版小学5年级数学知识点数学第8讲比例模型(教师版)

第，,饼比例馍型

作业完成情况

知识杨理

1鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.

鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形,其面积比等于相等（或互补）内角的夹

边乘积之比.

SADEADxAE

即有关系式A________存在。

SABCABxAC

2、风筝模型（蝶形定理）

任意四边形中的比例关系:

①SS-SS请/SxS=SxS

1243取百1324

@AO:OC=（S+S）:（S+S）

1243

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途

径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的

三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关

系.梯形中比例关系

①S:S=G：b2

13

②S:S:S:S=：b^:ab:ab;

1324

1

③S的对应份数为(a+b)2.

3相似模型

^ADAEDEAF

^-AB~~AC^^C~~AG

②S：S=AFi:AGi

AADEAABC

教学重-唯皮

正确识别各种图形所属的模型,并正确熟练运用比例模型中的关系

特色讲解

例1如图在AABC中，D,E分别是A,BA上C的点，且

AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,s=16平方厘米，求4A台。的面积.

AADE

答案70平方厘米

解析连接8E,S:S=AD:AB=2:5=(2x4):(5x4),

/\ADEAABE

2

S:S=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5)，所以S:S=(x24x):,设

AABEAABCAADEAABC

S=8份，则S=35份，S=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平

AADE△ABC/\ADE

方厘米，ZSABC的面积是70平方厘米

例2已知△。历的面积为7平方厘米，BEMCE.AOMZBZXCTMBAF,求的面积.

答案24平方厘米

解析

S:S=(BDXBE):{BAxBC)=(lx1)：(2x3)=1:6

XBDEAABC

S:S=(CEXCF):(CBXCA)=(lx3):(2x4)=3:8

4CEF/\ABC

S:S=(ADXAF):(ABxAC)=(2x1)：(3x4)=1:6

/\ADFAABC

设S=24份，则S=4份，5=4份，5=9

△ABCABDEAADF/\CEF

份，S=24-4-4-9=7份,恰好是7平方厘米，所以S=24平方厘米

/\DEFAABC

例3如图,长方形ABCQ的面积是36,E是AD的三等分点，AE=2ED,则阴影部分的面积

为.

答案2.7

3

解析如图，连接OE.根据蝶形定理，ON:ND=S:S=ls:S

,所以

\COEACDE2ACAE/NCDE=1:1

s=?s；OM:MA=S:S

=—S,:S=1:4所以

△OEN2△OED^BOEABAE2A,BDEABAE

S=-S又S=1x15=3SAOE4=2SA°EO=6,所以阴影部分

AO石5也AOE©竽4A矩形ABC0

面积为：3x-+6x-=2.7.

25

例4如图，已知cr>=5,DE=7,EF=15,万G=6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面

积是38,右边部分面积是65,那么三角形AOG的面积是.

答案40

解析连接A尸，BD.

根据题意可知，CF=5+7+15=27;Z)G=7+15+6=28;

所

0_1512217

以S―――SS=—SS=—SS=­S

2EF27kCBFAB£C27、CBF'AAEG28.0GMED28MDG

91is7I?

干是._S+_5=65.—S+—S=38.

28AADG27ACBF'28MOG27ACBF'

可得S=40.故三角形ADG的面积是40.

AADG

例5四边形ABC。的对角线AC与5。交于点O（如图所示）.如果三角形ABQ的面积等于

三角形BCA的面积的［，且AO=2,=3,那么C。的长度是。。的长度的倍.

