函数性质（易错点+七大题型）（解析版）-2024年高考数学复习（新高考专用）

函数性质

目录

【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测

【应试总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【题型三】轴对称

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

【题型五】画图：类周期函数

【题型六】恒成立和存在型问题

【题型七】嵌套函数

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆☆

考向预测函数图像的画法与零点问题

应试

函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称

轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代

数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟

练于心，才能保证做题的速度与准确度。

误区点拨

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)=m时，则f(x)关于

点(0,m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)+f(-x)=2f(0)=2m；

当h(x)wm时,则有f(x)+f(-x)=2h(x).

推论若f(x)=g(x)+m,则f(x)max+f(x)min=2f(0)=2m.

例(1)已知f(x)=ax+@—2,则f(ln3)+f(In-)=~4.

x3

(2)已知f(x)=ax+P-csinx+3,则f(ln3)+f(In—)=6.

x3

(3)已知函数f(x)=ln(Vl+x2-x)+2，则f(lg5)+f(lg1)=4.

(4)已知函数f(x)=ln(71+9X2-3X)+1，则f(lg2)+f(lg|)=2.

注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)+f(-x)=2f(0)=2m来破解.

变式1：(2024.浙江绍兴.二模)己知定义在R上的函数在区间［-1,0］上单调递增,且满足/(4-力=/⑺,

/(2-x)=-/(%),贝IJ()

10

A.㈤=0B./(0.9)+/(1.2)<0

k=\

c./(2.5)>/(log280)D.〃sinl)</「nj

【答案】BCD

【详解】对于函数〃尤)有，/(4-x)=/(x),则函数I(x)关于直线x=2对称,

由/(2-x)=-"x),则函数/(x)关于点(i,o)对称，

所以/(4一力=一〃2—%),所以得=

贝"(4T)=/(-X),故函数/(x)的周期为4,且〃—x)=/(x),故函数/(x)为偶函数，

因为函数/(x)在区间［T,0］上单调递增，则函数尤)的大致图象如下图：

由对称性可得/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

10

所以^/仅卜口⑴+了⑵+〃3)+〃4)]X2+〃9)+/(10)=()+〃1)+〃2)=〃2)N。，故A不正确;

k=l

由于/(0.9)+/(1.1)=0,/(1.1)>/(1.2),所以/(0.9)+/(1.2)<0,故B正确；

S2__

?

又/(log280)=/(log216+log25)=/(4+log25)=/(log25),-=log22=log2>log,5>2,所以

/(2.5)>/(log280),故C正确；

/[ln^=/(-ln2)=/(ln2),且0<ln2<Q7,

因为所以sin巴>sin1>sin^=>0.7,故l>sinl>ln2>0,

34342

所以故D正确.

故选：BCD.

变式2：(2024.广西.二模)已知定义在R上的函数满足〃2+x)-〃2T)=4X.若/(2x-3)的图象关

于点(2,1)对称，</(0)=0,则()

A.〃x)的图象关于点(L1)对称

B.函数g(x)=/(x)-2x的图象关于直线x=2对称

C.函数g(x)=〃x)-2x的周期为2

D./(1)+/(2)++"50)=2499

【答案】ABD

【详解】对A,因为〃2x-3)的图象关于点(2,1)对称，则〃x-3)的图象关于点(4,1)对称，

故〃x)的图象关于点(1,1)对称，故A正确；

对B,g(2-x)=/(2_x)-2(2_%)=/(2-%)+2x—4,

g(2+x)=/(2+x)-2(2+x)=/(2+%)-4-2x,

X/(2+X)-/(2-X)=4X,故g(2+x)-g(2-尤)=/(2+X)—/(2—尤)-4X=0.

即g(2+x)=g(2-x),故g(x)=〃x)-2x的图象关于直线尤=2对称，故B正确；

对C,由A,/(2+x)=2-/(-x),K/(2-X)=2-/(X),

又因为/(2+x)-〃2—x)=4x,故[2-〃-尤)]-[2-〃切=4》，

即“X)―/(—X)=4x,故/(x)—2x=/(—x)—2(-x),即g(x)=g(—x).

