丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷（含答案）

丽水市2023学年第二学期普通高中教学质量监控

高二数学试题卷2024.6

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合屈={0,1,2,3,4},N={x[l<x<4},则MN=

A.{2}B.{2,3}C.{2,3,4}D,{1,2,3,4}

2.已知复数2=二，其中i为虚数单位，则同=

1-1

A.0B.1C.2D.V2

3.已知a,beR,则“a>6”是“五>6”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知直线b和平面々，则下列判断中正确的是

A.若Qa,ba,则abB.若ab,ba,则〃a

C.若aa,bLa,贝！J〃_L〃D.若〃_LZ?,ba,则〃_1。

5.若样本占，马，无3，，X”的平均数为10,方差为20,则样本2（%-2）,2（X2-2）,2（x3-2）,

,25-2）的平均数和方差分别为

A.16,40B.16,80C.20,40D.20,80

3

6.已知a=3°",b=0.4,c=log043,则

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

7.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回

方式从中任意摸球两次，设事件A="第一次摸出球的标号小于3"，事件B="第二次

摸出球的标号小于3"，事件C="第一次摸出球的标号为奇数”，则

A.A与B互斥B.A与B相互独立

C.A与C互斥D.A与C相互独立

8.已知函数/（X）的定义域为R,“X）的图象关于。，0）中心对称，/（2x+2）是偶函数，则

A./（0）=0B./Q]=0C./（2）=0D."3）=0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量。=（-2,1）,6=（1,2）,c=（3,-l）,则

A.a：cB.a-Lb

C.卜++10D.向量B在向量c上的投影向量为0

7T

10.在AA3C中，角A,5c所对的边分别为a,6,c,B=~,c=2,以下判断正确的是

A.若a=4,则AA3C的面积为B.若C=],贝6

C.若6=近，则a=3D.若AABC有两解，则6e（6,2）

11.如图，在矩形ABC。中，AB=2AD=2,E是的中点，沿直线DE将AAOE翻折成

AAQE（A不在平面3C。内），M是AC的中点，设二面角4-OE-C的大小为6.

AEB

TT

A.若0=2，则ACLOE

B.直线与A2所成的角为定值

2TT14

c.若。=宁，则三棱锥4-COE的外接球的表面积为日兀

D.设直线A。与平面8COE所成的角为C,贝!lsinO=0sina

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2尤<0

12.已知函数〃x)=1-尤’-,则/(〃-1))=.

x2,x>0

13.已知ae(。,"1"),sin2a=cos2a,贝ijtana=.

32

14.已知x>V>0,----+-------=1,则2x+y的最小值为__________

x+y无一y

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(满分15分)已知函数/'(x)=Gsin2x+2cos2x-1.

(1)求函数/(尤)的最小正周期；

(2)当xe0,|时，求函数/(x)的最大值，以及相应x的值.

16.(满分15分)本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100

名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间(满分100分)，将统计结

果按照如下方式分成六组：第一组［40,50),第二组［50,60),…,第六组［90,100］,画

出频率分布直方图如图所示.》

£频率

八羸

0.025

0.020

0.010

0.005

405060708090100分数

(1)求频率分布直方图中。的值；

(2)求该样本的中位数；

(3)为进一步了解学生的学习情况，从分数位于［50,80)的学生中，按照第二组，第三

组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的

概率.

17.(满分15分)如图，在四棱锥尸—A3CD中，BCAD,BC=CD=-AD=1,

2

ADVCD,24,平面A5CD,E为PD的中点.

(1)求证：CE，平面PAB；

2

(2)若三棱锥P-A3。的体积为一，求PA与平面P3C所成角的正弦值.

3

18.(满分16分)已知函数/'(x)=ln(x+3)+x+lno.

⑴若。=1,解不等式<x+1；

(2)证明：函数有唯一零点；

3a

(3)设〃/)=0,证明:-In+3)〉0.