3

4

AD

"7

BC

答案2:1

解析...他OC=S.:S.=1:3,，℃=2x3=6,，℃:8=6:3=2:1

例6如图，△ABCDE,FG,BC互相平行，AD=DF=FB,

则S：S：S=

、AADE四边形0EG尸四边形尸GC5----------

A

BC

答案1:3:5

解析设,△皿=1份,根据面积比等于相似比的平方，

m、jS:S=A£>2：AF2=1：4S:S；=A£>2：AB2=1:9

rn么/XADEAAFG，AADE△ABC，

因此S*=4份，S3c=9份，

进而有‘四边形DEGF3份，'四边形FGCB5份，所以S:S:S=1:3:5

/\ADE四边形DEGF四边形FGC5

当堂练习

A

1如图,三角形ABC的面积为3平方厘米，其中A5:BE=2:5,BC:CD=3:2,

5

三角形BDE的面积是多少？

答案12.5平方厘米

解析

由于ZABC+/DBE=180。，所以可以用共角定理设A3=2份，BC=3份,则BE=5份，

8。=3+2=5份，由共角定理S:S=(A3xBC):(8ExBO)=(2x3):(5x5)=6:25,设

△ABCABDE

S=6份,恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25x0.5=12.5平方厘米,

△ABC

三角形BOE的面积是12.5平方厘米

2如图，平行四边形A8CD,BE=AB,CF=1CB,GD=3DC,HA=4AO,平行四边形

ABCZ)的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形的面积比.

答案1/18

解析连接AC、BD.根据共角定理

在AABC和4BFE中，ZABC与NFBE互补,

ABBC1x11

-AS€-=

SBEBF1x33

AFBE

又S=1,所以S=3.

△ABCAFBE

同理可得S=8,S=15,S=8.

△GC尸△DHG△AEH

所以S=S+S+S+S+S=8+8+15+3+2=36.

EFGH^AEHACFGADHG/\BEFABCD

所以221

ABCD

S3618

EFGH

3如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点。在BC上，且BD:OC=1:2,与

6

BE父子点、F.则四边形OFEC的面积等于.

答案5/12

SBD1SAE.

解析方法一：连接CF,根据燕尾定理，寸由=后=5,b匹=行=1,

AACFACBF

设S八=1份则S=2份S八=3份S=S=3份如图所标所

以刀，人刀'W,刀，刈目仅、

/\BDF।J^DCF।AABFAAEFAEFCI

DCEF12△ABC12

方法二：连接OE,由题目条件可得到=gS-Bc=1

1

--X1BFS1

s=-s2-5=—所以---=展4即

△ADE2△ADC3△ABC3'尸入FESi

△ADE

S=_xS=_x_xS=_x_x_xS=—

丛DEF2^DEB23ABEC232AABC12'

211v

而5人「.=万、5*5=、•所以则四边形。尸EC的面积等于

/XCDEJ2/XABCJ

4如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,

求：⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC=?

7

答案61:3

解析⑴根据蝶形定理SBG31=2X3,那么sBGC=6；

⑵根据蝶形定理，AG:GC=(1+2):(3+6)=1:3.

5如图，平行四边形ABC。的对角线交于O点，八LOEF、AODF、ZiBOE的面积

依次是2、4、4和6.求：⑴求△OC厂的面积;⑵求AGCE的面积.

EC

答案42/3

解析⑴根据题意可知，LBCD的面积为2+4+4+6=16,那么△BCO和AC。。的面积都是

16+2=8,所以△OC歹的面积为8-4=4;

⑵由于△BCO的面积为8,ABOE的面积为6,所以4OCE的面积为8-6=2,

根据蝶形定理，EG.FG=S:S=2:4=1:2,所以

△COEACOF

S:S=E=GKG

AGC\ECF

1+2\CEF3

6如图,长方形ABC。中，BE:EC=2:3,。尸：尸。=1:2,三角形。尸G的面积为2平方厘米,

8

求长方形A8C£>的面积.

答案72平方厘米

解析连接AE,下从

3111

mBE:EC=2:3，OEC=1:2,所以S四=(丁^£»长方形g=江长方形s.

因为$四[S-p，⑶：G/毛：/5:1,所以晨。=5S.=10平方厘米，所

以S49=12平方厘米-因为SAF°=[S长方形.Ro,所以长方形ABCO的面积是72平方

厘米.

7如图,正方形A5C。面积为3平方厘米，/是A。边上的中点.求图中阴影部分的面积.