由B,g(-x)=g(x+4),故g(x)=g(-x)=g(x+4),故g(x)=/(x)-2x的周期为4,故C错误;

对D,由〃0)=0,〃x)的图象关于点(1,1)对称，且定义域为R,则”1)=1,，⑵=2,

又广(2+2一〃2-x)=4x,代入x=l可得〃3)-〃1)=4,贝=⑶=5,

又g(x)=f(x)-2x,故g(O)=f(O)=O,g⑴"⑴_2=T,g⑵=〃2)-4=一2,g(3)=/(3)-6=-1,

又g(x)的周期为4,g(4)=/(0)=0.

则g⑴+g（2）++g（50）=12x[g⑴+g（2）+g（3）+g（4）]+g⑴+g⑵

=12x（-4）-l-2=-51.

即/（1）-2+/（2）—4++”50）-100=-51,

则〃1）+〃2）++/（50）=2+4+..+100-51=50^2^10°^-51=2499,故D正确.

故选：ABD

抢分通关

【题型一】中心对称性质1:几个复杂的奇函数

中心对称的数学语言：

若/(x)满足/(。+x)+/(b-x)=2c,则/(x)关于(苫，，c)中心对称

特殊的奇函数：(考试难点)：

,r-i•跖1行人,m-nx,m+nx,.1-x.1-kx,x-1

1、对数与反比例复合：y=loga-----,y=loga------,如：log--,loga--,loga--

m+nxm-nx1+x1+kxx+1

2、指数与反比例复合：丫=二々4=二二,丫=二—，y=^-^7

a-1a+11+a1-a

22

3、对数与无理式复合：y=loga(7(kx)+l±kx),如：y=loga(\/(x)+l+x)

三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

I—I

典例精讲

【例1】(2024•陕西西安.三模)已知函数“xb—i+lMTTW-x),^/(a-l)+/(2a2)>2,贝心的取

值范围为.

【答案】[-1，^

【详解】由条件知尤eR,令g(x)=/(x)T=+尤2+1-尤)-1,

贝1Jg(-x)=:]+In(Jx：+1+xj-l=~+InRx2+1+x),

易知g(x)+g(—x)=。，即g(x)为奇函数，

又“x)=3+lnL，

21

易知y=/TT，=G+i+x在*>°时单调递减，

由复合函数的单调性及奇函数的性质得g(x)=〃x)-1在R上单调递减,

对于/i(a-l)+/(2a2)>2og(a-l)+g(2/)>0og(a-l)>g(-26),

所以a—1<—2a2nae1,—.

故答案为：ig]

【例2】(多选)(2024・重庆・模拟预测)函数〃X)=2：2;8⑺=皿(，1+9/一3q,那么()

A.f(x)+g(x)是偶函数B./(x).g(x)是奇函数

g(x)

C.是奇函数D.g(/(x))是奇函数

〃x)

【答案】BC

【详解】因为/(一x)=W^=/(x),所以为偶函数,

即g(-x)=-g(x),所以g(元)=如(41+9%2-3x)为奇函数,

所以“力+g(无)为非奇非偶函数，A错误；

〃-x>g(T)=T/(x>g(x)]，所以/(x),g(x)为奇函数,B正确；

粤?=-阴，所以阴是奇函数，c正确；

〃-尤)/(A-)f(x)f(x)

令〃(x)=g(/(x))，H(-x)=g(/(-x))=g(/(x))=〃(x)，”(x)为偶函数，D错误.

故选：BC.

【例3】(多选)(2024•湖南娄底•一模)已知函数的定义域和值域均为{XUHO,XCR},对于任意非

零实数无,％无+"0,函数〃x)满足：/(^-+y)(/(x)+/(>>))=f(x)/(y),且在(一名0)上单调递减，

"1)=1，则下列结论错误的是()

