2024年中考数学复习图形的相似与位似的核心知识点精讲（讲义）（原卷版）

专题19图形的相似与位似的核心知识点精讲

।弊，|复习目标

1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.

2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.

3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.

4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出

它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。

考得打

考点1：比例线段

1.比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是巴=一,或写

bn

成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比

例线段.

若四条a,b,c,d满足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d叫做比例外项，线段

b,c叫做比例内项.

dh

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即一=—或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.

bc

2.比例的基本性质：①a：b=c：d=ad=bc②a：b=b：c。b"=ac.

3.黄金分割

把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分

割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=^—1-AB-0.618AB.

2

考点2：相似图形

1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.

也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图

形).

2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.

3.相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.

相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性质：

⑴相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

⑵相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等

于相似比.

⑶相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

6.相似三角形的判定：

⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

(2汝口果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

⑶如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；

⑷如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

⑸如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，

那么这两个三角形相似.

考点3：位似图形

1.位似图形的定义

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两

个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.

2.位似图形的分类

⑴外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.

⑵内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.

3.位似图形的性质

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

4.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点,并任取一点作为位似中心;

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接截取点.

【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的

坐标的比等于k或-k.

,・典例引领

【题型1:相似三角形的相关计算】

【典例1】（2023•雅安）如图，在。ABCD中，F是4D上一点，CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延

长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为（）

A.4B.6C.8D.10

”即时检测

1.（2023•吉林）如图，在△N8C中，点。在边N8上，过点。作。交/C于点£.若4D=2,BD

=3,则鲤•的值是（）

AC

A.2B.Ac.3D.2

5253

2.（2023•内江）如图，在△48C中，点。、£为边45的三等分点，点/、G在边3C上，AC//DG//EF,

点〃为N尸与。G的交点.若/C=12,则。〃的长为（）

2

3.（2023•东营）如图，为等边三角形，点。，£分别在边BC,4B上,AADE=60°.若BD=4DC,

。£=2.4,则AD的长为（）

A

E

BC

A.1.8B.2.4D.3.2

4.（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄

金构图法.其原理是：如图，将正方形N8CD的底边8C取中点£,以£为圆心，线段。E为半径作圆,

其与底边3C的延长线交于点尸，这样就把正方形N8CA延伸为矩形/瓦%,称其为黄金矩形.若CF=4

。，贝（）

DG

BECF

A.(遥-1)。B.(275-2)aC.(A/5+I)aD.(275+2)a

5.(2023•哈尔滨)如图，AC,AD相交于点。，AB//DC,M是48的中点，MN//AC,交BD于点、N,若

DO-.(95=1：2,AC=12,则的长为()

°\N

F典例即领

【题型2：相似三角形的实际应用】

【典例2］（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，

借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆所长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得。/是268米,

则金字塔的高度2。是一米.

1.（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向

后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离

地面高度为16%同时量得小菲与镜子的水平距离为2%,镜子与旗杆的水平距离为10%，则旗杆高度

为（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

2.（2023•达州）如图，乐器上的一根弦N3=80c",两个端点/,2固定在乐器面板上，支撑点。是靠近点

8的黄金分割点，支撑点。是靠近点N的黄金分割点，则支撑点C,。之间的距离为—cm.（结果保

留根号）

3.（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度,

CD表示竹竿顶端到地面的高度，斯表示人眼到地面的高度，48、CD、斯在同一平面内，点/、C、E

在一条水平直线上.已知NC=20米，CE=10米，CD=7米，斯=1.4米，人从点尸远眺塔顶3,视线

恰好经过竹竿的顶端。，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为—米.

叮典例引领

【题型3：位似】

【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点/（2,2）,8（4,1）,以原点。为位似中心,

相似比为2,把ao/B放大，则点/的对应点⑷的坐标是（）

B.（4,4）或（8,2）

C.（4,4）D.（4,4）或（-4,-4）

A

\6D时蛉泅

1.（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△N8C的三个顶点分别为N（1,2）,B（2,1）,C（3,2）,现

以原点。为位似中心，在第一象限内作与△NBC的位似比为2的位似图形△/'B'C,则顶点C的

坐标是（）

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

2.（2023•长春）如图，△48C和△NEC是以点。为位似中心的位似图形，点/在线段CM'上.若。4：

AA'=I：2,则△48C与△49。的周长之比为.