答案1平方厘米

解析因为〃是A。边上的中点，所以AM:2c=1:2,根据梯形蝶形定理可以知道

S:S:S;S=12：(1X2):(1><2):22=1：2:2:4,设S=1份，则

△AMG/\ABGXMCG丛BCG△AGM

s=1+2=3份，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12

/\MCD

份,S阴影=2+2=4份,所以S阴影:S正方形=1:3,所以S阴影=1平方厘米.

8在下图的正方形A5CD中，E是边的中点，AE与5。相交于尸点，三角形肥尸的面积

9

为1平方厘米,那么正方形A8C。面积是平方厘米.

答案12平方厘米

解析连接DE,根据题意可知BE-.AD=V.2,根据蝶形定理得梯形=（1+2）2=9（平方厘

米），=3（平方厘米），那么S4=12（平方厘米）.

LXtLCLJ/IjDC-Zy

9已知ABC。是平行四边形，BC:CE=3:2,三角形Or）E的面积为6平方厘米.则阴影部分

的面积是平方厘米.

答案21平方厘米

解析连接AC.

由于ABCZ）是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:AO=2:3,

根据梯形蝶形定理，S:5:S:S=22:2x3:2x3:32=4:6:6:9,所以

COEAOCDOEAOD

S4c广6（平方厘米），s=9（平方厘米），又s=s=6+9=15（平方厘米），

AOCAODABCACD

阴影部分面积为6+15=21（平方厘米）.

10

10右图中ABC。是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）

阴影部分的面积是平方厘米.

答案6平方厘米

解析连接AE.由于4。与BC是平行的,所以AEC。也是梯形,那么'=S.

/\V_-Ly/\\/zl

S

根据蝶形定理，AOCDxS=Sx5=4x9=36故

\OAE\OCE\OAD'

S2=36

\OCD

所以'AOCD=6（平方厘米）.

C

11右图中A8C。是梯形，A3即是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）,

阴影部分的面积是平方厘米.

答案4平方厘米

解析连接AE.由于与BC是平行的，所以AEC。也是梯形，那么S=S

△OCD\OAE

5xx5

根据蝶形定理，aocd\oae=\OCEAOAD=2X8=16，故

84。62=16，所以心。。=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形ABE。中，S=?S=2x（16+8）=12（平方厘米），

MDE2ABED2

所以s=S—S=12-8=4（平方厘米），

AAOfAA£>£MOD

根据蝶形定理,阴影部分的面积为8x2+4=4（平方厘米）.

11

12在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。且AF=CE,DE=BG。已知四边形ABCD

的面积为1,求4EFG的面积。

答案1

解析

分别用a、b、c、d表示ACDE、△ADE.△ABE、△BCE。

由鸟头模型,可知：

a:SAEFG=(CExDE):(EFxEG);

b:SAEFG=(AExDE):(EFxEG);

C:SAEFG=(AEXBE):(EFXEG);

d:SAEFG=(CExBE):(EFxEG).

因止匕,(a+b+c+d):4SaEFG=

(CExDE+AExDE+AExBE+CExBE):(EFxEG)=[DEx(AE+CE)+BEx(AE+CE)]:(EFxEG)=[(A

E+CE)x(BE+DE)]:(EFxEG)=(ACxBD):(EFxEG)o

因为AF=EC、DE=BG,可知BD=EG、EF=AC,因此(ACxBD):(EFxEG)=E,即SAEFG=S四

边形ABCD=1

12

13如图所示,正方形ABC。边长为6厘米，AE=」AC,CP=18C.三角形DEF的面积

33

为平方厘米.

答案10平方厘米

解析由题意知AE=1AC、CT='C,可得CE=2AC.根据“共角定理”可得，

333

S:S=(CPxCE):(CBxAC)=(lx2):(3x3)=2:9；而S=6x6+2=18;

ACEFAABCAABC

所以s=4;同理得，S:S=2:3S=18-3x2=12,S=6

△CEF4CDE△ACDACDEACDF

故S=S+S-S=4+12-6=10(平方厘米).

ADEFACEF△DECADFC

14如图，已知三角形ABC面积为I,延长AB至。，使BD=AB;延长8c至E,使

CE=2BC；延长G4至尸，使AF=3AC,求三角形。£下的面积.