2023

BA=22023-2

Z=1

C./■(*)在定义域内单调递减D.〃尤)为奇函数

【答案】BC

【详解】对于A,令x=y=；,则2/⑴/(；)=[/(；)『,

因/(g)*。，故得/(；)=2/⑴=2,故A正确；

对于B,由〃x+yX〃x)+〃y))=〃x)〃y),

令、=x,贝丫（2X）=^1^=:/（X）,

2/（尤）2

则/（1）=〃2x击）=*击），即/（击）=2/（1）,

故｛了（《）｝是以/（1）=2为首项，2为公比的等比数列,

于是£/=2（：一）=2?⑼—2,故B错误；

对于D,由题意，函数〃x）的定义域为（-”,O）U（O,y）,关于原点对称，

令y=-2x,则”T）=力7『；）①,

把苍y都取成-X,可得/（-2x）=②，

将②式代入①式，可得〃T）=------TTTT，

小）+9

化简可得了（-x）=-〃x）,即“X）为奇函数，故D正确；

对于C,“X）在（-e,。）上单调递减，函数为奇函数，可得在（。,+8）上单调递减,

但是不能判断f（x）在定义域上的单调性，例如/■"）=：,故C错误.

故选：BC.

名校模拟

【变式1］（2024.江西上饶.二模）定义在R上的奇函数/⑺满足/（2-司寸⑺，且在［0,1］上单调递减,

若方程/（无）=1在（T0］上有实数根，则方程/（力=-1在区间［3,11］上所有实根之和是（）

A.28B.16C.20D.12

【答案】A

【详解】由〃2T）=f（x）知函数〃x）的图象关于直线x=l对称,

•：f（2-x）=f（x）,〃x）是R上的奇函数，

/(-x)=/(x+2)=-/(%),

f(x+4)=/(x),

的周期为4,

考虑的一个周期，例如［T3］,

由〃x)在［0』上是减函数知〃尤)在(1,2］上是增函数，

“X)在(TO］上是减函数，〃x)在［2,3)上是增函数，

对于奇函数/⑺有"0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,

故当xe(O,l)时，/(^)</(0)=0,当xe(l,2)时，/(x)<f(2)=0,

当xe(TO)时，/(x)>/(O)=O,当xe(2,3)时，/(x)>/(2)=0,

因为方程“X)=1在(T0］上有实数根，

函数"%)在上是单调函数，则这实数根是唯一的，

所以方程/(x)=-l在(0』上有唯一的实数根，

则由于/仅-力寸⑺，函数””的图象关于直线x=l对称，

故方程/(力=-1在(L2)上有唯一实数根，

因为在(TO)和(2,3)上〃x)>0,

则方程=T在(-1,0］和［2,3)上没有实数根，

从而方程/(》)=-1在一个周期内有且仅有两个实数根，

当xe［-1,3］,方程/(x)=-1的两实数根之和为x+2r=2,

当xe［3,ll］,方程〃x)=-l的所有4个实数根之和为

4+x+4+2-x+x+8+2—%+8=8+2+8+2+8=28.

故选：A.

【变式2］(2024.全国•模拟预测)函数/(x)=的部分图象为(

1+X

【答案】B

【详解】由题意可知：/(X)的定义域为R,关于原点对称,

且一xcos(一尤)+sin(—x)-xcosx-sinx

=一〃尤)，

''1+(-"l+x2

所以“X)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；

当时，xcosx+sinx>0,所以/(x)>0,排除D；

当时，xcosx+sinx<0,所以/(x)<0,排除C.

故选：B.

2+无

【变式3］(2024•上海徐汇•二模)已知函数y=/(x),其中/(x)=logg口.

⑴求证：y=/(尤)是奇函数；

⑵若关于X的方程“X)Togj(x+Z)在区间［3,4］上有解，求实数左的取值范围.

2

【答案】(1)证明见解析

⑵［T2］

2+x

【详解】(1)函数三的定义域为。=(—,-2)52,心),

在。中任取一个实数x,都有—xeO,并且A-x)=log|2z^=iog|±f=log/Af］=-/«.

2-x—2万1+2—2)

2+x

因此，y=iogi-7是奇函数.

2x-2

(2)〃©=1。8|(》+左)等价于无+L=叶工即后=让27=/一一x+1在［3,4］上有解.

2x-2x-2x-2

记g(x)=W-x+l,因为g(X»在［3,4］上为严格减函数，

所以，g(X)max=8⑶=2,g(X)1nhi=g(4)=-l,

故g(x)的值域为［-1,2］,因此，实数人的取值范围为［-1,2］.