3.（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点尸为位似中心

作正方形加1/乂3,正方形…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形

尸4/必3的顶点坐标分别为尸（-3,0）,出（-2,1）,山（-1,0）,出（-2,-1）,则顶点小00的

A.(31,34)B.(31,-34)C.(32,35)D.(32,0)

好嬴

f基

选择题（共10小题）

1.已知包四，则3二目的值是（）

43b

A.3B.AC.3

43D4

2.如图，AABCs△ADE,若乙/二60。,乙48c=45。,那么乙E=（）

B.105°C.60°D.45°

3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点45,。都在横线上.若

线段BC=4c冽，则线段/C的长是（)

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

4,下列各组中的四条线段成比例的是()

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.2cm,3cm,4cm,6cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

5.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高16

5cm,下半身长x与身高/的比值是0.60,为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

6.如图，在△NBC中，DE//BC,DF//AC,则下列比例式中正确的是（)

BF=DFBF=CE

而AC而AE

7.如图，直线/1〃/2〃/3,分别交直线加、〃于点/、B、C、D、E、F.若4B：BC=5-.3,DE=15,则E

下的长为()

8.△/3O三个顶点的坐标分别为/(2,4),3(6,0),C(0,0),以原点。为位似中心，把这个三角形

缩小为原来的工，可以得到△490,则点/'的坐标是()

2

A.(1,2)B.(1,2)或(-1,-2)

C.(2,1)或(-2,-1)D.(-2,-1)

9.如图，在平行四边形/BCD中，点E在边。。上，DE,EC=3：1,连接/E交AD于点尸，则△£>£F的

面积与△加尸的面积之比为()

A.3：4B,3：1C.9：1D.9：16

10.小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如

图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相

邻两条等高线的数值范围内)，若N,B,C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则岖的值

二.填空题(共5小题)

11.如果两个相似三角形的周长比为2：3,那么它们的对应高的比为

12.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆3E的高为1.2机，测得/2=16〃，BC=UAm,贝I］楼高

13.如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台48的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C

是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米.

ACB

14.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步.问勾中容

方几何.”其大意是：如图，RS48C的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形CD防的边

15.如图，在边长为1的正方形网格中，/、B、C、。为格点，连接AB、。相交于点E,则4E的长为

三.解答题(共5小题)

16.在平面直角坐标系中，△/BC的三个顶点坐标分别为/(1,-2),8(2,-1),C(4,-3).

(1)画出△48C关于x轴对称的△4BC1；

(2)以点O为位似中心，在网格中画出△NiBiCi的位似图形△如比。2,使△血比。2与△出历。的相似

比为2：1；

(3)设点P(a,b)为AABC内一点，则依上述两次变换后点尸在△，#2c2内的对应点尸2的坐标是—

17.如图，在△NBC中，。为8c上一点，ABAD=AC.

(1)求证：AABDSMBA；

(2)若/8=6,BD=3,求CD的长.

18.如图，矩形N8CA中，M为BC上一点,交ND的延长线于点£.

(1)求证：AABMSAEMA；

(2)若AB=4,BM=3,求Affi的长.

19.某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度/R如图，塔前有一棵高4米的小树8,

发现水平地面上点£、树顶C和塔顶/恰好在一条直线上，测得&)=57米，D、E之间有一个花圃距离

无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿3E后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG

=2.4米，测量者眼睛到地面的距离尸G为1.6米；已知CDLBG,FGLBG,点、B、D、E、G

在同一水平线上.请你求出凌霄塔的高度/氏(平面镜的大小厚度忽略不计)

20.如图，已知ND,8C相交于点£,且△AEB-ADEC,CD=2AB,延长DC到点G,使CG=JLc。，连

2

接/G.

(1)求证：四边形48CG是平行四边形；

(2)若4G40=90。，AE=2,CG=3,求/G的长.

，**

—.选择题(共10小题)

1.如图，在等边△48C中，点。，E分别是3C,NC上的点，44DE=60。,AB=4,CD=l,AE=()

A.3B.C.1D.

424

2.如图，在等边△4BC中，点。，£分别在边8C,/C上，AADE=60°,若40=4,M=2,则£>£的

CE2

长度为（）

A.1B.AC.2D.2

33

3.如图，正方形NBC〃中，E,歹分别在边ND,CD上，AF,AB相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则

地的值是（）

GF

AED

A.JLB.5C.AD.1.

3456

4.如图，在RtZUBC中，ABAC=90°,AB=AC,。为线段BC上一点，以/。为一边构造Rt△/£>£,

乙D4E=90°,AD=AE,下列说法正确的是（）

①乙BAD=LEDC；®/\ADO^/\ACD-,@2AD2=BD2+CD2.