答案18

解析用共角定理：在-A8C和-CFE中，NAC8与“CE互补，

.SACBC1x11

・・i—6C==-=--二—.

SFCCE4x28

FCE

又S=1,所以S=8.

ABCFCE

同理可得S=6,S=3.

ADFBDE

所以S=S+S+S+S=1+8+6+3=18.

DEFABCFCEADFBDE

13

15如图所示,正方形ABC。边长为8厘米，E是AO的中点，F是CE的中点，G是5歹的

中点,三角形A3G的面积是多少平方厘米？

答案12平方厘米

解析连接AF、EG.

因为S=S=1x82=16,根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两

△BCF△CDE4

个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比"S=8,S=8,再根

AEFEFG

据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的

两边长度的乘积比”，得到S=16,S=32,5=24,所以S=12平方厘

BFCABFEABFABG

米.

当堂检测

1如图,三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6乙部

分面积是甲部分面积的几倍？

答案5

解析连接AD."：BE=3,AE=6：.AB=3BE,S=3s

ABDBDE

又：8O=OC=4,S=2S,：,S=6S,S=5S

ABCABDABCBDE乙甲

14

2如图在AABC中，。在BA的延长线上，E在AC上，且

AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,s=口平方厘米，求4A台。的面积.

△ADE

答案50平方厘米

解析连接3E,S:S=AO:AB=2:5=(2x3):(5x3)

/\ADEAABE

所以S:S=(3x2):kx(3+2)]=6:25,设S=6份，则S=25份，S=12

△ADE/\ABC△ADEAABC△ADE

平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米.

3长方形A8CD的面积为3652,E、F、G为各边中点，H为4。边上任意一点问阴影部分

面积是多少？

答案13.5

s=_s

M)HG29肌

而

S=S+S+S=36

ABCDMHBACHBbCHD

15

S+S+S=1（S+S+S）=lx36=18

^EHB\BHF\DHG2^HBNCHB\CHD2

S+S+S=S+S

空HB\BHF^DHG阴影\EBF

S=1XBEX8尸=」义（』XAB）X（1义BC）=1X36=4.5

AEBF22228

所以阴影部分的面积是：,阴影=187皿=18-4.5=13.5

4如图所示,在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF,三角形AFE（图中阴影部分）

的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？

答案48平方厘米

解析连接FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF

面积的2倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角

形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3x2）=6倍.因此,平行四

边形的面积为8x6=48（平方厘米）.

5如图，△ABC中，DE,FG,MN,PQ,BC互相平行，尸=MP=P8,则

S:S:S;S:S=

/\ADE四边形OEGf1四边形尸GNM四边形MN。尸四边形尸0cB.

答案1:3:5:7:9

、瓜S=1-S:S=AD^：AF2=1:4..

解析设△ADE份，△ADEAAFG,m因此

S=4S=3

△AFG份，进而有四边形DEG尸份，同理有

S-5S=7s=9

四边形FGNM份，四边形MAQP份，四边形p0c5份.

所以有

S:S:S:S:S=1:3:5:7:9

/XADE四边形Z5EGF四边形R7NM四边形MNQP四边形PQC8

16

当堂忍结

家庭作业

1如图在△ABC中，D,E分别是A8,AC上的点，且

AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,S=16平方厘米，求△43C的面积.

AADE

答案70平方厘米

解析连接BE,S:S=AD:AB=2:5=(2x4):(5x4),

△ADE/\ABE

S:S=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5),所以S:S=(2x4):(7x5),

△ABEAABC/\ADE△ABC

设S=8份，则S=35份，S=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35

AADEAABCAADE

份就是70平方厘米，ZiABC的面积是70平方厘米.

2如图,三角形ABC中，A8是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形AOE的面积等于1,

那么三角形ABC的面积是多少？

17

AA

r\

BL-----------------xc

答案15

解析连接8E.

,/EC=3AE：.S=3SXVAB=SAD：.S=S+5=S+15,，

ABCABEADEABEABC

S=155=15.

ABCADE

3如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成问：内圈

红色三角形石板的总面积大,还是外圈青色三角形石板的总面积大？

答案