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

1.三角函数的对称中心(对称轴)有无数个，适当结合条件确定合适。

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与

坐标轴交点，或则别的合适的点

»—I

典例精讲

【例1】(2024.全国.模拟预测)已知函数"x)=e2,T-产+sin(L)+l,则不等式

〃2X+1）+〃2T"2的解集为（）

A.（-00,2]B.[2,+00）C.[-2,2]D.[-2,+00）

【答案】D

【详解】因为〃x）=e2i-eJ+sin[x-T+l,

所以，（一）『"—[（l）』“…、-

所以/（1—x）+/（x）=2,即〃尤）的图像关于点[,1J中心对称.

广3=2日+2产+*表一作2也—产+3<4标4=4+（却土口（当且仅当

x=3时等号成立）.

2

因为一1431卧一3<1,所以广⑺“一方>0,所以“X）在R上单调递增.

由/（I—x）+/（x）=2,得“2-x）+〃—l+x）=2.

由）（2x+l）+J（2-x）N2可得f（2x+l）+/（2-x）N/（2-x）+/（-l+x）,Bp/（2x+l）>/（-l+x）,

所以2x+12—l+x,解得了之一2.

故选：D.

【例2】（2024・湖南•模拟预测）已知函数/⑺满足/（x+8）=/（x）,/（x）+/（8-x）=0,当xe[0,4）时,

〃x）=ln1+sin：d，则函数*x）=/（3x）-"x）在（0,8）内的零点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【详解】根据题意，函数/（x）的周期为8,图象关于点（4,0）对称，

又/[3（8-x）[+〃3x）=〃8-3x）+〃3x）=-〃3x）+〃3x）=0,

所以函数y=〃3x）的图象也关于点（4,0）对称，

由x«0,4）,〃x）=ln“+sin：x

7171

—cos—X

/.---------,Q0<—x<7i,sin—x>0,

•兀

1I+sin—x44

4

令广（力>0,解得04xv2,令r（x）<0,解得2<xv4,

所以函数/（x）在[0,2）上单调递增,在（2,4）上单调递减,/（2）=ln2,/（0）=/（4）=0,

在同一个坐标系中，作出函数y=〃3x）与y=/（x）的图象，如图,

由图可得，函数y=〃3力与y=〃力在（0,4）上有两个交点，

因为函数y=〃3x）与y=/⑺图象均关于点（4,0）对称，

所以函数了=/（3力与）；=/（同在（4,8）上有两个交点，又〃12）=〃4）=0,

所以函数网力=/（3力-/（无）在（0,8）内的零点个数为5.

故选：C.

名校模拟

【变式1］（多选）（2024.江苏.一模）已知函数〃x）=K，则（）

2-cos2x

A.的最小正周期为nB.〃x）的图象关于点（兀,0）对称

C.不等式/（x）>x无解D.的最大值为乎

【答案】BD

/、sin（7i+x）-sinx/、,、

【详解】对于选项A:〃兀+同=^~'.=-——丁•.兀不是的周期，故A错误;

，一COS，（71+%），-COS，X

对于选项B:〃2兀-尤）=°、=°=-/（%）,.•./（x）关于（兀,0）对称，故B正确；

2—COS2（2TI-2-cos2A;'/

对于选项C"（-兀）=0>-兀,；J（x）>x有解，故C错误；

sinxsinx

对于选项D：〃x）=2_（l_2sinR=2而2尤+1，若sik。，则/（%）<。，

.1<1一.

若sinx>0,则八叼一^T不一7，

2sinx+---乙Y乙

sinx

当且仅当2sinx=」一,即sinx=受时，原式取等，故D正确.

sinx2

故选:BD.