%+3

19.(满分16分)设〃为正整数，a=(xl,x2,,xn),夕=(%,为，，%)，记

M(a,，)=g[(x+X―上一%|)+(々+y2T%—%|)++(x“+yn-\xn-

(1)当〃=2时，若a=(l,o),£=(o,l),求航(a,尸)的值；

(2)当”=3时，设集合P={a|a=&，G"3)，M{0，l}，Z=123},设。是尸的子

集，且满足：对于。中的任意两个不同的元素a,尸，M(a,J3)=Q.写出一个集

合。，使其元素个数最多；

(3)当〃=3时，a=(sinA,sinB,sinC),P=(cosA,cosB,cosC),其中A,8,C是

ABC

锐角AABC的三个内角，证明：M(6尸)<4cos—cos—cos—.

222

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高二数学答案（2024.06）

一、单项选择题

1-4CBBC5-8BADD

二、多项选择题

9.BD10.ACD11.BCD

三、填空题

V211+6V2

12.113.—14.------------

22

四、解答题

15.（满分15分）

（1）由题/1（x）=6sin2x+2cos2x-1

=V3sin2尤+cos2x

TT

=2sin(2x+—)

所以周期7=万，...........7分

TTTTTT1TTTT1

(2)因为所以2x+7£匕,-^],则sin(2x+w)£[-不1],

2oooo2

所以当2x+J=g,即x=B时，/(x)有最大值2..................................15分

o2o

16.（满分15分）

（1）由频率分布直方图可得：

（0.005+0.01+0.02+0.025+。+0.01）x10=1,

得a=0.03；...........4分

（2）设中位数为该样本的中位数为x

所以0.05+0.1+0.2+03（x-7°）=0.5,得x=75；......................9分

10

（3）由分层抽样知，第二组中抽1人，记作a,第三组中抽2人，记作伪,&,第四组中抽

3人，记作

这6人中抽取2人有（〃也），（〃.）,（。,。2），（。,。3），伍也），（伪,cj,（生。2），

（"1,。3）'（02,）'（02,。2）'（02,。3）'（。1,。2）'（。1,。3）'（。2,。3）'共15个样本点；

2人来自同一组的有佃也），（。1，。2），（。,。3），（。2，。3）共4个样本点，

411

所以2人来自不同组的的概率P=1——=—；............15分

所以CE，平面PAB；...........7分

（2）过A作直线3c的垂线A”,“为垂足，连结尸”，

212

由三棱锥P-ABD的体积为§，得§SMBDXPA=2'解得尸4=2，

因为24,平面ABC。，所以又BC工AH,所以平面PA”,

又BCu平面PBC,所以平面PAH_1_平面PBC,

所以直线P4在平面P3C上的射影为直线尸〃，

所以NAP”即为PA与平面PBC所成角0,

在R/AAPH中，AH=1,AP=2,所以sin8=d^=且，

PH5

所以PA与平面PBC所成角的正弦值为且.........15分

5

18.(满分16分)

(1)当〃=1时，不等式即为In(犬+3)+%<x+1,即In(%+3)<1

x+3>0

所以

x+3<e

解得-3<x<e-34分

(2)/(x)在定义域内单调递增,

又/⑼=In3+Ina>。,

y|1-3|=ln1-+-1-3+ln«=-1-3<0,

aaaa

所以由零点存在定理得，函数/(x)有唯一零点，且零点在3,。］内.

10分

(3)由>(%)=()知,ln(x0+3)=-x0-In(2

因为％o+3>0,6z>1,

3a,/3a.

所以7---ln(%0+3)=---+x0+\na

IDID

3ac。1

------------\-XQ+3-3+Intz

+3

3

>2—3+Ina

+3

—2yl3a—3+In4〉016分

19.(满分16分)

(1)因为a=(1,0),/?=(0,1)

所以M(a,分)=3[(不+必—民—以|)+(%2+%—人一%|)]

=1[(1+O-|1-OI)+(O+1_|O_1I)]=O................4分

(2)满足条件的集合。={(0,0,0)，。，0,0),(0,1,0)，(0,0,1)}............8分

(3)因为a=(sinA,sin5sinC),[3=(cosA,cosB,cosC),所以

M(a,/?)=;[(sinA+cosA—|sinA-cosA|)+(sinB+cosB-|sinB-cosB\,I)+(sinC+cosC-|sinC-cosC|)J

sinA+sinB+sinC+cosA+cosB+cosC

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