错误；

由于Bi,N,E三点共面，BiG平面BiNE,4停平面SNC,故4修，NE为异面直线，故B

错误；

•.,在平行四边形441B1B中，AM=2MAi,

BN=2NBl,

：.AM//BN,AM=BN,

故四边形AMNB为平行四边形，

J.MN//AB.

又平面ABC,ABU平面ABC,

〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

：.MN//EF,：.EF//AB,

显然在△ABC中，EFWAB,

:.EF手MN,

四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确.

7.如图，平面a〃平面夕〃平面了,两条直线a,6分别与平面a,/3,y相交于点A,B,C和

点。，E,已知AB=2cm,DE—4cm,EF—3cm,则AC的长为cm.

7

宏口安木—2

解析过点。作直线的平行线分别交平面£与平面y于点M,N,连接A。，BM,CN,

ME,NF,如图所示，所以AD〃BM〃CN,ME//NF,

所以器普，因为AB=2cm,£)E=4cm,£F=3cm,所以京=*解得cm,

37

所以AC=AB+BC=2+]=](cm).

8.如图所示，CD,A8均与平面EFG”平行，E,F,G,H分别在B。，BC,AC,AO上，

且CO_LAA则四边形EFGH的形状为.

答案矩形

解析因为C£>〃平面EFGH,COU平面BCD,平面E既汨C平面BCD=EF,所以CD//EF.

同理HG〃CD,所以同理HE〃GF,所以四边形EFGH为平行四边形.

又因为CD_LAB,所以HE_LEF,所以平行四边形EPGX为矩形.

9.如图，四边形ABCD与四边形AOEV均为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,EF的

中点.求证：

(1)BE〃平面DMF-,

⑵平面8OE〃平面MNG.

证明(1)如图，设DF与GN的交点、为0,连接AE,则AE必过点。,

E

AMB

连接MO,则MO为△ABE的中位线，所以BE//MO,

又BEQ平面DMF,MOU平面DMF,所以BE〃平面DMF.

(2)因为N,G分别为平行四边形AOEF的边A。，EF的中点，所以DE〃GN,

又DEQ平面MNG,GNU平面MNG,

所以OE〃平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△AB。的中位线，

所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BD(t平面MNG,

所以80〃平面MNG,

又DE,BDU平面BDE,DECBD=D,

所以平面BDE〃平面MNG.

10.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC〃AD,BPLAD,垂足为尸，将△A8P沿8尸

折起，使平面ABP，平面PBCD连接AD,AC,M为棱AD的中点，连接CM.

试分别在BP,CD上确定点E,F,使平面〃平面ABC.

解E,F分别为BP,C。的中点时，可使平面MEF〃平面ABC,证明如下:

如图，取的中点E,CD的中点尸，连接ME,MF,EF.

'：M,尸分别为A。，CD的中点,

J.MF//AC.

•.,〃科平面ABC,ACU平面ABC,〃平面ABC,

又E为BP的中点，且四边形为梯形，

J.EF//BC.

•.•EFC平面ABC,8CU平面ABC,：.EF//^ABC,

；MFCEF=F,MF,EFU平面MEF,

平面ME尸〃平面42c.

酬合提升练

11.（多选）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABC。一AiBGA内灌进一些水，固定容器底

面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是

（）

A.没有水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFGH所在四边形的面积为定值

C.棱AiD,始终与水面所在的平面平行

D.当容器倾斜如图所示时，是定值

答案ACD

解析由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C,因为AbDi〃8C,BC//FG,

所以AQi〃PG且尸GU平面EFGH,平面EFG8,所以45〃平面EFGH（水面），所

以C是正确的；

12V

因为水是定量的（定体积V）.所以SABEFBC=K即严石/广8。=匕所以342尸=前（定值），

即D是正确的.

12.如图所示，在四棱锥尸一ABC。中，AB±AD,BC//AD,B4=A£>=4,AB=BC=2,PAL

平面ABC£）,点E是线段AB的中点，点F在线段E4上，且斯〃平面PCD,直线尸。与平

面CEF交于点H,则线段CH的长度为（）

A巾B.2

C.2^2D.2小

答案C

解析,:PD与平面CEF交于点H,；.平面CEPCI平面〃平面PCD,

J.EF//CH,过点X作〃外交A。于点连接CM,如图所示.

p

H

BC

'：EFdAP^F,CHCHM=H,

，平面AEF〃平面CHM.

•.•平面AEBA平面A8CD=AE,平面CHMA平面ABC£)=CM,：.AE//CM.X.BC//AM,：.

四边形A8CM为平行四边形，.•.AM=8C=2.又AO=4,是A。的中点，则”为PD的

中点，/.CH=yjCM2+MH2^y]22+22=2^2.

13.如图，在正方体ABC。一AiBiCQi中，4囱与截面4。＜的位置关系是,4B与

平面DDxCrC的位置关系是.

答案相交平行

解析43与截面ADC相交，

由题意得AiB〃OiC,而AiBC平面。AGC,ACU平面DPQC,

所以AiB〃平面DDiCiC.

14.如图，在四面体ABC。中，M,N分别是平面△AC。，△BCD的重心，则四面体的四个

面中与MN平行的是.

答案平面A8C,平面AB。

解析如图，连接AM并延长交C。于E,连接8N并延长交CD于凡由重心性质可知，E,

FMFN1

尸重合为一点，且该点为CD的中点，由笳'=痂=5，得MN〃AB,又ABU平面ABC,AB

MA