【变式2］（2024.河南.一模）已知函数及其导函数/（无）的定义域均为R,记g（x）=/'（x）.且

2024

/（l-3x）+/（3x-l）=0,g（l+x）+g（lr）=0,当f（x）=sin^x,贝4工|/（M=____.（用数字作

2z=i

答)

【答案】1012

【详解】由"1一3x)+/(3x-1)=0可得/(1一3x)=f[-(3x-1)]=一/(3x-1),§P/(-%)=-/(%)©

又由g(i+x)+g(i-x)=o可得g(i+%)=-g。-©,即r(i+X)=T'(D,从而ra+©=[f(i-x)r,

故/(l+x)=f(l-x)+C(C是常数)，因当。=0时/⑴=/(D+C,则C=0,即得f(l+无)=f(l-x)②，

由②可得〃2+X)=〃T),又由①得/(2+x)=-f(x),即7•(x+4)=_f(2+x)=/(x),故函数〃x)为周期

函数，周期为4.

由xe(O,l],/(x)=sin；无可知/⑴=1,因是R上的奇函数，〃0)=0,则由/(2+x)"(-x)可得

/(2)=/(0)=0,

/(3)=-川)=-1,/(4)=/(0)=0,

20242024

则1/(1)1+1〃2)1+1〃3)1+"(4)|=2,于是=2x^=1012.

z=i4

故答案为：1012.

【题型三】轴对称

数学语言：

1.函数/(%)对于定义域内任意实数无满足〃a+x)=/0-x),则函数/(x)关于直线》=*对称，特别

地当〃x)=〃2a-x)时，函数/(x)关于直线x=。对称；

2.如果函数y=/(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数y=/(x)的图象关于直线*=。对称.

3.y=/(a一%)与y=(%-。)关于直线x=@针对称。

常见的偶函数：

偶函数：①函数/(')=±(/+。-').

②函数/(x)=loga(a」+l)-皆.

③函数/(恸)类型的一切函数.

«—I

典例精讲

【例1】(多选)(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)的定义域为R,且

/(x+y)./(x-y)=/2(x)—/(力/⑴=2,〃x+i)为偶函数，则()

A.43)=2B./(%)为奇函数

2024

C.42)=0D.伏)=0

k=\

【答案】BCD

【详解】令x=l,尸。，则有〃1)令(1)=/2(1)—尸⑼,故/⑼=o,即/(o)=o,

令x=0,则〃办八司二产⑼一产⑺,

即/(X)•[/(-%)+〃x)]=0恒成立，故/(-X)=一/⑺,

又函数/'(X)的定义域为R,故/>(X)为奇函数，故B正确；

则/(—1)=一/。)=一2,又/(x+1)为偶函数，

故〃X+1)=〃T+1),则"—1)="3)=-2,故A错误；〃2)=〃0)=0,故C正确；

/(x+l)=/(—x+l)=-/(x-l),则〃x+3)=-/(x+l)=/(x-l),故函数/(%)的周期为4,

2024

〃4)=〃0)=0,则£/仅)=506[/⑴+〃2)+〃3)+〃4)]=506x(2+0—2+0)=。，故D正确.

k=l

故选：BCD.

【例2】(2024.宁夏银川.二模)定义域为R的函数/⑺满足，(尤+2)为偶函数，且当玉<々<2时，

5

"(%)-/(石)](々-f)>。恒成立，若。=/⑴，Z?=/(lnl0),c=〃3”，则。，b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】D

【详解】当玉<%<2时，"(%2)-/(不)](尤2-尤1)>。恒成立，

即当玉<%<2时，/(々)><(%),函数/(X)在(y,2)上单调递增,

又/(x+2)为偶函数，即〃x+2)=/(-x+2),所以函数/(尤)关于x=2对称，

则函数/(无)在(2,+向上单调递减，

所以。=/(1)=〃3)

因为10<1|；<e3,所以10<1|；<e3

所以2<lnl0<lne3=3<3八

所以〃11110)>八3)>/9^,即c<a<6,

故选：D.

【例3】(2024•全国•模拟预测)设〃力是定义域为R的偶函数，且/(2x+1)为奇函数.若/、]=g,/[J=g

皿/2023、/2023、,、

贝4」w=()

【答案】A

【详解】由/(2x+l)为奇函数，得〃2x+l)+〃-2丈+1)=0,

得〃x)的图象关于点(1,0)对称，所以“x)=-/(2-x).

又因为是定义域为R的偶函数，所以/(x)=-〃2—x)=—“X—2),/(x)=-/(x-2)=/(x-4),

所以的周期为4,

所以.等]+/[等"[168x4+2+j+/1252x4+3+g

=/〔2+j+"+mT㈢+小"一巾+/出=」11

H-=—

26

故选：A.