OEAO

A.仅有①②B.仅有①②③C.仅有②③④D.①②③④

5.凸透镜成像的原理如图所示，AD//1//BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线。3的距离之比

6.如图，在正方形48co中，△APC是等边三角形，BP、。的延长线分别交4D于点E,F,连接AD、

DP,AD与C尸相交于点X,给出下列结论：①乙DPC=75°;②CF=24E；③此上；④△尸尸。口△尸

BC3

HB.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

7.如图，在边长为5的正方形45CQ中，点E在4。边上，AE=2,CE交BD于点、F,则。歹的长为（）

A.2V2B.3V2C.15我D.25泥

88

8.如图，在Rt2X/BC中，乙ABC=90°,48=4,AC=5,NE平分48/C,点。是NC的中点，AE与BD

交于点0,则地的值为（）

0E

A.2B.9C.旦D.5

438

9.如图，有一块直角边48=4c〃z,2C=3c”的Rt448C的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的

损耗忽略不计），则正方形的边长为（）

737737

10.如图1,在△48。中，43=36。，动点P从点/出发，沿折线N—BTC匀速运动至点C停止.点尸

的运动速度为icm/s,设点尸的运动时间为Ms）,/尸的长度为»（。加），y与/的函数图象如图2所示.当

4P恰好平分心A4c时，BP的长为（）

二.填空题（共6小题）

11.如图，△N8C中，AB=4,BC=5,/C=6,点。、£分别是/C、N8边上的动点，折叠△为□£得到△

A'DE,且点4落在8C边上，若△⑷。。恰好与△NBC相似，ND的长为.

12.如图，△N8C和△/£>£都是等边三角形，点D在8c上，DE交AC于点、F,若DF=2,EF=4,则C

D的长是.

13.如图，RtA48C中，ABAC=90°,ADIBC^D,BD=\,CD=4,则/D的长为.

14.如图，一张矩形纸片NBC。中，幽=1r（机为常数），将矩形纸片/2C。沿跖折叠，使点/落在8C

AB

边上的点〃处，点。的对应点为点“，CD与HM交于点、P.当点8落在3c的中点时，且生=工，则

CD4

m=

M

DF,P_

\H

AEB

15.如图，在RtZ\/5C中，乙ACB=90。,。是45的中点，AE平分乙BAC交BC于点、E,连接C。交4E

于点孔若/C=5,BC=12,则£尸的长是.

16.如图，在平面直角坐标系中，已知/(I,0),B(2,0),C(0,1),在坐标轴上有一点P,它与/、

C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是.

17.如图，点尸在△NBC的外部，连结4P、AP,在△NBC的外部分别作乙1=乙2=L4BP,连结

PQ.

(1)求证：AC-AP=AB-AQ；

(2)判断乙尸。/与的数量关系，并说明理由.

18.如图，在△NBC中，点。，£分别在边BC,/C上，4D与AE相交于点。，B.AB=AD,AE2=OE-BE.

(1)求证：①乙EAD=乙ABE；②BE=EC;

(2)若AD：CD=4：3,CE=8,求线段/£的长.

-d

B

DC

19.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

［观察与猜想】

（1）如图①，在正方形中，点E,尸分别是/3、上的两点，连接DE,CF,DE1CF,求证

/XAEg/\DFC.

【类比探究】

（2）如图②，在矩形48CD中，4D=7,CD=4,点E是边4D上一点，连接CE,BD,且CEL2。，

求国的值.

BD

［拓展延伸】

（3）如图③，在RQ48C中，AACB=90°，点。在8C边上，连结4D,过点C作CEL4D于点£,

20.（2023•武汉）问题提出如图（1）,£是菱形/BCD边8C上一点，△/所是等腰三角形，AE=EF,Z

AEF=AABC=a（a,90°），//交CD于点G,探究乙GCb与a的数量关系.

问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2）,当a=90°时，直接写出aGCr的大小；

（2）再探究一般情形，如图（1）,求乙GC尸与a的数量关系.

问题拓展将图（1）特殊化，如图（3）,当a=120。时，若理•小，求班的值.

CG2CE

，直Si露知

1.（2023•徐州）如图，在△48C中，42=90°,4/=30。，BC=2,。为48的中点.若点E在边NC

上，且四L理，则/E的长为（）

ABBC

X

A.1B,2C.1或近D.1或2

2

2.（2023•济南）如图，在△48C中，AB=AC,ABAC=36°,以点C为圆心，以3c为半径作弧交NC于

点，再分别以3,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点尸，作射线CP交AS于点及

2

连接DE以下结论不正确的是（）

CBE_亚-]DS△瓯彦+1

AC2SABEC2

3.（2023•阜新）如图，△ABC和△。跖是以点。为位似中心的位似图形，相似比为2：3,则△48。和4

。所的面积比是.

D

F

4.（2023•乐山）如图，在平行四边形N8CD中，£是线段N8上一点，连结/C、DE交于点F.若迪_上,

EB3

则狗.=—.

SAAEF

DC

二

AEB

5.（2023•北京）如图，直线AD,3。交于点。，AB//EF//CD,若/。=2,OF=\,FD=2,则巨里的值为

EC

AB,

6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形

纸片45CD如图所示，点N在边