名校模拟

【变式1](2024.全国.模拟预测)若定义在R上的函数7■(*)满足/(W)=f(尤)，.

/(2+x)+/(2-x)=6,/(3)=6,则下列结论错误的是()

A.〃8+x)=〃x)B.的图象关于直线x=4对称

C./(201)=3D.y=/(x+2)-3是奇函数

【答案】C

【详解】由〃[x|)=〃x)n〃T)=F(x),所以"2—x)=/(x—2)

又〃2+x)+〃2—x)=6,所以〃4+x)+〃x)=6,且〃8+x)+〃4+x)=6,

所以/(8+x)=/(x),故A正确

由A可得，/(8+x)=/(-%),所以的图象关于直线x=4对称，故B正确

由A可得，〃x)是周期为8的函数，/(201)=/(1),

又由〃2+x)+〃2_x)=6,〃3)=6,得〃3)+/(1)=6,所以4201)=/⑴=0,故C错误

对于D,由〃2+*)+”2-2=6=>/(同的图象关于点(2,3)对称，

所以y=/(x+2)-3的图象关于原点对称，故D正确，

故选：C.

【变式2】(多选)(2024•全国•模拟预测)已知函数y=犷(x+l)为偶函数，且“1-.：)=〃x+3),当xe[0,l]

时，/(x)=2-2\贝|()

A.〃x)的图象关于点(1,0)对称B.〃x)的图象关于直线x=2对称

C.〃x)的最小正周期为2D.〃1)+〃2)+…+/(30)=—1

【答案】ABD

【详解】对A：因为^=犷(％+1)为偶函数，则好'(%+1)=-犷(-彳+1),

即/(x+l)=—/(—x+1),所以y=/(x+l)是奇函数，

所以〃x)的图象关于点(1,0)对称，故A正确；

对B：因为/(l-x)=/(x+3),所以的图象关于直线尤=2对称，故B正确；

对C：因为一x)=〃x+3),/(x+l)=-/(-x+l),

贝lJ/(x+3)=—/(x+1),则/(x+5)=—/(x+3)=/(x+l),

所以〃x)的最小正周期为4,故C错误；

对D：因为当xe[0,l]时,/(x)=2-2\所以40)=1,"1)=0,

因为的图象既关于点。,0)对称，又关于直线尤=2对称，

所以/⑵=_/(O)=T,/(3)=/(1)=0,

因为“X)的最小正周期为4,

所以〃4)=/(0)=1,所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0,

所以“1)+/⑵+…+”30)=7[/⑴+/■⑵+/(3)+/(4)]+〃1)+/⑵

=7x0+0+(—1)=-1,故D正确.

故选：ABD.

【变式3](多选)(2024•河北邢台・一模)已知函数/'(X)和函数g(x)的定义域均为R,若〃2%-2)的图

象关于直线x=l对称，8(尤)=/(%+1)+无一1,g(x+l)+f(-x)=x+2,且/(0)=0,则下列说法正确的是

()

A./(X)为偶函数

B.g(x+4)=g(x)

C.若〃x)在区间(0,1)上的解析式为〃x)=log2(x+l),则在区间(2,3)上的解析式为

/(x)=l-log2(x-l)

20

D.⑺=210

1=1

【答案】AD

【详解】由〃2x-2)的图象关于直线％=1对称，可知f(2x-2)=/(2(2-%)-2),即f(2x-2)=f(2-2x),所以

/(元)图象关于，轴对称，故A正确.

由g(x)=/(x+l)+x-l,Bj^gU+l)=/(-r+2)+x,Xg(x+1)+/(-x)=x+2,

所以+2)+f(-%)=2,可知/(x)的图象关于(1,1)对称，

所以〃x)"(f)=2-〃x+2)=2-[2_/(x+4)]=〃x+4),

所以/(x)是周期为4的周期函数，

则g(x+4)=/(x+5)+x+3=/(x+l)+x+3=g(%)+4,^B错误.

当xe(2,3)时，4—尤€(1,2),2—(4—x)=无一2e(0.1),

又因为/(%)=/(-x)=/(4-x),/(4-x)=2-/(^-2),

所以/(x)=/(4-x)=2-/(%-2)=2-log2(%-1),

即/⑺在区间(2,3)上的解析式为/(%)=2-log?(x-1),故C错误.

因为/(。)=。，/(尤+2)+/(-x)=2,/(力寸厂可，

所以〃2)+〃0)=2,〃1)+〃-1)=2〃1)=2"(-1)+八3)=〃1)+"3)=2,

所以"0)=0"⑴=1,〃2)=2,〃3)=1,

20

所以£g[)=°+l+…+19+/(2)+/(3)+…+/(21)=190+5x(0+1+2+1)=210.故D正确.

Z=1

故选：AD.

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

基本规律

关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论

1.若函数有两个对称中心(a,0)与(b,0)),则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

2.若函数有两条对称轴x=a与x=b,则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。

3.若函数有一个对称中心(a,0)与一条对称轴x=b,,则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。

«—I

典例精讲

【例1】(2023・浙江・一模)设函数y=的定义域为R,且/(x+1)为偶函数，/'(x-1)为奇函数，当

2023

时，/(x)=l-x2,则.

%=1

【答案】-1

【详解】因为函数y=〃x)的定义域为R,且/(x+1)为偶函数，〃X-1)为奇函数，

则f(l-x)=/(l+x),/(-x-l)=-/(x-l),

所以，函数/(x)的图象关于直线X=1对称，也关于点(T,。)对称，

所以，/(-x)=/(x+2),/(-x)=-/(x-2),

所以，/(x+2)=-/(x-2),贝lJ/(x+8)=—/(x+4)=/(x),

所以，函数/(x)是周期为8的周期函数，

当时,/(x)=l-x2,则/⑴=0,/(7)=/(-1)=0,/(8)=/(0)=1,

/(2)=/(0)=1,f(3)=/(-l)=0,〃4)=一〃-6)=-〃2)=-1,

“5)=〃-3)=-41)=0,46)=-8)=-〃0)=-1,

8

所以，E〃z)=o+i+o-1+。-1+。+1=0,

k=l

20238

又因为2023=8x253-1,所以，£/㈤=253^/的一〃8)=0-1=T.

k=\k=l

故答案为：-1.

【例2】(2024•陕西西安•二模)已知函数Ax)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+2w，(.则/(100)=.

【答案】10100.

【详解】由函数lx)满足/(x+y)=/(x)+/(y)+2町,

取x=；，y=g，W/(D=/(1)+f(1)+|=|+|+|=2,

令元=〃，y=1,可得/(〃+1)=/(〃)+/(1)+2〃=/(几)+2〃+2,

即/(zz+l)-/(M)=2n+2

则/(100)=[/(100)-/(99)]+[/(99)-/(98)]++[/(2)-/(1)]+/(1)

=(2x99+2)4-(2x98+2)++(2xl+2)+2

99(1+99)

=2x(99+98++2+1)+198+2=2x—^~~-+198+2=10100.

故答案为：10100.

【例3】(多选)(2023・江西•模拟预测)设函数的定义域为R,7(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函

数，当xe[l,2]时，/(x)=a-log2x.则下列结论正确的是()

A."1)=1B.f(8)=-l

206100

c.E"4)=一1D.2＞优)=50

k=lk=l

【答案】CD

【详解】由/(x+1)为奇函数，

得了⑴关于(1,0)对称，且满足/(-x+1)=-f(x+l)；

由/(x+2)为偶函数，

得f(x)关于直线x=2对称，且满足f{-x+2)=+2).

故f(x+4)=/(-%)=-/(2+x)=-[-/(%)]=/(x),

所以是周期函数，且周期T=4.

对选项A,由=—/(%+1),

令％=0,解得了⑴=0,故A错误；

对选项B,已知当了«1,2]时，/(x)=6i-log2x,

50(1)=。=。，

故当xe[l,2]时，/(x)=-log2x.

则/(8)=△4)=一〃2)=log?2=1,故B错误；

对选项C,/(1)=0,/(2)=-1,

/(3)=0,〃4)=1,且/*)周期7=4.

206206

则/"⑴+/(2)+工//)=。+(-1)+0=-1,故C正确.

k=\k=3

100

对选项D,Wy(k)=2〃2)+4〃4)+6〃6)++98/(98)+100/(100)

k=1

=(-2+4)+(-6+8)+…(-98+100)=2x25=50,故D正确.

故选：CD.

।—।

名校模拟

【变式1](多选)(2024.吉林白山.二模)已知函数/(X)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若

〃止〃47)=2一尤,则()

4

A./(2-3x)+/(3x)=4B./(x)=/(x-4)

20

C.42025)7046D.^/(z)=-340

«=1

【答案】ACD

【详解】因为〃x)的图象关于(1,2)中心对称,贝!!/(2—x)+/(x)=的故A正确;

由〃X)[(4_X)=27,可得/(同一/(4—X)=8—4X,贝ij/(2-x)—/(2+力=4尤，取x=l得

/(1)-/(3)=4,

在/(2-x)+/(x)=4中取x=l可得"1)=2,则〃3)=-2,

由/(一1)+/(3)=4,得/(一1)=6片/(3),故B错误；

由/(2—同一/(2+x)=4x,得4—/(x)—/(2+x)=4x,

.,./(%)+/(%+2)=4-4x①.，./(x+2)+/(%+4)=-4-4%②，

②-①得/(x+4)——8,又，2025=1+4x506,.*./(2025)=/(1)-8X506=2-8X506=-4046,故C正

确；

20<x4

又由①/(2)+。(4)=一4,二/(1)+f(2)+/(3)+/(4)=-4,^f(z)=-4x5+—x(-32)=-340,故D正确.

4=12

故选：ACD.

【变式2](多选)(2024.广东韶关.二模)已知定义在R上的函数〃x),g(x)的导函数分别为/''(x),g'(x),

且/(x)=〃4_x),f(l+x)-g(x)=4,/,(x)+g,(l+x)=0,则()

A.g(x)关于直线x=l对称B.g'⑶=1

C.f(x)的周期为4D.r(«)-g,(»)=0(«eZ)

【答案】ACD

【详解】由/。)=/(4一x),得/(l+x)=/(3-x)①，

/(l+x)-g(x)=4②,得f(3-x)-g(2-x)=4(3),

由①②③，得g(x)=g(2-x),所以函数g(x)图象关于直线》=1对称，故A正确；

由g(尤)=g(2-x),得g'(x)=-g'(2-x),令x=l,得g'(l)=0；

由f(l+x)-g(x)=4,^f'(l+x)-g'(x)=0,

令x=l,得r(2)=g")=0,

r(2+x)-g(l+x)=0④,

又r(x)+g1l+x)=0⑤，令x=2,得:(2)=gQ)=0,故B错误；

④⑤两式相加,得广(2+尤)+广(©=0,得1(4+%)+/(2+X)=0,

所以r(x)=T(4+x),即函数/'(x)的周期为4,故C正确；

由广(2+x)+r(x)=0,令x=2,得八4)+/(2)=0,所以尸(4)=0,

所以/⑴/⑴=f'(2)g'(2)=f'(3)g'(3)=/(4)g，(4)==尸=0(〃eZ),故D正确.

故选：ACD

【变式3](2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的函数的图象关于点(1,0)对称，〃x+l)+〃x+2)=0,

13

且当xe0,-时，/(x)=--+log2(3^+1).若〃,"+1)＜一5,则实数机的取值范围为()

A.(2/+§,2左+§)(京eZ)B.—eZ)

C.1%—%,上+%)(%eZ)D.(2左一%,2左+(左eZ)

【答案】A

【详解】由的图象关于点(1,0)对称可得“X+2)=-/(T).

由/(x+l)+/(x+2)=0,可得/(x+l)=_〃x+2)=〃r),

故函数〃尤)的图象关于直线x=g对称，

且〃*+2)=-〃x+l)=—(-〃x))=/(x),得/⑺的周期为2.

2+1JC

当xe0,；时，f(x)=+log2(3x+1)=^^+log2(3+1)=log2(3x+1)--^-+2,